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焦点专题8 数列求和与不等式的解法、证明【基础盘点】一、数列求和的常用方法1、公式求和法：求得与或与后，代入等差数列或等比数列的前项公式求解. 如在等比数列中，则 ；2、观察规律法：当所给具有较强的规律性或以图形式出现时，可考虑此法.如已知 ，则 ；3、倒序求和法：在数列中，出现为定值时，可考虑此法. 如数列中，则 ；4、裂项相消法：出现或时可用此法，如 ， ；5、错位相减法：在数列中，出现，其中为等差数列，为等比数列，可用此法.如 ；二、求解不等式的常用方法1、解一元二次不等式之公式法：先用一元二次方程的求根公式解得， 再结合二次函数的图象可写出(或或 或)的解.如不等式的解集为 ；2、解一元二次不等式之十字相乘法：将乘法公式 ？ 逆过来写有，故只需将中的A、C分别写成形式，再检查是否等于，即可，为了把这个过程直观化，常将该过程写为如下的“十字相乘”形式，“十字相乘法”由此而得名.如不等式的解集为 ；3、解一般不等式之等价变形法：解不等式的过程就是将不等式等价变形为 或的过程，其中的变形需运用不等式的性质：加、减、乘、除、平方、开方、常数指数化、常数对数化等.如不等式的解集为 ；三、证明不等式的常用方法1、作差(商)法：(或).如比较与的大小；2、配方法：将配方后，可以判断与0的大小，从而达到判断A与B的大小的目的.如比较与的大小；3、综合法：收集、整理已知条件与熟悉公式、定理，得到所求证的不等式的一种方法，也可简记为“条件结论”的一种证明模式.如证明；4、分析法：从结论出发，一边等价变形，一边收集所需的已知条件，一直到转化出一个显 然成立的结论，可简记为“结论条件”的一种证明模式.如3的不等式的证明；5、构造函数法：通过等价变形后构造函数，运用函数的单调性求其最大(小)值达到证明不等式的一种方法.如当时，证明.【例题精选】焦点1：公式求和法、观察规律法、倒序求和法【例1】1、设是由正数组成的等比数列，为其前项和.已知，,则【题情捉摸】由得= (用表示)，然后代入得 ， ，从而得的值.2、已知数列2008,2009, 1,2008,2009,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2011项之和S2011等于 【题情捉摸】多写几项，得该数列为 ，可知它是周期为 的周期函数，从而得的值.焦点2：裂项相消法、错位相减法【例2】1、设等差数列的前n项和为,且(c是常数,N*),.(1)求c的值及的通项公式;(2)证明:.【题情捉摸】(1)当时,得 (用表示),进而由,得 (用表示),又由，得 ；于是可求得公关 ，便得 ；(2)将(1)中的代入，观察其结构知，可用 解之2、等比数列的前项和为,已知对任意的,点均在函数且均为常数)的图像上. w(1)求的值;(2)当b=2时,记求数列的前项和.【题情捉摸】(1)由“点在曲线上”,可建立与的关系为 ,再由“与法”求得 ，当， ,也合适，对比得 ;(2)由，观察的结构知可用 求得焦点3：一元二次不等式之公式法、十字相乘法【例3】1、解下列不等式(1) (2) (3) (4)(5) (6)【题情捉摸】用 可求得(1)、(2)、(3)、(4)的解，用 可求得(5)、(6)的解.2、解关于x的不等式:().【题情捉摸】移项整理得 ，即，方程有两实根 ， ，当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 .焦点4：一般不等式之等价变形法【例4】1、首项是,从第10项开始比1大的等差数列的公差的取值范围是A. B. C. D.【题情捉摸】从第10项开始比1大，说明 1， 1，从中可解得的范围.2、已知数列的通项公式为,设其前n项和为Sn,则使Sn5成立的自然数n有A.最小值63 B.最大值63 C.最小值31 D.最大值31 【题情捉摸】可得 ，而 ，从中可解得的取值范围.焦点5：作差(商)法、综合法、分析法【例5】设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【题情捉摸】由 ，若，有 1，若，有 1， ，于是数列是递增数列；由数列是递增数列.焦点6：构造函数法【例6】1、在数列中，已知，是的前项和，求证：.【题情捉摸】可得 ，只证 ，设，运用 法，可得证.2、已知且,数列的前项的和,数列满足,.(1)求证:数列是等比数列;(2)若对于区间上的任意实数,总存在不小于2的自然数,当时,恒成立,求的最小值.【题情捉摸】(1)当时，得 ，当时,得 ，可得 ；(2)由(1)求得 ，有 ，由 法，可求得 ，代入整理得，令 ，只需考虑在上的最小值即可.【真题回顾】1、(2008广东文)记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差A.2 B.3 C.6 D.7【名模精选】2、(2011惠州二模文)已知条件：，条件：1，则是成立的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件3、(2010揭阳一模文)不等式的解集为A. B. C. D.4、(2011惠州二模文)已知等差数列的前项和为，且满足，则数列 的公差是A. B. C. D.5、(2010揭阳二模文)已知是等差数列，则该数列前13项和等于A.156 B.132 C.110 D.1006、(2010佛山一模文)若数列满足：，其前项和为，则 7、(2010深圳一模文)设等比数列的公比,前项和为,则= . 8、(2010湛江一模文)已知数列的前项和为，且，(1)求的值；(2)求数列的通项公式；(3)设，求数列的前项和9、(2010揭阳二模文)已知数列和满足，(1)求数列的通项公式；(2)设，求使得对一切都成立的最小正整数；(3)设数列的前和为，试比较与的大小10、(2010广州一模文)已知数列满足对任意的，都有，且(1)求，的值；(2)求数列的通项公式；(3)设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围11、(2010东莞三模文)位于函数的图象上的一系列点,这一系列点的横坐标构成以为首项,为公差的等差数列.(1)求点的坐标；(2)设抛物线中的每一条的对称轴都垂直于轴,对于第 条抛物线 的顶点为,抛物线过点,且在该点处的切线的斜率为.求证:. 12、(2010佛山二模文)设曲线在点处的切线与y轴交于点.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【参考答案】【例1】1.由得，又，解得或(舍去).得，的前5项分别为，则.2.由数列的特点知数列为2008,2009, 1,2008,2009,1,2008,2009,1,它是以6为周期的周期数列,而,且连续6项之和为0,等于前1项之和,即为2008.【例2】1.解:因为,所以当时,解得,当时,即,解得,所以,解得;则,数列的公差,所以.(2)因为.因为,所以.2.解:(1)点在函数的图像上.,当时,;当时,因为为等比数列,所以,公比为,所以;(2)当b=2时,则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 相减,得=所以.【例3】1.解：(1)由得，或；(2)由得，；(3)由得，或；(4)由得，有，；(5)由，解得，原不等式的解为或；(6)由，解得，原不等式的解为.2.由得,即.当,即时,不等式的解集为;当,即时,不等式为,解集为当,即时,不等式的解集为.综上所述,当时,不等式的解集为;当时,不等的解集为;当时,不等式的解集为.【例4】1.由题意得,即,解得.2.A ,由,得,.【例5】C 由，得，若，有，即，递增，若，有，得，递增；反过来，若递增，必有.【例6】1.解，下先证明，令，只证，令，则，又，得，为增函数，得，即，有，于是.2.解:(1)当时,得.由,得,恒有,从而,故数列是以为首项,公比为的等比数列.(2)由(1)得,.由,得恒成立,其中.令,由,知,有.结合一次函数的图象有,解得或,又,.综上所述,自然的最小值为4.15 BADCA 6 715 8解：(1)，ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u(2)，得，即，又，数列自第2项起是公比为3的等比数列，(3)，ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u-得 =9解：(1)由得代入得，整理得，否则，与矛盾,从而得,，数列是首项为1，公差为1的等差数列，即(2)，要使对一切都成立， 必须并且只须满足，即m5，满足要求的最小正整数为5(3)，又 10(1)解：当时，有，由于，所以 当时，有，将代入上式，由于，所以 (2)解：由于， 则有 ，得， 由于，所以 同样有， ，得 所以由于，即当时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列故 (3)解：由(2)知，则所以 ，数列单调递增所以 要使不等式对任意正整数恒成立，只要 ，即所以，实数的取值范围是11解: (1)由于的横坐标构成以为首项,为公差的等差数列,故.又位于函数的图象上,所以,点的坐标为(.(2)证明:由题意可设抛物线的方程为,即.由抛物线过点,于是有.由此可得.故.所以, 于是.即. 12解：(1), 点P处的切线斜率, 切线方程为:, 令得: ,故数列的通项公式为:.(2)， (提示：用错位相减法可求得)