资源描述
81. 有三个几何事实(a，b表示直线，表示平面)， ab， a， b其中，a，b在面外用其中两个事实作为条件，另一个事实作为结论，可以构造几个命题？请用文字语言叙述这些命题，并判断真伪正确的给出证明，错误的举出反例解析： ab a b b在外：ab b a a在外、是同一个命题：两条平行直线都在一个平面外，若其中一条与平面平行，则另一条也与该平面平行证明：过a作平面与交于 a a而ab b且b在外，在内 b：a ab b命题：平行于同一个平面的两条直线平行，这是错的，如右图82. 两个平面同时垂直于一条直线，则两个平面平行已知：a、b是两个平面，直线la，lb，垂足分别为A、B求证：ab思路1：根据判定定理证证法1：过l作平面g ，agAC，bgBD，过l作平面d，adAE，bdBF，lalAClblBD ACBDACb，l、AC、BD共面同理AEb，ACAEf ，AC，AEa ，故ab思路2：根据面面平行的定义，用反证法证法2：设a、b有公共点P则l与P确定平面g，且agAP，bgBPlalAPlblBPl、AP、BP共面，于是在同一平面内过一点有两条直线AP、BP都与l垂直，这是不可能的故a、b不能有公共点， ab83. 已知：a、b是异面直线，a平面a，b平面b，ab，ba求证：ab证法1：在a上任取点P，显然Pbb于是b和点P确定平面g且g 与a 有公共点P a gb且b和a交于P， ba ， bb bb而ab这样a 内相交直线a和b都平行于b ab证法2：设AB是a、b的公垂线段，过AB和b作平面g ，g b，过AB和a作平面d ，baaaabbbABaABa，ABbABb于是ABa 且ABb， ab84. 已知a、b、c是三条不重合的直线，、r是三个不重合的平面，下面六个命题：ac，bcab；ar，brab；c，c；r，r；ac，ca；ar，ra其中正确的命题是( )(A) (B) (C) (D) 解析：由公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题正确；若两条不重合的直线同平行于一个平面，它们可能平行，也可能异面还可能相交，因此命题错误；平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行，也可能相交，命题错误；平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行，命题正确；若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面，那么这条直线与这个平面或平行，或直线在该平面内，因此命题、都是错的，答案选AP85. 已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC，M、N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段B1C上，则NP与平面AMC1的位置关系是( )(A) 垂直(B) 平行(C) 相交但不垂直(D) 要依P点的位置而定解析：由题设知B1MAN且B1M=AN，四边形ANB1M是平行四边形，故B1NAM，B1NAMC1平面又C1MCN，得CN平面AMC1，则平面B1NCAMC1，NP平面B1NC， NP平面AMC1答案选B86. 已知：正方体ABCDA1B1C1D1棱长为a(1) 求证：平面A1BD平面B1D1C；(2) 求平面A1BD和平面B1D1C的距离证明：(1) 在正方体ABCDA1B1C1D1中， BB1平行且等于DD1， 四边形BB1D1D是平行四边形， BDB1D1， BD平面B1D1C同理 A1B平面B1D1C，又A1BBD=B， 平面A1BD平面B1D1C解：(2) 连AC1交平面A1BD于M，交平面B1D1C于NAC是AC1在平面AC上的射影，又ACBD， AC1BD，同理可证，AC1A1B， AC1平面A1BD，即MN平面A1BD，同理可证MN平面B1D1C MN的长是平面A1BD到平面B1D1C的距离，设AC、BD交于E，则平面A1BD与平面A1C交于直线A1E M平面A1BD，MAC1平面A1C， MA1E同理NCF在矩形AA1C1C中，见图921(2)，由平面几何知识得， 评述：当空间图形较为复杂时，可以分解图形，把其中的平面图形折出分析，利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系证明面面平行，主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线，或者使用反证法87. 已知正三棱柱ABCA1B1C1，底面边长为8，对角线B1C=10，D为AC的中点(1) 求证AB1平面C1BD；(2) 求直线AB1到平面C1BD的距离证明：(1) 设B1CBC1=O连DO，则O是B1C的中点在ACB1中，D是AC中点，O是B1C中点 DOAB1，又DO平面C1BD，AB1平面C1BD， AB1平面C1BD解：(2) 由于三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，D是AC中点， BDAC，且BDCC1， BD平面AC1，平面C1BD平面AC1，C1D是交线在平面AC1内作AHC1D，垂足是H， AH平面C1BD，又AB1平面C1BD，故AH的长是直线AB1到平面C1BD的距离由BC=8，B1C=10，得CC1=6，在RtC1DC中，DC=4，CC1=6，在RtDAH中，ADH=C1DC 即AB1到平面C1BD的距离是评述：证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线，如本题的DO本题的第(2)问，实质上进行了“平移变换”，利用AB1平面C1BD，把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离88. 已知：直线a平面求证：经过a和平面平行的平面有且仅有一个证：过a作平面与交于，在内作直线与相交，在a上任取一点P，在和P确定的平面内，过P作bb在外，在内， b而a a，b确定的平面过a且平行于 过a，b的平面只有一个， 过a平行于平面的平面也只有一个89. 已知平面、其中=l，=a，=，a，=b，=，b上述条件能否保证有？若能，给出证明，若不能给出一个反例，并添加适当的条件，保证有不足以保证如右图如果添加条件a与b是相交直线，那么证明如下：aabb a，b是内两条相交直线， 90. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.已知：平面平面a，平面平面b，平面平面c.求证：a、b、c相交于同一点，或abc.证明：a，ba、ba、b相交或ab.(1)a、b相交时，不妨设abP，即Pa，Pb而a、b，aP，P，故P为和的公共点又c由公理2知Pca、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.(2)当ab时c且a，aac且ababc故a、b、c两两平行.由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.说明：此结论常常作为定理使用，在判断问题中经常被使用.91. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1EBF.求证：EF平面BB1C1C.证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M.ADBCAFDMFB又BDB1A，B1EBFDFAEEFB1M，B1M平面BB1C1CEF平面BB1C1C.证法二：作FHAD交AB于H，连结HEADBCFHBC，BCBB1C1CFH平面BB1C1C由FHAD可得又BFB1E，BDAB1EHB1B，B1B平面BB1C1CEH平面BB1C1C，EHFHH平面FHE平面BB1C1CEF平面FHEEF平面BB1C1C说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.92. 已知：平面平面，线段AB分别交、于点M、N；线段AD分别交、于点C、D；线段BF分别交、于点F、E，且AM=m,BN=n,MN=p，FMC面积=(m+p)(n+p),求：END的面积.解析：如图，面AND分别交、于MC，ND，因为，故MCND，同理MFNE，得FMCEND，NDMC（m+p)：m和ENFMn(n+p)SENDSFMC得SENDSFMC(m+p)(n+p)=(m+p)2END的面积为(m+p)2平方单位.93. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.求证:MN平面AA1B1B.解析：本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”，即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行，除上面的证法外，还可以连CN并延长交直线BA于点P，连B1P，就是所找直线，然后再设法证明MNB1P.分析二：要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”，因此，本题也可设法过MN作一个平面，使此平面与平面ABB1A1平行，从而证得MN平面ABB1A1.94. 已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面（1）求证：EF平面GMC（2）若AB4，GC2，求点B到平面EFG的距离解析：第1小题，证明直线与平面垂直，常用的方法是判定定理；第2小题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的垂线段无法直观地画出，因此，常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题解：（1）连结BD交AC于O，E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，ACBD，EFACACGCC，EF平面GMC（2）可证BD平面EFG，由例题2，正方形中心O到平面EFG95. 已知：ABCD是矩形，SA平面ABCD，E是SC上一点求证：BE不可能垂直于平面SCD解析：用到反证法，假设BE平面SCD， ABCD；ABBE ABSB，这与RtSAB中SBA为锐角矛盾 BE不可能垂直于平面SCD96. 已知PA，PB，PC与平面所成的角分别为60，45，30，PO平面，O为垂足，又斜足A，B，C三点在同一直线上，且ABBC10cm，求PO的长解析：97. 已知：如图，AS平面SBC，SO平面ABC于O，求证：AOBC解析：连结AO，证明BC平面ASO98. 已知ABCD是矩形，SA平面ABCD，M、N分别是SC、AB的中点求证：MNAB解析：连结MB、MA，证明MBMA99. 已知：如图，平面a 平面b 直线l，Aa ，ABb ，Bb ，BCa ，Ca，求证：ACl证明： ABb ，lb lAB BCa ，la lBC ABBCB l平面ABC AC平面ABC lAC100. 已知：如图，P是BAC所在平面外一点，PDAB，D为垂足，PEAC，E为垂足，在平面BAC内过D作DFAB，过E作EFAC，使得EFDFF连结PF，求证：PF平面BAC证明：PDAB，DFAB，PDDFDAB平面PDFPF平面PDF ABPF同理，ACPF PFAB，PFAC，BAACA PF平面BAC
展开阅读全文