初一数学上册知识点与测试题

1 初一数学上册知识点与测试题 第一章 基本的几何图形 1 1 2 我们身边的图形世界 几何图形 一 知识归纳 一 几何图形 1 从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形 我们观察分析周围的物体时 如果只注意它们的形状 大小 如长度 面积 体积等 以及 相对位置 如垂直 平行 相交等 而不考虑它们的颜色 材料和质量 用途等等 就从 中抽象出了几何图形 几何图形包括立体图形和平面图形 有些图形的各部分不都在同一平面内 它们是立体图形 有些图形的各部分都在同一平面内 它们是平面图形 像长方体 正方体 圆柱 圆锥 圆台 棱柱 棱锥 棱台 球等 它们都是立体图形 像 线段 射线 直线 三角形 长方形 梯形 圆 扇形等等 它们都是平面图形 2 像长方体 正方体 圆柱 圆锥 球等都是几何体 简称为体 包围着体的是面 面有平的 面和曲的面两种 观察上面几何体的表面特点将它们分类 圆柱 圆锥和球为一类 因为 它们的面有的为曲面 棱柱和棱锥的面都是平的为一类 像这一类几何体也叫多面体 二 点 线 面 体 1 从图形运动的观点来看 点动成线 线动成面 面动成体 如天空中喷气式飞机喷烟拉 线的过程给我们点动成线的印象 用一块木板的边缘平整沙地的过程给我们线动成面的印象 在桌面上旋转一枚硬币会看到一个小球体 这说明面动成体 2 几何图形都是由点 线 面 体组成的 点是构成图形的基本元素 面和面相交的地方 形成线 线和线相交的地方是点 3 有些图形是由一些平面图形围成的 将它们的表面适当剪开 可以展开成平面图形 这 样的平面图形称为相应立体图形的展开图 二 典型例题 例 1 1 指出图中几何图形的名称 2 2 圆柱的侧面展开图是一个 圆锥的侧面展开图是一个 3 用一根长 36cm 长的铁丝 加工成一个正方体的框 则这个正方体的棱长是 4 一个长为 10 宽为 5 的长方形 若绕它的长所在直线旋转一周 所得的圆柱的曲面面 积为 若绕它的宽边所在直线旋转一周 所得的圆柱的曲面面积为 例 2 如图 第二行图形绕虚线旋转一周 便能形成第一行的某个几何体 请用线连接起 来 例 3 用平面截一个正方体 截面的形状有哪几种可能 例 4 把立方体六个面分别涂上六种不同颜色 并画上朵数不等的花 各面上的颜色与花的 朵数情况列表如下 颜色 红 黄 蓝 白 紫 绿 花的朵数 1 2 3 4 5 6 现将上述大小相同 颜色花朵分布完全一样的四个小立方体拼成一个水平放置的长方体 如 图所示 问长方体的下底面共有多少朵花 例 5 下图 2 5 是图 1 的正方体切去一块 得到的几何体 它们各有多少个面 多少条棱 多少个顶点 举例说明其他形状的几何体也切去一块 所得到的几何体的面数 棱数和顶点数各是多 少 若面数记为 f 棱数记为 e 顶点数记为 v 则 f v e 应满足什么关系 例 6 如下图 在圆锥的底面圆周 A 点处有一只蚂蚁 要从侧面爬一圈后 再回到 A 点 请 你结合圆锥的侧面展开图 设计一条最短路线 3 1 3 线段 射线和直线 一 知识归纳 1 线段 绷紧的琴弦 人行横道线都可以近似地看作线段 线段有三个特征 线段是直的 线段 有两个端点 有长短 线段没有粗细 线段用它的两个端点来表示 在几何中 通常用一个大写英文字母表示一个点 用 A B 表 示两个端点的线段表示为线段 AB 或线段 BA 字母是无序的 线段还可以用一个小写英文字 母表示 如线段 a 2 射线 将线段向一个方向无限延伸就形成了射线 射线只有一个端点 向一方无限延伸 射线用它的端点和射线上另一个任意点来表示 且端点在前 字母是有序的 射线 AB 与射 线 BA 是不同的射线 也可以用一个小写字母来表示 如射线 l 等 3 直线 将线段向两个方向无限延伸就形成了直线 直线没有端点 向两方无限延伸 线段和射线也可以看作是直线的一部分 线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分 射 线可以看作是直线上一点及其一旁的部分 直线用直线上任意两个点来表示 如 A B 是直线上任意两点 则这条直线可表示为直线 AB 或直线 BA 字母是无序的 直线还可以用一个小写字母来表示 如直线 l 4 经过两点有且只有一条直线 这条性质包含两层含义 一是说经过两点有一条直线 肯定有 不是没有 即存在性 二是 说经过两点只有一条直线 不会多 即惟一性 这个性质可简单叙述为 两点确定一条直线 通常称为直线公理 如果两条直线经过同一点 称这两条直线相交 有惟一的公共点 这个公共点叫交点 二 典型例题 例 1 1 如图所示的两条直线交于 P 点 用两种方法表示这两条直线是 4 2 如图所示 在下列语句中 能正确表示出图形特点的有 直线 l 经过点 A B 点 A 和点 B 都在直线 l 上 直线 l 是 A B 两点所确定的直线 l 是一条直线 A B 是直线 l 上任意两点 A 1 句 B 2 句 C 3 句 D 4 句 3 如图所表示的含义 下列说法正确的是 A 延长射线 AB B 延长线段 AB C 反向延长线段 BA D 反向延长线段 AB 4 如图 直线上有 A B C 三点 下列说法正确的有 射线 AB 与射线 BC 是同一条射线 直线 AB 经过点 C 射线 AB 与射线 AC 是同一条射线 直线 AB 与直线 BC 是同一条直线 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5 如图 对于直线 AB 线段 CD 射线 EF 其中能相交的是 例 2 如图中 能用字母表示的直线 射线 线段各有几条 分别是哪几条 例 3 已知平面内的四个点 A B C D 过其中两个点画直线 可以画出几条 5 例 4 1 如图 线段 AB 上有 C D 两点 则图中共有线段 A 3 条 B 4 条 C 5 条 D 6 条 2 乘火车从 A 站出发 沿途经过 3 个车站方可到达 B 站 如图 那么 A B 两站之间 需要安排多少种不同的车票 1 4 线段的比较与做法 一 知识归纳 1 两点之间的所有连线中 线段最短 简单说成两点之间线段最短 2 两点之间线段的长度 叫做这两点间的距离 线段的长度可用有刻度的直尺测量 3 线段大小的比较方法 1 叠合法 如比较线段 AB CD 的大小 可将线段 AB CD 移到同一条射线上 使它们的端 点 A C 都与射线的端点重合 再由点 B 与点 D 的位置关系 就可得出线段 AB 和 CD 的三种 大小关系 2 度量法 先用刻度尺量每条线段的长度 再按照长度比较它们的大小 线段的大小关系 和它们长度的大小关系是一致的 表示方法 用几何语言表述两线段比较可能出现的三种结果 若两线段为线段 AB 线段 CD 如上图 则分别有如下结论 ABCD 4 线段的中点 如果点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 BM 那么点 M 叫做线段 AB 的中点 类似地 线段有三等分点 四等分点等 如图所示 若点 M 是线段 AB 的中点 则 AM BM AB 或 AB 2AM 2BM 二 典型例题 6 例 1 1 如图 A B 是河流 l 两旁的两个村庄 若在河流 l 上建一个水厂 使它到两个 村庄铺设的供水管道最短 请你在 l 上标出点 C 的位置 并说明理由 2 一个圆柱形的柱子 一只蚂蚁由柱子的一条高 AB 的最底端 B 点沿侧面转圈爬到顶端 A 点 问小蚂蚁怎么走路线最短 例 2 1 C 是线段 AB 的中点 D 是线段 BC 上一点 则下列说法不正确的是 A CD AC BD B C CD AD BC D 2 如果点 B 在线段 AC 上 那么下列表达式中 AB BC AC 2AB AB BC AC 能表示 B 是线段 AC 的中点的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3 已知线段 AB 10cm PA PB 20cm 下列说法正确的是 A 点 P 不能在直线 AB 上 B 点 P 只能在直线 AB 上 C 点 P 只能在线段 AB 的延长线上 D 点 P 不能在线段 AB 上 例 3 如图所示 C 是线段 AB 的中点 D 是线段 CB 的中点 BD 2cm 求 AD 的长 例 4 已知线段 AB 8cm 在直线 AB 上有一点 C 且 BC 4cm M 是线段 AC 的中点 求线段 AM 的长 第二章 有理数 2 1 有理数 正数与负数 1 一 知识归纳 1 正数 像 3 2 1 8 这样大于 0 的数叫做正数 2 负数 像 3 2 2 7 这样在正数前面加上负号 的数叫做负数 3 0 0 既不是正数 也不是负数 一般地 号往往省略不写 但负数前面的 号不能省略 7 对于正数和负数的概念 不能简单地理解为 带 号的数是正数 带 号的数是负 数 学会用正 负数表示具有相反意义的量 相反意义的量包含两个要素 一是意义相反 如 向东的反向是向西 上升与下降 收入与支出 二是他们都是数量 数 0 既不是正数又不是负数 是正数和负数的分界 是基准 二 典型例题 例 1 下列四组数中 都是正数或都是负数的是 4 1 0 3 2 3 0 1 0 1 2009 2 0 A B C D 例 2 将下列各数填入相应的括号内 2 5 3 14 2 72 0 6 0 例 3 下列说法中不正确的是 A 0 是自然数 B 0 是正数 C 0 是整数 D 0 表示没有 例 4 一个物体沿着南北方向在运动 若规定向南记作正 向北记作负 则该物体 1 向南运动 20 米记作 向北运动 50 米记作 2 25 表示向 运 动 米 26 表示向 运动 米 3 原地不动记作 例 5 学校篮球队选拔男队员 按规定队员的标准身高为 175cm 高于标准身高记录为正 低于标准身高记录为负 现有参选队员 5 人 量得他们的身高后 分别记录为 6cm 4cm 1cm 2cm 7cm 若实际选拔的男队员的身高为 170cm 180cm 那么 上述五人中有几人可入选 例 6 数学考试成绩以 96 分以上为优秀 以 96 分为标准 老师将某组的八名同学的成绩简 记为 4 3 10 10 16 17 0 7 5 1 分别写出这八名同学的实际成绩 2 求出这八名同学的平均分 例 7 小虫从某点 O 出发在同一直线上来回爬行 假定向右爬行的路程记为正数 向左爬行 的路程记为负数 爬过的各段路程依次记为 单位 厘米 5 3 10 8 6 12 10 1 小虫离开出发点 O 最远时是多少厘米 2 小虫从出发到最后停下来回共爬行多少厘米 例 8 观察下列一列数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 请写出这一列数中的第 100 个数和第 2009 个数 2 在前 2010 个数中 正数和负数分别有多少个 3 2011 和 2011 是否在这一列数中 若在 请写出它们分别是第几个数 若不存在 请 说明理由 2 1 有理数 2 一 知识归纳 有理数的分类 整数 正整数 0 负整数统称为整数 8 分数 正分数和负分数统称为分数 有理数 整数和分数统称为有理数 二 典型例题 例 1 下列说法正确的是 A 有理数是正数 B 有理数包括正数和负数 C 零不是有理数 D 有理数包括正有理数 0 和负有理数 例 2 下列关于有理数分类正确的是 A 有理数分为正有理数和负有理数 B 有理数分为正整数 负整数 正分数 负分数 C 有理数分为正有理数 0 分数 D 有理数分为自然数 负整数 分数 例 3 把下列各数填在相应的大括号里 负数 整数 自然数 分数 5 2 2 0 2008 25 6 3 3 7 例 4 在数 6 4 0 6 10 1 2010 中 A 有理数有 6 个 B 是负数 C 非正数有 3 个 D 以上都不对 例 5 下列各数 3 5 0 2 0 97 0 21 6 3009 1 其中正数有 个 负数 个 正分数有 个 负分数有 个 非负整数有 个 例 6 按规律填空 1 1 2 3 4 5 6 2 3 1 3 5 7 例 7 将一串有理数按下列规律排列 回答下列问题 9 1 在 A 处的数是正数还是负数 2 负数排在 A B C D 中的什么位置 3 第 2010 个数是正数还是负数 排在对应于 A B C D 中的什么位置 例 8 已知 A B C 三个集合 每个集合中所包含的数都写在各自的大括号内 请把这些数 填在下图圈内的相应位置 A 2 3 8 6 7 B 3 5 1 2 6 C 1 3 8 2 5 2 2 数轴 一 知识归纳 一 数轴 规定了原点 单位长度和正方向的直线 三要素 原点 正方向 单位长度 二 包含三个内容 第一是数轴是一条直线 可以向两方无限延伸 第二是数轴的三要素 原点 正方向 单位长度 缺一不可 第三是原点的选定 正方向的取向 单位长度的确定都是规定的 通常取向右为正方向 所有的有理数都可以用数轴上的点表示 但数轴上的点所表示的不都是有理数 三 数轴的画法 1 画直线 一般画水平的 2 在直线上取一点定为原点 0 在原点下方标上 0 3 取原点向右的方向为正方向 并用箭头表示出来 4 选取适当的长度作为单位长度 从原点向右每隔一个单位长度取一点 依次表示 1 2 3 4 从原点向左 每隔一个单位长度取一点依次表示为 1 2 3 零 用原点表示 如图 二 典型例题 例 1 下列各图中 是数轴的是 A B C D 例 2 数轴上原点及原点左边的点表示 例 3 如图 指出数轴上 A B C D E 分别表示什么数 10 A 点表示 B 点表示 C 点表示 D 点表示 E 点表示 例 4 在数轴上距原点 2010 个单位长度的点表示的数是 A 2010 B 2010 C 2010 或 2010 D 以上都不对 例 5 2008 年 8 月第 29 届奥运会在北京开幕 5 个城市的国际标准时间 单位 时 在数 轴上表示如图所示 那么北京时间 2008 年 8 月 8 日 20 时应是 A 伦敦时间 2008 年 8 月 8 日 11 时 B 巴黎时间 2008 年 8 月 8 日 13 时 C 纽约时间 2008 年 8 月 8 日 5 时 D 首尔时间 2008 年 8 月 8 日 19 时 例 6 数轴上点 A 和点 B 表示的数分别是 1 2 和 2 2 点 C 到 A B 两点的距离相等 则点 C 表示的数是 A 1 B 0 5 C 0 6 D 0 8 例 7 已知数轴上有三个点 A B C 点 A 表示的数是 2 点 B 在点 A 的左侧 5 个单位长度 点 C 在点 B 的右侧 4 个单位长度 则点 B 表示的数是 点 C 表示的数是 例 8 在数轴上 一只蚂蚁从原点出发 它先向右爬了 4 个单位长度到达点 A 再向右爬了 2 个单位长度到达点 B 然后又向左爬了 10 个单位长度到达点 C 1 写出 A B C 三点表示的数 2 根据点 C 在数轴上的位置 C 点可以看作是蚂蚁从原点出发 向哪个方向爬了几个单 位长度得到的 例 9 已知在一条只有正方向的不完整的数轴上有 A B C D 四个点 如图所示 1 若点 C 是原点 单位长度是 1 则 A B C D 四点分别表示什么数 2 若点 B 是原点 点 C 表示的数为 10 则 A D 两点所表示的数分别是什么数 3 若 D 点表示的数是 6 A 点表示的数是 12 则在图中标出原点的位置 并写出 B C 两点各表示什么数 例 10 1 一只蝈蝈在数轴上跳动 先从 A 处向左跳 1 个单位长度到 B 然后由 B 向右跳 2 个单位长度到 C 若 C 表示的数为 3 则点 A 所表示的数为 2 若蝈蝈第一步从 P0向左跳 1 个单位长度到 P1 第二步从 P1向右跳 2 个单位长度到 P2 第三步由 P2向左跳 3 个单位长度到 P3 第四步由 P3向右跳 4 个单位长度到 P4 按以上规律跳了 100 步 蝈蛔落在数轴上的点 P100所表示的数是 2010 则这只蝈蝈初始位 置 P0所表示的数是 2 3 相反数与绝对值 1 一 知识归纳 一 相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数 1 代数意义 只有符号不同的两个数叫互为相反数 其中一个数叫另一个数的相反数 也称这两个数互为相反数 零的相反数是零 11 2 几何意义 在数轴上的原点两旁 离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数 3 性质 互为相反数的和为 0 即 a b 0 a b 两数互为相反数 4 符号 在一个数前面加 号表示这个数的相反数 如数 a 的相反数是 a 强调 只有符号不同的两个数 中的 只有 指的是除了符号不同以外完全相同 不能理 解为只要符号不同的两个数就是互为相反数 二 除零外的两个相反数在数轴上 位于原点的两侧 且到原点的距离相等 即一个正数 的相反数是一个负数 一个负数的相反数是一个正数 0 的相反数仍是 0 二 典型例题 例 1 如图 表示互为相反数的两个数的点是 A A 和 C B A 和 D C B 和 C D B 和 D 例 2 化简下列各数的符号 1 5 2 3 3 6 4 8 例 3 下列各对数中 互为相反数的有 1 与 1 2 与 2 3 与 3 4 与 4 2 与 2 A 1 对 B 2 对 C 3 对 D 4 对 例 4 点 A B C D 在数轴上的位置如图所示 其中表示 2 的相反数的点是 例 5 如图所示 是一个正方体纸盒的展开图 若在其中的三个正方形 A B C 内分别填入 适当的数 使得它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数 则填入正方形 A B C 内的三个数依次为 A 1 2 0 B 0 2 1 C 2 0 1 D 2 1 0 例 6 数轴上的点 A 向右移 5 个单位长度后到点 A 若 A 与 A 表示的数恰好互为相反数 那么点 A 表示的数是 A 2 5 B 2 5 C 5 D 5 例 7 已知有理数 a b 在数轴上的位置如图所示 1 在数轴上表示出 a b 2 比较 a b a b 的大小 用 连接 例 8 如图所示 已知 A B C D 四个点在一条没有标明原点的数轴上 12 1 若点 A 和点 C 表示的数互为相反数 则原点为 2 若点 B 和点 D 表示的数互为相反数 则原点为 3 若点 A 和点 D 表示的数互为相反数 在数轴上表示出原点的位置 例 9 数轴上到原点的距离小于 2 的整数点的个数为 x 不大于 2 的整数点的个数为 y 等 于 2 的整数点的个数为 z 求 x y z 的值 2 3 相反数与绝对值 2 一 知识归纳 一 绝对值 一般地 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值 记作 a 绝对值的几何意义 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离 数 a 的绝对 值记作 a 绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身 一个负数的绝对值是它的相反数 0 的绝 对值是 0 注意 取绝对值也是一种运算 运算符号是 求一个数的绝对值 就是根据性质去掉 绝对值符号 二 绝对值的性质 一个正数的绝对值是它本身 一个负数的绝对值是它的相反数 0 的绝对值是 0 绝对值具有非负性 取绝对值的结果总是正数或 0 如果若干个非负数的和为 0 那么这 若干个非负数都必为 0 例如 若 a b c 0 则 a 0 b 0 c 0 任何一个有理数都是由两部分组成 符号和它的绝对值 如 5 符号是负号 绝对值是 5 非负数的绝对值等于它本身 非正数的绝对值等于它的相反数 二 典型例题 例 1 一个数的绝对值是 2010 则这个数是 绝对值小于 6 的整数有 个 它们是 例 2 如果 a 的相反数是最大的负整数 b 是绝对值最小的数 那么 a b 例 3 如图 数轴上的点 A 所表示的是有理数 a 则点 A 到原点的距离是 例 4 绝对值不大于 4 的非负整数有 A 4 个 B 5 个 C 7 个 D 9 个 例 5 下列各对数中 互为相反数的是 A 20 和 20 B 3 和 3 C 12 和 12 D a 和 a 例 6 3 14 的值为 A 0 B 3 14 C 3 14 D 0 14 例 7 如果 a a 下列成立的是 13 A a 0 B a 0 C a 0 D a 0 例 8 下列各题正确的是 若 m n 则 m n 若 m n m n 若 m n 则 m n 若 m n 则 m n A B C D 例 9 当 x 时 x 5 取最小值 这个最小值是 当 a 时 36 a 2 取最 值 这个值为 例 10 已知 a 2 b 3 c 3 且有理数 a b c 在数轴上的位置如图 计算 a b c 的值 例 11 已知 a 2 b 1 0 求 a b 的值 例 12 按规定 食品包装袋上都应标明袋内装食品有多少克 下表是几种饼干的检验结果 号分别表示比标准重量多和少 用绝对值判断哪一种食品最符合标准 威化 咸味 甜味 酥脆 10 g 8 5 g 5 g 3 g 2 3 利用绝对值比较有理数的大小 3 一 知识归纳 正数 0 负数 1 一个数的绝对值越大 表示这个数在数轴上表示的点离原点越远 2 两个正数 绝对值大的正数大 两个负数 绝对值大的反而小 有理数大小比较小结 能化简的先化简 然后按照有理数大小比较法则进行比较 异号两数比较大小 负数总是小于正数 两正数比较大小 绝对值大的数大于绝对值小的数 两负数比较大小 绝对值大的反而小 负数小于零 零小于正数 二 典型例题 例 1 1 两个正数 绝对值大的 两个负数 绝对值大的 填 大 或 小 2 用 或 填空 5 7 5 7 例 2 如图的数轴 填空 1 a b 2 a c 3 a b 4 a b 5 b c 6 a c 例 3 如果 m 0 n 0 m n 那么 m n m n 的大小关系是 14 A n m m n B m n m n C n m n m D n m n m 例 4 如图所示 已知有理数 a b c 在数轴上的对应点 试比较 a a b b c c 0 的大小 例 5 绝对值小于 5 且大于 1 的负整数有 个 分别是 例 6 用不等号连接 4 2 2 3 5 1 2 例 7 下列说法中正确的是 A 若 a 和 b 都是负数 且 a b 则 a b B 若 a 和 b 都是负数 且有 a b 则 a b C 若 a 0 b 0 且 a b 则 a b D 若 a 和 b 都是正数 且有 a b 则 a b 例 8 正式排球比赛对所用排球的质量有严格的规定 下面是 8 个排球的质量检测结果 用 正数记超过规定质量的克数 用负数记不足规定质量的克数 25 10 11 30 16 14 11 39 请指出哪个排球质量好一些 并用绝对值的知识进行说明 例 9 已知 且 a b 求 a b 的值 第三章 有理数的运算 一 知识归纳 一 有理数的加法法则 1 同号两数相加 取相同的符号 并把绝对值相加 2 绝对值不相等的异号两数相加 取绝对值较大的加数的符号 并用较大的绝对值减去较 小的绝对值 3 互为相反数的两个数的和为 0 4 任何数同零相加都等于它本身 二 有理数加法运算律 1 交换律 a b b a 2 结合律 a b c a b c 二 典型例题 例 1 计算 1 18 22 3 3 3 4 2010 0 例 2 列式计算 1 比 18 的相反数大 30 的数 2 75 的相反数与 24 的绝对值的和 15 例 3 已知 a 15 b 14 且 a b 则 a b 的值等于 A 29 或 1 B 29 或 1 C 29 或 1 D 29 或 1 例 4 若 a 2 与 b 5 互为相反数 求 a b 的值 例 5 已知 a c 2009 b d 2010 则 a b c d 例 6 如果 a 1 2 b 1 0 那么 a 1 1 8 b 例 7 用适当的方法计算 1 51 12 7 11 36 2 3 45 12 5 19 9 3 45 7 5 例 8 在抗洪抢险中 人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民 早晨从 A 地出发 晚上到达 B 地 规定向东为正 当天航行记录如下 单位 千米 16 8 13 9 12 6 10 1 B 在 A 的哪一侧 相距多远 2 若冲锋舟每千米耗油 0 45 升 则这一天共消耗了多少升汽油 3 1 有理数加减与减法运算 2 一 知识归纳 一 有理数的减法法则 1 交换律 a b b a 2 结合律 a b c a b c 3 有理数的减法法则 减去一个数 等于加这个数的相反数 即 a b a b 二 小结 1 有理数的加减法可统一成加法 加减法统一成加法算式 按减法法则减去一个数可写成加上它们的相反数 这样便把加减法 统一成加法算式 几个正数或负数的和称为代数和 2 因为有理数加减法可统一成加法 所以在加减运算时 适当运用加法运算律 把正数与 负数分别相加 可使运算简便 但要注意交换加数的位置时 要连同前面的符号一起交 换 3 有理数加减混合运算的方法和步骤 1 将有理数加减法统一成加法 然后省略括号和加号 2 运用加法法则 加法运算律进行简便运算 4 有理数加减混合运算的技巧方法 1 把正数 负数分别相加 2 把和为零或整数的分别相加 3 把整数 分数分别相加 4 把同分母的 易通分的分数分别相加 16 二 典型例题 例 1 将下列括号内填上适当的数 1 7 3 7 2 5 4 5 3 0 2 5 0 4 8 2010 8 例 2 已知 x 5 y 3 则 x y 例 3 当 时 x x y x y y 中最大的是 A x B x y C x y D y 例 4 已知 m 5 n 27 且 m n m n 则 m n 例 5 如图 数轴上 A 点表示的数减去 B 点表示的数 结果是 A 8 B 8 C 2 D 2 例 6 把 18 33 21 42 写成省略括号的和是 A 18 33 21 42 B 18 33 21 42 C 18 33 21 42 D 18 33 21 42 例 7 计算 1 5 10 32 7 2 3 1 2 3 4 5 6 99 100 例 8 一只蚂蚁在一张棋盘的一条直线上爬行 规定向右为正方向 第一次它从 A 点向右爬 了 1 个单位 第二次向左爬了 2 个单位到 B 点 第三次又向右爬了 3 个单位后到了 C 点 第 四次再向左爬了 4 个单位到达 D 点 这样它一直爬了 20 次 爬到了 A0点 已知 A0点表示 18 那么 A 点表示什么数呢 例 9 阅读第 1 小题的计算方法 再计算第 2 小题 以上这种解题的方法叫做拆项法 例 10 先阅读下面的解题过程 然后解答后面的题目 17 3 2 有理数的乘法与除法 1 一 知识归纳 一 有理数的乘法法则 1 两数相乘 同号得正 异号得负 任何数同 0 相乘 积仍得 0 2 n 个数相乘 当负因数的个数为奇数个时 积为负 当负因数的个数为偶数个时 积为 正 3 互为倒数的两个数乘积为 1 二 有理数乘法的运算律 1 乘法交换律 两个数相乘 交换因数的位置 积不变 即 ab ba 2 乘法结合律 三个数相乘 先把前两个数相乘或先把后两个数相乘 积不变 即 ab c a bc 3 分配律 一个数同两个数的和相乘 等于把这个数分别同这两个数相乘 再把积相加 即 a b c ab ac 二 典型例题 例 1 计算 3 5 2 3 3 125 0 例 2 的倒数与 的相反数的积是 例 3 1 下列说法正确的是 A 若 ab 0 则 a 0 b 0 B 若 ab 0 则 a 0 b 0 C 若 ab 0 且 a b 0 则 a 0 b 0 D a 为任一有理数 则 a a 0 2 若 a b a b 则一定有 A a 0 b 0 B a 0 b 0 C a 0 b 0 D a b 0 3 比较 a 与 3a 的大小 正确的是 A 3a a B 3a a C 3a a D 上述情况都有可能 4 若 a b 满足 a b 0 ab 0 则下列结论正确的是 A a b B a 0 b 0 时 a b C a 0 b 0 时 a b D a b 5 x y z 是三个有理数 若 x y x y 0 且 xyz 0 18 判断 x y z 的正负性 试判断 x z x y 的符号 例 4 已知 a 2 b 4 a b ab 0 求 2ab 2a 2b 的值 例 5 1 2 2 3 2007 2008 2008 2009 例 6 计算 例 7 用简便方法计算 1 8 5 0 125 3 2 有理数的乘法与除法 2 一 知识归纳 有理数的除法法则 除法是已知两个因数的积及其中一个因数 求另一个因数的运算 1 除以一个不等于 0 的数 等于乘这个数的倒数 可以表示成 a b a 其中 b 0 2 两数相除 同号得正 异号得负 并把绝对值相除 0 除以任何不等于 0 的数都得 0 3 0 不能作除数 乘积为 1 的两个有理数互为倒数 正数的倒数是正数 负数的倒数是负数 0 没有倒数 注意 1 0 没有倒数 2 互为倒数的两数为同号 二 典型例题 例 1 计算 例 2 1 若 a b c 均为负数 则 0 填 或 2 若 0 则一定有 A a 0 B b 0 且 a 0 C a b 0 D a 0 或 b 0 3 当 x 时 式子 没有意义 19 4 如果 那么 a 是 A 正数 B 负数 C 非正数 D 非负数 例 3 化简下列分数 例 4 计算 例 5 当 a 2 b 4 c 7 d 3 5 时 计算下列各式的值 1 a b c d 2 d c b a 例 6 设 a 1 2 3 4 b 1 2 3 4 c 1 2 3 4 d 1 2 3 4 计算 b a c d 的值 例 7 1 若 ab 0 求 的值 2 三个有理数 a b c 为不等于 0 的有理数 其积为负数 其和为正数 求 的值 3 a b c 均为不等于零的有理数 求 的值 3 2 有理数的加减乘除混合运算 3 一 知识归纳 1 在带有括号的运算中 先算小括号 再算中括号 最后算大括号 2 在没有括号的不同级运算中 先算乘方再算乘除 最后算加减 注意运算律 3 合理运用运算律 合理运用运算律是提高有理数运算能力的基本保证 在运用时 首先 要搞清楚各种运算律的名称和使用的方法 1 加法交换律和结合律通常在加 减运算中同时使用 交换的目的在于结合 结合时一般 是按正负结合 按相反数结合 总之 将容易计算的数进行结合 2 乘法交换律和结合律通常在乘 除运算中使用 交换的目的同样是为了结合 结合时一 般将能约分的数结合 20 3 分配律是乘法对加法的分配 它既可以正用 即 a b c ab ac 也可以逆用 即 ab ac a b c 要特别注意除法对加法没有分配律 不要出现 12 4 3 12 4 12 3 3 4 7 的错误 4 含多重括号时 要注意灵活去括号 没必要墨守成规 总是先去小括号 再去中括号 最后去大括号 也可以先去大括号 再去小括号 有理数的加减乘除混合运算 应按照 先乘除 后加减 的顺序进行 若有括号 则应先计 算括号内的数 二 典型例题 例 1 1 若 x 4 则 x 2 已知 a 3 b 2 c 5 则 3 等式 8 2 4 中 表示的数是 例 2 当 a b 0 时 则 0 例 3 下列计算正确的是 A 1 7 1 7 1 1 1 B 12 3 4 12 3 12 4 4 3 7 C 3 66 3 3 D 0 5 2 3 6 0 0 0 例 4 阅读下面解题过程 计算 解 原式 回答 1 上面解题过程有两个错误 第一处是第二步 错误的原因是运算顺序错了 第 二处是第三步 错误的原因是结果错了 2 求出正确的结果 解 原式 例 5 计算 21 例 6 在如图所示的运算流程中 若输出的数 y 3 则输入的数 x 例 7 小强在自学了简单的电脑编程后 设计了如图所示的程序 他若输入的数为 1 那 么执行程序后输出的数是多少 例 8 计算 例 9 某市质量监督局从某食品厂生产的罐头中 随意抽取 20 听进行检查 超过标准质量 的用正数表示 不足标准质量的用负数表示 抽查的结果如下表 与标准质量的偏 差 单位 克 10 5 0 5 10 15 听数 2 5 4 6 2 1 试问 这批样品的平均质量比标准质量多或者少多少克 3 3 有理数的乘方 1 一 知识归纳 一 定义 22 有理数的乘方 一般地 n 个相同的因数 a 相乘 即 记作 an 读作 a 的 n 次 方 求 n 个相同的因数的积的运算 叫做乘方 乘方的结果叫做幂 在 an中 a 叫做底数 n 叫做指数 当 an看作 a 的 n 次方的结果时 也可以读作 a 的 n 次幂 幂的读法 关键是分清底数和指数 如 2 4读作 2 的四次方的相反数 或 2 的四次幂的 相反数 不能读作 2 的四次方 或 2 的四次幂 注意 一个数可以看作这个数本身的一次方 指数 1 通常省略不写 二 乘方的性质 正数的任何次幂都是正数 负数的奇数次幂是负数 负数的偶数次幂是正数 0 的任何正整数次幂都是 0 注意 负数的乘方 在书写时一定要把整个负数 连同负号 用小括号括起来 分数的乘方 在书写时 也应加小括号 如不加括号则表达的是另外一个意义 二 典型例题 例 1 在 6 2中 底数是 指数是 运算结果是 在 6 2中 底数是 指数是 运算结果是 例 2 3 2的意义是 3 2的意义是 例 3 计算 1 4 3 2 2 4 3 4 2 3 例 4 下列各对数中 数值相等的是 A 3 2和 2 3 B 2 3和 2 3 C 3 2和 3 2 D 3 2 2与 3 2 2 例 5 已知 a b 0 且 a 0 则当 n 是自然数时 下列各式一定成立的是 A a 2n b2n B a 4n b 4n 0 C a 2n 1 b2n 1 D a n b n 0 例 6 在 1 2009 1 2010 2 2 3 2这四个数中 最大的数与最小的数的和 等于 A 6 B 8 C 5 D 5 例 7 1 如果一个有理数的平方等于 2 2 那么这个有理数等于 2 若 a 3 27 则 a 的值为 A 9 B 3 C 3 或 3 D 3 3 若 a3 8 则 a 例 8 一根长 1m 的绳子 第一次剪去一半 第二次剪去剩下的一半 如此剪下去 第六次 剪后剩下的绳子长度为 23 A B C D 例 9 已知 x 2 y 3 2 0 则 xy 2 例 10 观察下列算式 2 1 2 2 2 4 2 3 8 2 4 16 2 5 32 2 6 64 2 7 128 2 8 256 通过观 察 用你发现的规律写出 22010的末位数字是 例 11 1 看一看下面的算式 2 5 2与 22 52 每组两个算 式的结果是否相同 请算出结果来 2 想一想 ab 3等于什么 3 猜一猜 当 n 是整数时 ab n等于什么 说明你的结论正确性 3 3 科学记数法 2 一 知识归纳 1 科学记数法 5 把一个绝对值大于 10 的数记作 a 10n 的形式 其中 a 是整数位只有一位的数 n 是正整 数 这种记数方法叫做科学记数法 把一个数写成 a 10n 的形式时 若这个数是大于 10 的数 则 n 比这个数的整数位数少 1 而 a 的整数数位只能有一位 即 1 a 10 2 将用科学记数法表示的数还原成原数 1 把科学记数法 a 10n 中的指数 n 加上 1 就得到原数的整数位数 从而确定原数 2 科学记数法 a 10n 中的 n 是多少 就把 a 中的小数点向右移动多少位 不够的添 0 从 而确定原数 3 准确数与近似数 近似数是与实际接近 但与实际有差别的数 准确数是与实际情况完全符合的数 近似数和准确数的接近程度可以用精确度表示 一个近似数四舍五入到哪一位 就说这个近 似数精确到哪一位 二 典型例题 例 1 用科学记数法表示下列各数 1 53687 08 2 100000000 3 690000 4 12300 5 851340 6 723 5 万 析 例 2 把下列用科学记数法表示的数写成原数 1 1 104 2 6 25 10 5 3 7 05 10 4 答案 例 3 宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总投资 84 5 亿元 其中 84 5 亿元用科学记数法 表示为 A 0 845 10 10 元 B 84 5 10 8 元 C 8 45 10 9 元 D 8 45 10 10 元 例 4 比较下列数的大小 24 1 1 5 104 1 2 105 2 1 49 10 4 2 58 10 3 例 5 下列近似数各精确到哪一位 1 2 33 万 2 1 20 106 例 6 甲 乙两个城市在人口统计中同是 34 万人 想一想 这两个城市的人口数一定相等 吗 如果不相等 最大差额可能达到多少 例 7 一个正常人的平均心跳速率为每分钟 70 次 一年大约跳多少次 一年按 365 天计算 用科学记数法表示这个结果 一个正常人一年心跳次数能达到 1 亿次吗 3 4 有理数的混合运算 一 知识归纳 一 有理数的混合运算的运算顺序 1 先乘方 再乘除 最后加减 2 同级运算 从左到右进行 3 如有括号 先做括号内的运算 按小括号 中括号 大括号依次进行 注意 加法和减法叫做第一级运算 乘法和除法叫做第二级运算 乘方和开方 今后将会 学到 叫做第三级运算 可以应用运算律 适当改变运算顺序 使运算简便 二 有理数的运算律 加法交换律 a b b a 加法结合律 a b c a b c 乘法交换律 ab ba 乘法结合律 ab c a bc 乘法分配律 a b c ab ac 有理数的混合运算的关键是运算的顺序 运算法则和性质 为此 必须进一步对加 减 乘 除 乘方运算法则和性质的理解与强化 熟练掌握 在此基础上对其运算顺序也应熟知 在 运算过程中 始终遵循四个方面 一是运算法则 二是运算律 三是运算顺序 四是近似计 算 为了提高运算适度 要灵活运用运算律 还要能创造条件利用运算律 如拆数 移动小 数点等 对于复杂的有理数运算 要善于观察 分析 类比与联想 从中找出规律 再运用 运算律进行计算 至此 便可在有理数的混合运算中稳操胜劵 二 典型例题 例 1 1 若 x y 互为倒数 则 2 3 n 为自然数 的值为 例 2 设 a 3 4 2 b 3 4 2 c 3 4 2 则 a b c 的大小关系为 A a c b B c a b C c b a D a b c 例 3 下列各式计算正确的是 A B C D 例 4 观察下列按顺序排列的等式 25 0 1 1 2 2 1 2 2 2 3 2 3 3 2 4 3 4 4 2请你猜想第 10 个等式应为 例 5 计算 例 6 已知 x 3 2 x y 0 求 x 3 y 3 的值 例 7 1 若 a b 互为相反数 c d 互为倒数 m 4 求 2a cd 2010 2b 3m 的值 2 当 x 1 y 2 时 求 的值 例 8 如图 某计时装置有一数据输入口 A 和一运算结果的输出口 B 下表是小明输入的一 些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果 A 1 2 3 4 5 B 1 2 7 14 23 1 按照这个计算装置的计算规律 请你设计出它的运算程序 2 若输入 10 则输出的数是多少 例 9 观察下面三行数 2 4 8 16 1 2 4 8 3 3 9 15 1 第 行数按什么规律排列 2 第 行数与第 行数分别有什么关系 3 取每行数的第 9 个数 计算这三个数的和 26 第四章数据的收集 整理与描述 一 知识归纳 1 收集 整理 描述和分析数据是数据处理的基本过程 2 普查 为了特定目的对全部考察对象进行的全面调查叫做普查 被考察的对象的全体叫 做总体 组成总体的每一个被考察的对象叫做个体 3 抽样调查 从总体中抽取一部分个体的调查估计被考察对象的整体情况 这种调查叫做 抽样调查 从总体中抽取一部分个体组成总体的一个样本 样本中个体的数目称为样本容 量 4 简单随机抽样 总体中的每一个个体都有相同的被抽到机会的原则抽取样本 这种抽样 抽取样本的方法叫做简单随机抽样 5 为了更清楚地了解调查结果 需要对数据进行整理 一般可以用表格整理数据 还可以 画出条形图或扇形图或折线图来描述数据 二 典型例题 例 1 1 下列调查适合用全面调查方式的是 A 某工厂制造一种刻度尺 需要检查一批刻度尺的长度是否合适 B 某市有 2 万名学生参加了中考 要了解这些学生的数学成绩 C 了解本班学生的体重情况 D 了解一台冰箱每小时的用电量 2 下列调查中 适宜采用抽样调查的个数是 调查某种奶粉的质量 检测某城市的空气质量状况 调查血型与性格的关系 了解某班学生的视力状况 A 4 B 3 C 2 D 1 例 2 为了估计一个池塘中有多少条鱼 先捕 100 条做上标记 然后放回池中 过一段时间 待带标记的鱼完全混合于鱼群后 再捕上 200 条鱼 发现其中带标记的鱼有 10 条 则该池 塘中大约有鱼 A 2000 条 B 1000 条 C 800 条 D 500 条 例 3 为了考察九年级 524 名学生的视力情况 从中抽取 50 名学生进行视力检查 这个问 题中的总体是 个体是 样本是 样本容量是 例 4 如图反映了某班学生在课外活动中参加各种兴趣小组的情况 在这个统计图中 整个 图表示全班学生的人数 从图中可以看出 27 1 参加篮球小组的学生占全班人数的 2 如果全班有 100 人 那么没有打乒乓球的有 人 例 5 如图 是某公司员工爱好的调查数据 A 的百分数据丢失 只知道参加 A 的有 23 人 则公司的员工共有 人 例 6 为了了解某小区居民的用水情况 随机抽查了该小区 10 户人家的月用水量 结果如 下 月用水量 t 10 13 14 17 18 户数 2 2 3 2 1 1 这 10 户家庭的平均月用水量为 t 2 如果该小区有 500 户家庭 根据上面的计算结果估计该小区居民每月共用 t 水 例 7 下表是某班同学在一次月考测验中的英语成绩情况表 分数段 缺考 不及格 60 69 70 79 80 84 85 89 90 94 95 99 100 人数 0 2 10 6 5 2 百分比 0 4 8 10 根据上表回答以下问题 1 这个班总共有多少名同学 2 把表中的空白处填写完整 3 60 分以下 不含 60 分 称为不及格 60 分以上 含 60 分 为及格 90 分以上 含 90 分 为优秀 100 分为满分 请计算此次考试的不及格率 优秀率 例 8 下面是某初中三个年级拥有课外书籍情况统计表 以及各年级人数情况统计图 图书种类 频数 百分比 科普常识 840 B 名人传记 816 34 漫画丛书 A 25 其他 144 6 请你根据图表中的信息解答下列问题 1 求该校八年级的人数占全校总人数的百分比 2 求表中 A B 的值 28 3 该校学生平均每人读多少本课外书 4 4 数据收集与整理 扇形统计图 一 知识归纳 1 收集数据的方法 1 问卷调查 调查者一般根据调查目的设计出调查表格 让被调查者填写相关数据 2 实地调查法 一般根据调查目的由调查者到相应环境中收集相关数据 3 查阅资料法 调查者根据调查目的采用媒体 报纸 杂志 电视 广播电台 计算机 网络等 收集数据 4 实验法 2 数据的整理 1 按照一定的标准将一组数据分组整理 目的是比较清晰地掌握数据的整体分布情况 2 数据分组应做到不重不漏 注意 把统计的材料与表中填好的数据核对一下 看有没有漏写或误写的地方 合计和总计 计算得对不对 3 如何对原始数据进行分组整理 第一步 确定组数 一组数据分多少组合适呢 一般与数据本身的特点及数据的多少有 关 由于分组的目的之一是为了观察数据分布的特征 因此组数的多少应适中 如组数太少 数据的分布就会过于集中 组数太多 数据的分布就会过于分散 这都不便于观察数据分布 的特征和规律 组数的确定应以能够显示数据的分布特征和规律为目的 第二步 确定各组 的组距 组距是一个组的上限与下限的差 可根据全部数据的最大值和最小值及所分的组数 来确定 即组距 最大值 最小值 组数 而且第一组的下限应低于最小变量值 最后 一组的上限应高于最大变量值 如果数据相差过于悬殊 也可自定组距 4 简单统计图的有关问题 1 扇形统计图 利用圆和扇形来表示总体和部分的关系 即用圆代表总体 圆中的各个扇形分别代表总体中 的不同部分 扇形的大小反映部分在总体中的百分比大小 这样的统计图叫做扇形统计图 2 条形统计图 用一个单位长度表示一定的数量 根据数量的多少画出长短不同的直条 再把这些直条按照 一定的顺序排列起来 这样的统计图叫做条形统计图 3 折线统计图 用一个单位长度表示一定的数量 根据数量的多少描出各点 然后把各点用线段顺次连接起 来 所得的统计图叫做折线统计图 折线统计图横轴表示不同的年份 月份等时间 不同时间之内的距离要根据年份或月份的间 隔来确定 5 三种统计图的选择 29 对于同一组数据信息应使用哪种统计图来表达 要根据具体问题来选用 当要表达的数据 是分散的 并且要要清楚的表示各个项目的实际数据时 选用条形统计图 当要表达的数 据占整体的百分比有多大时 选用扇形统计图 当要表达的数据能体现在一段时间内的上 升或下降的变化趋势及变化的速度时 选用折线统计图 二 典型例题 例 1 中国奥运奖牌回顾 1 根据上表画出第 28 届奥运会奖牌扇形图 2 根据上表画出我国这几届奥运会奖牌总数的折线图 3 要比较客观地评价中国代表队在历届奥运会上的表现比较困难 有人建议比较奖牌总 数 有人建议比较金牌总数 有人建议比较金 银牌的总数 你比较赞同哪个方案 或提出 一个你认为更合理的方案 例 2 温州 学校组织七 八 九年级同学参加某项综合实践活动 如图所示的扇形统计 图表示上述各年级参加人数的分布情况 已知九年级有 80 人参加 则这三个年级参加该项 综合实践活动共有人 例 3 内江市 某人为了了解他所在地区的旅游情况 收集了该地区 2005 年至 2008 年每年 旅游收入的有关数据 整理并绘成下图 根据图中信息 可知该地区 2005 年到 2008 年四年 的年旅游平均收入是 亿元 例 4 天津市 为了解某新品种黄瓜的生长情况 抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数 得到下面的条形图 观察该图 可知共抽查了 株黄瓜 并可估计出这个新品种黄瓜 平均每株结 根黄瓜 30 例 5 柳州 某学习小组对所在城区初中学生的视力情况进行抽样调查 下图是这些同学 根据调查结果画出的条形统计图 请根据图中信息解决下列问题 1 本次抽查活动中共抽查了多少名学生 2 请估算该城区视力不低于 4 8 的学生所占的比例 3 假设该城区八年级共有 4000 名学生 请估计这些学生中视力低于 4 8 的学生约有多少 人 例 6 丁丁所在的七 1 班共有 40 人 下图是该校七年级各班学生人数分布情况 1 请计算该校七年级总人数 2 请计算该校七年级每班平均人数 3 请计算各班学生人数 并绘制条形统计图 七年级各班人数分布图