2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解答与点评.doc

2012硕士研究生入学统一考试数学一解答与点评来源：超越考研 发布时间：1-1119:332012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解答与点评一、选择题（1）曲线渐近线的条数为( ) （A） （B） （C） （D）答案：选(C)解：，而，所以有两条渐近线和，故选（C）【点评】本题属于基本题，其难度低于超越数学一模拟三第（1）题（2）设函数，其中为正整数，则( ) （A） （B） （C） （D）答案：选（A）解法一：，故选（A）解法二：，故选（A）【点评】与超越强化班讲义第16页【例3】设求中函数形式和解题方法完全一致，我们真的没办法猜出函数了（3）如果函数在处连续，那么下列命题正确的是( ) （A）若极限存在，则在处可微（B）若极限存在，则在处可微（C）若在处可微，则极限存在（D）若在处可微，则极限存在答案：选（B）解：已知在处连续，设，因为，所以，故由极限的性质有，其中是当，时的无穷小量，记，则由全微分的定义知在点处可微分【点评】本题考察的知识点是极限的基本性质及全微分的定义，所用知识点与2007年数学二的选择题类似（4）设则有( ) （A） （B） （C） （D）答案：选（D）解：，所以，所以，故选（D）【点评】常规题型，但判定时有一定的技巧（5）设，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为( ) （A） （B） （C） （D）答案：选（C）【点评】考点（1）列向量组进行行变换后，有相同的相关性；（2）三个三维的向量线性相关的充要条件为所构成的行列式为零该题与超越最后五套模拟题中的数一模三第5题，数二模拟二第7题完全类似解法一： ，显然有，故线性相关解法二：因为，故线性相关附：数二模二（7）已知向量组作为列向量组成矩阵，则（A）不能由其余向量线性表示 （B）不能由其余向量线性表示（C）不能由其余向量线性表示 （D）不能由其余向量线性表示（6）设为阶矩阵，为阶可逆矩阵，且，若，则( ) （A） （B） （C） （D）答案：选（B）【点评】考点（1）等价于（2）也为的三个线性无关的特征向量故此题与超越五套模拟中的数一、三模五21题完全相同每个数字都是一样的，真是惊人的巧合，这大概只有在超越才能把数学模拟到如此完美的地步附：数一、三模五（21）（本题满分11分）为三阶实对称阵，为三阶正交阵，且（）证明，；（）若，计算，并证明与合同但不相似（7）设随机变量与相互独立，且分别服从参数为和参数为的指数分布，则( ) （A） （B） （C） （D）答案：选（A）解：的联合密度函数为故选（A）【点评】见超越冲刺班概率统计讲义例8设总体，为来自总体的一个简单随机样本记（）求的密度函数；（）求本例8第（）部分即为此题，只是将9换成4而已本例8第（）部分为数学三第（23）所考超越冲刺班学员实在受益（8）将长度为m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( ) （A） （B） （C） （D）答案：选（D）解：设分别为两段长度，则，因此故选（D）【点评】与超越强化班讲义第190页例1 将一枚硬币重复掷次，以和分别表示正面向上和反面向上的次数，则和的相关系数等于（）(A) (B) (C) (D)几乎一样此例1为历年真题二、填空题（9）若函数满足方程及，则 答案：“”解：解此二阶常系数齐次线性方程得通解又因满足可得，故【点评】此题为一个简单的二阶常系数齐次线性方程的求解问题，与冲刺班模拟二第（12）题类似，只是更简单一些（10） 答案：“”解：【点评】与超越冲刺班一元函数讲义【例5】设为正整数，则解题思路完全相同，先换元到对称区间，然后利用对称性（11） 答案：“”解：记，则【点评】本题考察的知识点是梯度的定义，在强化班中讲过梯度的定义以后，我们曾说过：“这个问题不需要举例题，人人都会做”本题也仅仅是超越模拟题数学一模拟四第10题解题过程中的一个步骤（12）设，则 答案：“”解：，在面上的投影区域如图所示【点评】本题考察的知识点是第一类曲面积分的基本计算方法，这也是历年考研试题中第一类曲面积分最简单的一个计算题做完了强化班讲义例1及冲刺班例17以后再做本题，感觉本题也太简单了（13）设为三维单位向量，为三阶单位矩阵，则矩阵的秩为 【点评】考点（1）实对称矩阵的秩为其非零特征值的个数；（2）时，的特征值为，此题仅数一考，是代数三个小题中最难的一个若要按照知识点求解出来，对考生来说难度很大，但对超越冲刺班的学员来说，却是易如反掌因为孙老师和余老师都强调了选择、填空题中的赋值法并把这些都写进了冲刺班讲义令我们感到欣慰的是，我们有很多学员都是用赋值法做出来的答案：“”解法一：的特征值为，的特征值为，故秩为解法二：令，则，从而秩为附：冲刺班讲义（5），为维非零列向量则有 ； ；的特征值只能取； 时，必可相似对角化，此时的特征值为一个，个零；特征值对应的特征向量为，特征值对应的特征向量为（14）设是随机事件，与互不相容， ， 答案：“”解：【点评】会做超越冲刺班概率统计讲义例1设随机事件两两独立，且，已知至少发生一个，则仅有不发生的概率为 本题就是毛毛雨啦三、解答题（15）证明，证法一：令，所以，当时，；当时，故当时，即证证法二：由于为偶函数，故只需证明时不等式成立即可当时，所以，得证证法三： 即证证法四：由于为偶函数，故只需证明时不等式成立即可所以得证【点评】首先不等式证明时今年超越冲刺班强调的第一重点再仔细比较超越冲刺班数学一模拟二（15）：（15）（本题满分10分）设，证明：中的不等式两边的函数，有多项式函数，三角函数和指数（对数）函数，惊人地相似最后看证明方法，均有利用单调性、幂级数展开、积分关系多种方法证明，对超越冲刺班同学真的没说的！（15）【证法一】令，则，因为，所以，单调递增，由知从而单调递增，再由知，从而单调递增，最后由知，故要证的不等式成立【证法二】， 故当时，【证法三】由于当时，在依次作积分得：，即，即（16）求函数的极值解：令得驻点，在点处，因为，且，所以是的极小值点，极小值在处，因为，且，所以是的极大值点，极大值【点评】本题的解题方法是求无条件极值的最基本方法，这与下列各题的解题方法完全相同：同济大学高等数学教材（五版）下册例4，合肥工业大学高等数学教材下册例2，强化班讲义例1（即2009年数学一、三考研试题）（17）求幂级数的收敛域及和函数解：记，由，可得故收敛区间为当时级数均发散，故收敛域为设其中，而，可得，可得所以【点评】还记得苏灿荣老师在冲刺班讲过的话吗？级数的大题肯定是考幂级数的大题，并且串讲时的例题就是这种题型另此题与超越强化班讲义的例1完全相同，既用到了求导又用到了积分原题为：求幂级数的收敛域及和函数, （18）已知曲线，其中函数具有连续导数，且，若曲线的切线与轴的交点到切点的距离恒为，求函数的表达式，并求此曲线与轴与轴无边界的区域的面积解：因为，故曲线上任一点，即点处的切线方程为由此可得切线与轴的交点为，根据题意有即，可得由，可得，故面积【点评】微分方程的几何应用是我们在强化班与冲刺班反复强调的题型，且建立方程所用到的知识点在强化班讲义中也列出此题与强化班讲义的例1类似（19）已知是第一象限中从点沿圆周到点，再沿圆周到点的曲线段，计算曲线积分解法一：补充曲线为轴上从点到点的直线段，设与围成区域，由Green公式，解法二：在中，因为，所以积分与路径无关，取从点到点的直线段为，则把分成两部分如图所示，【点评】本题与强化班讲义例1如出一辙，解法完全相同而对于解法二，只要注意到冲刺班例14的补充说明即可非常容易地解答本题如果不利用曲线积分与路径无关的等价条件，而把分成两部分，利用解法二中计算同样的方法，直接计算原积分也是可行的，但是计算过程较繁琐一些（20）设，（）求；（）已知线性方程组有无穷多解，求并求的通解【点评】考点（1）为方阵，有无穷多解的必要条件为；（2）有无穷多解的充要条件为此题太常规，太简单，超越的基础班，强化班讲义都有完全类似的题目解：（）（）得，当时，方程组无解舍去当时，方程组有无穷多解，符合题意，通解为（21）已知，二次型的秩为（）求实数的值；（）求正交变换将化为标准形【点评】考点（1）二次型的秩为；（2）本题的关键是要知道，若不知道则很难算出来，因为求行列式计算量太大同学都应该记得冲刺班上孙老师和余老师是怎么强调要记住这一结果的，并且我们还给出了证明由此可见这一结论的重要性而这终于在12年考研中得到了应证这也充分说明了上超越数学辅导班的好处，因为这一结论在一般教科书上不是很强调的解法一：由得，从而，有三个特征值分别解三个线性齐次方程组，求得特征向量后，再单位化得正交阵，对角阵，正交变换，的标准型为解法二：若不知也可做但很繁，此行列式难算，算出后还要因式分解，不容易！据我了解选择此方法的都没算出，得分也不会超过4分（22）设二维离散型随机变量的概率分布为（）求；（）求解：（）（），【点评】哈哈，送分题（23）设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与，其中是未知参数且设（）求的概率密度；（）设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计；（）证明为的无偏估计量解：（）由于，所以的密度函数为，（），令，解得（），所以为的无偏估计量【点评】在超越冲刺班中强调极大似然估计和无偏性是今年统计的两个重点并列举下列例9. 设总体的密度函数为其中为未知参数，为来自总体的一个简单随机样本（I）求的极大似然估计；（II）(数三)求（II）（数一）问是否为的无偏估计？上一篇：考研数学临场发挥策略