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2012年湖南高考文科数学(高清版含详细答案)一、选择题:本大题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M=-1,0,1,N=x|x2=x,则MN=A.-1,0,1 B.0,1 C.1 D.02.复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i3.命题“若=,则tan=1”的逆否命题是中%国教&*育出版网A.若,则tan1 B. 若=,则tan1C. 若tan1,则 D. 若tan1,则=4.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是5.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(,)C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg6. 已知双曲线C :-=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C的方程为A-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1w#ww.zz&step.com7 . 设 ab1, ,给出下列三个结论:www.z#zste&*p.com ; ; ,其中所有的正确结论的序号是.中*国教育出版网#A B. C. D. 8 . 在ABC中,AC= ,BC=2,B =60,则BC边上的高等于A B. C. D.9. 设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数,是f(x)的导函数,当时,0f(x)1;当x(0,) 且x时 ,则函数y=f(x)-sinx在-2,2 上的零点个数为A .2 B .4 C.5 D. 8 二、填空题,本大题共7小题,考生作答6小题.每小题5分共30分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.(一)选做题,(请考生在第10,,1两题中任选一题作答,如果全做 ,则按前一题记分)10.在极坐标系中,曲线:与曲线:的一个交点在极轴上,则a=_.11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定,需要优选培养温度,实验范围定为2963.精确度要求1.用分数法进行优选时,能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_.(二)必做题(1216题)中#国教育*出%版网12.不等式x2-5x+60的解集为_.13.图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_.(注:方差,其中为x1,x2,xn的平均数)来14.如果执行如图3所示的程序框图,输入,则输出的数 = .中国%教&育*出版网15.如图4,在平行四边形ABCD中 ,APBD,垂足为P,且= .16.对于,将n表示为,当时,当时为0或1,定义如下:在的上述表示中,当,a2,ak中等于1的个数为奇数时,bn=1;否则bn=0.中国教#*育&出版网(1)b2+b4+b6+b8=_;(2)记cm为数列bn中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数,则cm的最大值是_.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)302510结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55.()确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;()求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)18.(本小题满分12分)已知函数的部分图像如图5所示.()求函数f(x)的解析式;()求函数的单调递增区间. 19.(本小题满分12分) 如图6,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,ADBC,ACBD.()证明:BDPC;()若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30,求四棱锥P-ABCD的体积. 中国教*育出#版%20.(本小题满分13分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.()用d表示a1,a2,并写出与an的关系式;()若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).21.(本小题满分13分)在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.中国教育出%版网*&()求椭圆E的方程;()设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2.当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.22.(本小题满分13分)已知函数f(x)=ex-ax,其中a0.#中国教育出版&网(1)若对一切xR,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;z(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2)(x1x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0(x1,x2),使恒成立.2012湖南高考数学试卷参考答案(文科)1、 选择题BACDD ADBB2、 填空题选做题:【答案】 【答案】必做题:【答案】 【答案】6.8 【答案】4 【答案】18 【答案】(1)3;(2)2.3、 解答题17、【解析】()由已知得,该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为:(分钟).()记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率,得.是互斥事件,.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55,知从而解得,再用样本估计总体,得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.18、【解析】()由题设图像知,周期.因为点在函数图像上,所以.又即.又点在函数图像上,所以,故函数f(x)的解析式为()由得的单调递增区间是【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期从而求得.再利用特殊点在图像上求出,从而求出f(x)的解析式;第二问运用第一问结论和三角恒等变换及的单调性求得.19、【解析】()因为又是平面PAC内的两条相较直线,所以BD平面PAC,而平面PAC,所以.()设AC和BD相交于点O,连接PO,由()知,BD平面PAC,所以是直线PD和平面PAC所成的角,从而.由BD平面PAC,平面PAC,知.在中,由,得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形,所以均为等腰直角三角形,从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积在等腰三角形中,所以故四棱锥的体积为.【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可,第二问由()知,BD平面PAC,所以是直线PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面积和棱锥的高,由算得体积.20、【解析】()由题意得,.()由()得.整理得.由题意,解得.故该企业每年上缴资金的值为缴时,经过年企业的剩余资金为元.【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用,考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型,得出与an的关系式,第二问,只要把第一问中的迭代,即可以解决.21、【解析】()由,得.故圆的圆心为点从而可设椭圆的方程为其焦距为,由题设知故椭圆的方程为:()设点的坐标为,的斜分率分别为则的方程分别为且由与圆相切,得,即同理可得.从而是方程的两个实根,于是且由得解得或由得由得它们满足式,故点的坐标为,或,或,或.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程,求出即得椭圆E的方程,第二问设出点P坐标,利用过P点的两条直线斜率之积为,得出关于点P坐标的一个方程,利用点P在椭圆上得出另一方程,联立两个方程得点P坐标.22、【解析】解:令.当时单调递减;当时单调递增,故当时,取最小值于是对一切恒成立,当且仅当.令则当时,单调递增;当时,单调递减.故当时,取最大值.因此,当且仅当时,式成立.综上所述,的取值集合为.()由题意知,令则令,则.当时,单调递减;当时,单调递增.故当,即从而,又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使即成立.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切xR,f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.
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