2010年中考数学模拟试题分类汇编-二次函数.doc

二次函数 一 选择题 1 2010 年山东宁阳一模 在平面直角坐标系中 先将抛物线 2 xy关于 x 轴作轴 对称变换 再将所得抛物线关于 y 轴作轴对称变换 经过两次变换后所得的新抛物线解析 式为 A 2 xy B 2 x C 2 xy D 2 xy 答案 C 2 2010 年江西省统一考试样卷 若抛物线 y 2x2向左平移 1 个单位 则所得抛物线是 A y 2x2 1 B y 2x2 1 C y 2 x 1 2 D y 2 x 1 2 答案 C 3 2010 年河南中考模拟题 1 某校运动会上 某运动员掷铅球时 他所掷的铅球的高 与水平的距离 则该运动员的 成绩是 A 6m B 10m C 8m D 12m 答案 D 4 2010 年河南中考模拟题 4 二次函数 2yaxbc 0a 的图象如图所示 则正确的是 A a 0 B b 0 C c 0 D 以答案上都不正确 答案 A 5 2010 年河南中考模拟题 3 已知二次函数 y ax2 bx c 的图 像如图所示 则下列条件正确的是 A ac 0 B b 2 4ac 0 C b 0 D a 0 b 0 c 0 答案 D 6 2010 年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题 抛物线 y ax2 bx c 上部分点的横坐 y x O x 1 y 1 3 3Ox 第 9 题 P 1 标 x 纵坐标 y 的对应值如表所示 给出下列说法 抛物线与 y 轴的交点为 0 6 抛物线的对称轴是在 y 轴的右侧 抛物线一定经过点 3 0 在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小 从表中可知 下列说法正确的个数有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 7 2010 天水模拟 二次函数 y ax2 bx c 的图像如图所示 则关于此二次函数的下列四个结论 a0 b 2 4ac 0 0 ab 中 正确的结论有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 C 8 2010 年厦门湖里模拟 抛物线 y 32 x与坐标轴交点为 A 二个交点 B 一个交点 C 无交点 D 三个交点 答案 B 9 2010 年厦门湖里模拟 如图 抛物线 0 2 acbxy 的对 称轴是直线 x 且经过点 P 3 0 则 的值为 A 0 B 1 C 1 D 2 答案 A 10 2010 年杭州月考 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图 象如图所示 给出以下结论 0 abc 当 1x 时 函数有最大值 当 13x 或 时 函数 y 的值都等于 0 024 cba其中正确结论的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 x 3 2 1 0 1 y 6 0 4 6 6 cba 第 11 题 x y O 1 答案 C 11 2010 年厦门湖里模拟 如图 二次函数 32 xay的图像与x 轴有一个交点在 和 之间 不含 和 则 的取值范围是 31 a 10 a 03 且 答案 C 12 2010 年西湖区月考 关于二次函数 y ax2 bx c 的图象有下列命题 当 c 0 时 函 数的图象经过原点 当 c 0 时且函数的图象开口向下时 ax 2 bx c 0 必有两个不等实根 函数图象最高点的纵坐标是 ab42 当 b 0 时 函数的图象关于 y 轴对称 其中正 确的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 C 13 2010 山东新泰 二次函数 y x 2的图象向下平移 2 个单位 得到新图象的二次函数表 达式是 A y x 2 2 B y x 2 2 C y x 2 2 D y x 2 2 答案 A 14 2010 年广州市中考六模 若二次函数 y 2 x2 2 mx 2 m2 2 的图象的顶点在 y 轴 上 则 m 的值是 A 0 B 1 C 2 D 答案 A 15 2010 三亚市月考 抛物线 y 12x2 向左平移 8 个单位 再向下平移 9 个单位后 所得 抛物线的表达式是 A y 12 x 8 2 9 B y x 8 2 9 C y x 8 2 9 D y 1 x 8 2 9 答案 A 16 2010 三亚市月考 下列关于二次函数的说法错误的是 A 抛物线 y 2x2 3x 1 的对称轴是直线 x 34 B 点 A 3 0 不在抛物线 y x2 2x 3 的图象上 C 二次函数 y x 2 2 2 的顶点坐标是 2 2 D 函数 y 2x2 4x 3 的图象的最低点在 1 5 答案 B 17 2010 教育联合体 二次函数 y x 2的图象向下平移 2 个单位 得到新图象的二次函数 表达式是 A y x 2 2 B y x 2 2 C y x 2 2 D y x 2 2 答案 A 18 2010 年湖里区二次适应性考试 二次函数 12 的图象与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 下列说法错误的是 A 点 C 的坐标是 0 1 B 线段 AB 的长为 2 C ABC 是等腰直角三角形 D 当 x 0 时 y 随 x 增大而增大 答案 D 二 填空题 1 2010 年河南省南阳市中考模拟数学试题 二次函数 23yx 的图像如图所示 点0A 位于坐标原点 1A 2 3 209A在 y 轴的正半轴上 1B 2 3 29B 在二次函数 3yx 第一象限的图像上 若 1 2A A 08290都为等边三角形 计算出 20890的边长为 答 2009 3 2010 年山东宁阳一模 根据 cbxay 2的图象 思考下面五个结论 oc 0 abc 0 cb 03 04 正确的结论有 答案 4 2010 年山东菏泽全真模拟 1 请写出一个开口向上 与 y 轴交点纵坐标为 1 且经过 点 1 3 的抛物线的解析式 答案 y x 2 3x 1 等 5 2010 年河南中考模拟题 3 将抛物线 y 3x 2向上平移一个单位后 得到的抛物线解 析式是 答案 y 3x 2 1 6 2010 年吉林中考模拟题 如图 平行于 y 轴的直线 l 被抛物线 y 21x y 21x 所截 当直线 l 向右平移 3 个单位时 直线 l 被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积 为 平方单位 答案 6 7 2010 年江苏省泰州市济川实验初中模拟 已知二次函数 21yx 当 x 时 y 随 x 的增大而增大 答案 2 8 2010 福建模拟 抛物线 32 xy的对称轴是直线 答案 1 x 9 2010 年杭州月考 将二次函数 2的图象向右平移 1 个单位 再向上平移 2 个单 位后 所得图象的函数表达式是 答案 21 xy 10 2010 年杭州月考 若一边长为 40 的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围 成的圆形铁圈中穿过 则铁圈直径的最小值为 铁丝粗细忽略不计 答案 320 11 2010 河南模拟 已知二次函数 23yax 为常数 图像上的三点 A 1 yx B 2 C 3 x 其中 1 231 2a 则 23 的大小关系是 答案 y 1 y 2 y 12 江西南昌一模 二次函数 142 xy的最小值是 答案 3 13 10 年广州市中考七模 抛物线 52 3 与坐标轴的交点共有 个 答案 3 14 2010 三亚市月考 Y 2 x 1 2 5 的图象开口向 顶点坐标为 当 x 1 时 y 值随着 x 值的增大而 答案 下 1 5 减小 15 2010 重庆市綦江中学模拟 1 抛物线 y x 1 2 3 的顶点坐标为 答案 1 3 16 2010 年 湖里区 二次适应性考试 抛物线 342 xy的顶点坐标是 答案 1 5 三 解答题 1 2010 年山东宁阳一模 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装 规定试销期间销售单 价不低于成本单价 且获利不超过 45 经试销发现 销售量 y 件 与销售单价 x 元 符合一次函数 bkxy 且 65时 y 75x时 4 1 若该商场获利为 w 元 试写出利润 w 与销售单价 x 之间的关系式 售价定为多少 元时 商场可以获利最大 最大利润为多少元 2 若该商场获利不低于 500 元 试确定销售单价 x 的范围 答案 1 将 56yx47yx代入 bkx 中 bk74 120 120 y W 6 x W 82 W 90 又 60 x 60 1 45 即 60 x 87 则 x 87 时获利最多 将 x 87 代入 得 W 87 90 2 900 891 元 2 5072182 0 x 10701 xx 舍去 则 107x 但 876x 870 x 答 1 x 为 87 元有最大利润为 891 元 2 范围为 2 2010 年河南中考模拟题 1 如图 已知 抛物线 的顶点 P 在 x 轴上 与 y 轴交于点 Q 过坐标原点 O 作 垂足为 A 且 1 求 b 的值 2 求抛物线的解析式 答案 1 2 3 2010 年河南中考模拟题 3 如图 在 ABC 中 90 10BC ABC 的面积为 25 点 D为 边上的任意一点 D不与 重合 过点 D作 E 交 于点 E 设 x 以 E为折线将 E翻折 所得的 A 与梯形D 重叠部分的面积记为 y 1 用x表示 ADE的面积 2 求出 0 5时y与x的函数关系式 3 求出 1时y与x的函数关系式 4 当 x取何值时 的值最大 最大值是多少 答案 1 如图 设直线 BC 与 O 相切于点 D 连接 OA OD 则 OA OD 12MN 在 Rt ABC 中 BC 2ABC 5 MN BC AMN B ANM C AMN ABC MNAB 45x MN 54x OD 58x 过点 M 作 MQ BC 于 Q 则 MQ OD 58x 在 Rt BMQ 和 Rt BCA 中 B 是公共角 Rt BMQ Rt BCA BMQCA BM 583x 24x AB BM MA 254x x 4 x 964 CB A 当 x 964时 O 与直线 BC 相切 3 随着点 M 的运动 当点 P 落在 BC 上时 连接 AP 则点 O 为 AP 的中点 MN BC AMN B AOM APC AMO ABP AOBP 12 AM BM 2 故以下分两种情况讨论 当 0 x 2 时 y S PMN 38x2 当 x 2 时 y 最大 38 22 当 2 x 4 时 设 PM PN 分别交 BC 于 E F 四边形 AMPN 是矩形 PN AM PN AM x 又 MN BC 四边形 MBFN 是平行四边形 FN BM 4 x PF x 4 x 2x 4 又 PEF ACB PFAB 2 PEFABCS S PEF 32 x 2 2 y S PMN S PEF 38x 2 x 2 2 98x2 6x 6 当 2 x 4 时 y 98x2 6x 6 9 x 3 2 2 当 x 83时 满足 2 x 4 y 最大 2 综合上述 当 x 时 y 值最大 y 最大 2 4 2010 年河南中考模拟题 4 如图 在平面直角坐标系中 四边形 OABC 是矩形 点 B 的 坐标为 4 3 平行于对角线 AC 的直线 m 从原点 O 出发 沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位 长度的速度运动 设直线 m 与矩形 OABC 的两边分别交于点 M N 直线 m 运动的时间为 t 秒 1 点 A 的坐标是 点 C 的坐标是 2 设 OMN 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式 3 探求 2 中得到的函数 S 有没有最大值 若有 求出最大值 若没有 说明理由 答案 当 0 t 4 时 OM t 由 OMN OAC 得 OCNAM ON t43 S 12 OM ON 283t 6 分 当 4 t 8 时 如图 OD t AD t 4 由 DAM AOC 可得 AM 4 3 t 7 分 而 OND 的高是 3 S OND 的面积 OMD 的面积 12 t 3 t 4 t t38 10 分 3 有最大值 方法一 当 0 t 4 时 抛物线 S 283t的开口向上 在对称轴 t 0 的右边 S 随 t 的增大而增大 当 t 4 时 S 可取到最大值 2483 6 11 分 当 4 t 8 时 抛物线 S t32 的开口向下 它的顶点是 4 6 S 6 综上 当 t 4 时 S 有最大值 6 方法二 S 230488ttt 当 0 t 8 时 画出 S 与 t 的函数关系图像 如图所示 显然 当 t 4 时 S 有最大值 6 5 2010 年河南中考模拟题 5 二次函数 2yaxbc 的图象的一部分如图所示 已知 它的顶点 M 在第二象限 且经过点 A 1 0 和点 B 0 l 1 试求 a b所满足的关系式 2 设此二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 C 当 AMC 的面积为 ABC 面积 的 54倍时 求 a 的值 3 是否存在实数 a 使得 ABC 为直角三角形 若存在 请求出 a 的值 若不存在 请说明理由 答案 解 1 将 A 1 0 B 0 l 代入 2yaxbc 得 cba 可得 1 b 2 由 1 可知 2xay 顶点 M 的纵坐标为 a4142 因为 ABCAMCS 5 由同底可知 1452 a 整理得 0132 a 得 32 由图象可知 因为抛物线过点 0 1 顶点 M 在第二象限 其对称轴 x 102a 253 a舍去 从而 352a 3 由图可知 A 为直角顶点不可能 若 C 为直角顶点 此时与原点 O 重合 不合题意 若设 B 为直角顶点 则可知 22BCA 得 令 0 y 可得 012 xa ax1 21 得 12CA22 1 1 aa 解得 由 1 a 0 不合题意 所以不存在 综上所述 不存在 6 2010 年河南中考模拟题 6 如图 在平面直角坐标系 x0y 中 半径为 1 的圆的圆心 O 在坐标原点 且与两坐标轴分别交于 A B C D 四点 抛物线 2ybxca 与 y 轴交 于点 D 与直线 y x 交于点 M N 且 MA NC 分别与圆 O 相切与点 A 和点 C 1 求抛物线的解析式 2 抛物线的对称轴交 x 轴于点 E 连接 DE 并延长 DE 交圆 O 于 F 求 EF 的长 3 过点 B 作圆 O 的切线交 DC 的延长线于点 P 判断 点 P 是否在抛物线上 说明理由 答案 1 21yx 2 350 3 点 P 在抛物线上 设 yDC kx b 将 0 1 1 0 带入得 k 1 b 1 直线 CD 为 y x 1 过点 B 作 O 的切线 BP 与 x 轴平行 P 点的纵坐标为 1 把 y 1 带入 y x 1 得 x 2 P 2 1 将 x 2 带入 21yx 得 y 1 点 P 在抛物线 上 7 2010 年吉林中考模拟题 如图 在直角坐标系中 矩形 ABCD 的边 AD 在 y 轴正半轴上 点 A C 的坐标分别为 0 1 2 4 点 P 从点 A 出发 沿 A B C 以每秒 1 个单位的 速度运动 到点 C 停止 点 Q 在 x 轴上 横坐标为点 P 的横 纵坐标之和 抛物线cbxy 24 经过 A C 两点 过点 P 作 x 轴的垂线 垂足为 M 交抛物线于点 R 设 点 P 的运动时间为 t 秒 PQR 的面积为 S 平方单位 1 求抛物线对应的函数关系式 2 分别求 t 1 和 t 4 时 点 Q 的坐标 3 当 0 t 5 时 求 S 与 t 之间的函数关系式 并直接写出 S 的最大值 参考公式 抛物线 2yaxbc 的顶点坐标为 2ba 24c 答案 1 由抛物线经过点 A 0 1 C 2 4 得 2 1 4 4cbc 解得 2 1 bc 抛物线对应的函数关系式为 214yx 2 当 1t 时 P 点坐标为 1 1 Q 点坐标为 2 0 当 4时 P 点坐标为 2 3 Q 点坐标为 5 0 3 当 0t 2 时 21 1 4St y x 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 1 2 O y xB A D C NG M D B C O A I y xB A D C NM D B C G O A I y xNM D B C O A S 218t 当 2t 5 时 5 12 t S 213t 当 3t 时 S 的最大值为 2 8 2010 年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题 已知抛物线 cbx 2 的部分 图象如图所示 1 求 b c 的值 2 求 y 的最大值 3 写出当 0 时 x 的取值范围 答案 1 b 2 c 3 2 4 3 x 3 或 x 1 9 2010 年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题 如图 1 把一个边长为 2 的正方形 ABCD 放在平面直角坐标系中 点 A 在坐标原点 点 C 在 y 轴的正半轴上 经过 B C D 三 点的抛物线 c1交 x 轴于点 M N M 在 N 的左边 1 求抛物线 c1的解析式及点 M N 的坐标 2 如图 2 另一个边长为 2 的正方形 DB的中心 G 在点 M 上 在 x 轴 的负半轴上 D在 B的左边 点 A在第三象限 当点 G 沿着抛物线 c1从点 M 移到点 N 正方形随之移动 移动中 始终与 x 轴平行 直接写出点 A 移动路线形成的抛物线 cA B的函数关系式 如图 3 当正方形 B第一次移动到与正方形 ABCD 有一边在同一直线上时 求点 G 的坐标 答案 1 y 21x2 4 M 2 0 N 0 2 y A x2 2 yB 1 x 2 2 4 G 1 13 3 1 10 2010 年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题 某企业信息部进行市场调研发现 信息一 如果单独投资 A 种产品 所获利润 y 万元 与投资金额 x 万元 之间存在某 种关系的部分对应值如下表 x 万元 1 2 2 5 3 5 y 万元 0 4 0 8 1 1 2 2 信息二 如果单独投资 B 种产品 则所获利润 y 万元 与投资金额 x 万元 之间存在 二次函 数 关 系 y ax2 bx 且 投 资 2 万 元 时 获 利 润 2 4 万 元 当 投 资 4 万 元 时 可 获 利 润 3 2 万 元 1 求出 y 与 x 的函数关系式 2 从所学过的一次函数 二次函数 反比例函数中确定哪种函数能表示 y 与 x 之间的关 系 并求出 y 与 x 的函数关系式 3 如果企业同时对 A B 两种产品共投资 15 万元 请设计一个能获得最大利润的投资方案 并求出按此方案能获得的最大利润是多少 答案 1 y B 0 2x 2 1 6x 2 一次函数 y A 0 4x 3 设投资 B 产品 x 万元 投资 A 产品 15 x 万元 投资两种产品共获利 W 万元 则 W 0 2x 2 1 6x 0 4 15 x 0 2x 2 1 2x 6 0 2 x 3 2 7 8 当 x 3 时 W 最大值 7 8 答 该企业投资 A 产品 12 万元 投资 B 产品 3 万元 可获得最大利润 5 8 万元 11 2010 年铁岭市加速度辅导学校 已知 抛物线 2 1 yxbc 经过点 12 Pb 1 求 c 的值 2 若 3 求这条抛物线的顶点坐标 3 若 b 过点 P作直线 Ay 轴 交 轴于点 A 交抛物线于另一点 B 且BPA 求这条抛物线所对应的二次函数关系式 提示 请画示意图思考 解 1 依题意得 2 1 2bcb 2bc 2 当 3时 5c 2 1 6yxx 抛物线的顶点坐标是 3 当 b 时 抛物线对称轴 12bx 对称轴在点 P的左侧 因为抛物线是轴对称图形 且 BPA 32 Bb 1 5 又 2bc 7 抛物线所对应的二次函数关系式 247yx 解法 2 3 当 3b 时 1b 对称轴在点 P的左侧 因为抛物线是轴对称图形 1 且 2 32 BA 23bcb 又 c 解得 57 这条抛物线对应的二次函数关系式是 247yx y xO B P A 解法 3 3 2bc 2b 2 1 yx 分BP 轴 2x 即 2 0 xb 解得 12 即 2 Bxb 由 BPA 1 57bc 这条抛物线对应的二次函数关系式 247yx 12 2010 天水模拟 已知 抛物线 y x2 4x 3 与 x 轴相交于 A B 两点 A 点在 B 点的 左侧 顶点为这 1 求 A B P 三点坐标 2 在下面的直角坐标系内画出此抛物线的简图 并根据简图写出当 x 取何值时 函数值 y 大于零 3 确定此抛物线与直线 y 2x 6 公共点的个数 并说明理由 解 1 x 2 4x 3 0 x2 4x 3 0 x 1 x 3 0 x1 1 x2 3 H ab 4 2 k abc 2 46 A 1 0 B 3 0 P 2 1 2 略 3 xy3462 将 代入 中 x 2 4x 3 2x 6 x2 6x 9 0 36 4 1 9 36 36 0 只有一个 13 2010 天水模拟 如图 二次函数 y ax2 bx c 的图象开口向上 图象经过点 1 2 和 1 0 且与 y 轴相交于负半轴 第 1 问 给出四个结论 a 0 b 0 c 0 a b c 0 其中正确结论的序号 答对得 3 分 少选 错选均不得分 第 2 问 给出四个结论 abc0 a c 1 a 1 其中正确结论的序号 答对得 5 分 少选 错选均不得分 答案 a 0 b 0 C0 2a b 0 2a b 1 ab2 cba20 得 2a 2c 2 a c 1 a 1 c 14 2010 福建模拟 如图 在平面直角坐标系中 直线 3 xy与 轴交于点 A 与 y 轴交于点 C 抛物线 cbxy 2经过 A C 两点 且与 x 轴 交于另一点 B 点 B 在点 A 右侧 1 求抛物线的解析式及点 B 坐标 2 若点 M 是线段 BC 上一动点 过点 M 的直线 EF 平行 y 轴交 x轴于点 F 交抛物线于点 E 求 ME 长的最大值 3 试探究当 ME 取最大值时 在抛物线 x 轴下方是否存在 点 P 使以 M F B P 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 请求出点 P 的坐标 若不 存在 试说明理由 解 1 当 y 0 时 03 x 1 A 1 0 当 x 0 时 y C 0 3 抛物线的解析式是 当 y 0 时 032x 解得 x 1 1 x 2 3 B 3 0 13 cb23 bc 2 由 1 知 B 3 0 C 0 3 直线 BC 的解析式是 3 xy 设 M x x 3 0 x 3 则 E x x 2 2x 3 ME x 3 x 2 2x 3 x2 3x 49 3 当 3 时 ME 的最大值 3 答 不存在 由 2 知 ME 取最大值时 ME 49 E 415 23 M 23 MF BF OB OF 23 设在抛物线 x 轴下方存在点 P 使以 P M F B 为顶点的四边形是平行四边形 则 BP MF BF PM P 1 0 或 P 2 3 当 P1 23 0 时 由 1 知 P 1不在抛物线上 当 P2 时 由 1 知 P 1不在抛物线上 综上所述 抛物线 x 轴下方不存在点 P 使以 P M F B 为顶点的四边形是平行四边形 8 2010 年厦门湖里模拟 一次函数 y x 3 的图象与 x 轴 y 轴分别交于点 A B 一个 二次函数 y x2 bx c 的图象经过点 A B 1 求点 A B 的坐标 并画出一次函数 y x 3 的图象 2 求二次函数的解析式及它的最小值 答案 解 1 令 0y 得 3x 点 的坐标是 0 令 x 得 点 B的坐标是 3 图象如右所示 2 二次函数 2ybxc 的图象经过点 A 093bc 解得 3 xy2302 3 2112Oxy1 2 3 4 AB 二次函数 2yxbc 的解析式是 23yx 223 1 4 函数 yx的最小值为 9 2010 河南模拟 如图 曲线 C 是函数 6yx 在第一现象内的图像 抛物线是函数24yx 的图像 点 nxp n 1 2 在曲线上 且 x y 都是整数 1 求出所有的点 ny 2 在 Pn中任取两点作直线 求所有不同直线的条数 3 从 2 中所有的直线中任取一直线 求所有直线与 抛物线有公共的的概率 答案 1 x y 都是整数且 6yx x 1 2 3 6 P 1 1 6 2 3 3 2 6 1 2 以 P1 P2 P3 P4中任取两点的直线有1234 pp 共六条 3 只有直线 234与抛物线有公共点 P 163 10 2010 广东省中考拟 如图 10 在平面直角坐标系中 二次函数 0 2 acbxy 的图象的顶点为 D 点 与 y 轴交于 C 点 与 x 轴交于 A B 两点 A 点在原点的左侧 B 点的坐标为 3 0 OB OC tan ACO 31 1 求这个二次函数的表达式 2 经过 C D 两点的直线 与 x 轴交于点 E 在该抛物线上是否存在这样的点 F 使以 点 A C E F 为顶点的四边形为平行四边形 若存在 请求出点 F 的坐标 若不存在 请 说明理由 3 若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M N 两点 且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切 求 该圆半径的长度 4 如图 11 若点 G 2 y 是该抛物线上一点 点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点 当点 P 运动到什么位置时 APG 的面积最大 求出此时 P 点的坐标和 APG 的最大面积 答案 1 方法一 由已知得 C 0 3 A 1 0 将 A B C 三点的坐标代入得 39cba 解得 321cba 所以这个二次函数的表达式为 32 xy 方法二 由已知得 C 0 3 A 1 0 设该表达式为 xay 将 C 点的坐标代入得 所以这个二次函数的表达式为 32 xy 注 表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分 2 方法一 存在 F 点的坐标为 2 3 理由 易得 D 1 4 所以直线 CD 的解析式为 3 xy E 点的坐标为 3 0 y x O E D C B A 图 10 G A B C D O x y 图 11 由 A C E F 四点的坐标得 AE CF 2 AE CF 以 A C E F 为顶点的四边形为平行四边形 存在点 F 坐标为 2 3 方法二 易得 D 1 4 所以直线 CD 的解析式为 3 xy E 点的坐标为 3 0 以 A C E F 为顶点的四边形为平行四边形 F 点的坐标为 2 3 或 2 3 或 4 3 代入抛物线的表达式检验 只有 2 3 符合 存在点 F 坐标为 2 3 3 如图 当直线 MN 在 x 轴上方时 设圆的半径为 R R 0 则 N R 1 R 代入抛物线的表达式 解得 217 R 当直线 MN 在 x 轴下方时 设圆的半径为 r r 0 则 N r 1 r 代入抛物线的表达式 解得 217 r 圆的半径为 217 或 4 过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q 易得 G 2 3 直线 AG 为 1 xy 设 P x 则 Q x x 1 PQ 2 x 3 2 SSGPAQG 当 21x时 APG 的面积最大 此时 P 点的坐标为 415 87的 最 大 值 为APGS 11 济宁师专附中一模 R R rr1 1 N N M M A B D O x y 已知抛物线 2yaxbc 经过 1 0 0 3 2 3 三点 求这条抛物线的表达式 用配方法求这条抛物线的对称轴和顶点坐标 答案 解 由已知 得 3042cab 解得 a 1 b 2 c 3 所以 y x2 2x 3 2 对称轴 x 1 顶点 1 4 配方略 12 江西南昌一模 在平面直角坐标系中 正方形 ABCD 纸片如图放置 A 0 2 D 1 0 抛物线 2ya 经过点 C 1 求点 B C 的坐标 2 求抛物线的解析式 3 以直线 AD 为对称轴 将正方形 ABCD 纸片折叠 得到正方形 ADEF 求出点 E 和点 F 坐标 并判断点 E 和点 F 是否在抛物线上 并说明理 由 答案 提示 1 过B作 yBT 轴于T 过C作 xP 轴于P 可证得 AODBT 则 1 2 ODAT 3O B 2 3 同理 C 2 抛物线 2yax 经过点 C 3 1 则得到 1932a 解得 1a 所以抛物线解析式为 2yx 1 作 EQ 轴于 Q 作 PF轴于 P 通过 AOD 得 1 2 ODAQE 1 E 2 1 同理 F 1 1 当 x时 y F 1 1 在抛物线上 当 2时 E 2 1 在抛物线上 13 2010 山东新泰 如图 直线 3 xy与 x 轴 y 轴分别交于 B C 两点 抛物线cbxy 2 经过点 B 和点 C 点 A 是抛物线与 x 轴的另一个交点 1 求抛物线的解析式和顶点坐标 2 若点 Q 在抛物线的对称轴上 能使 Q AC 的周长最小 请求出 Q 点的坐标 3 在直线 BC 上是否存在一点 P 且 31 PABCS 若存在 求 P 点的坐标 若不 存在 请说明理由 答案 1 32 xy 顶点 1 4 2 Q 1 2 3 设 P a 当 0 时 P 5 41 当 0 a 3 时 P 493 当 3 时 P 点不存在 由 得点 P 的坐标为 5 41 或 14 2010 浙江杭州 二次函数 2yaxbc 的图象的一部分如图所示 已知它的顶点 M 在第二象限 且经过点 A 1 0 和点 B 0 l P T 1 试求 a b所满足的关系式 2 设此二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 C 当 AMC 的面积为 ABC 面积的 54倍 时 求 a 的值 3 是否存在实数 a 使得 ABC 为直角三角形 若存在 请求出 a 的值 若不存在 请 说明理由 解 1 将 A 1 0 B 0 l 代入 2yaxbc 得 cba 可得 1 2 由 1 可知 2 xay 顶点 M 的纵坐标为 a4142 因为 ABCAMCS 5 由同底可知 1452 a 整理得 0132 a 得 32 由图象可知 因为抛物线过点 0 1 顶点 M 在第二象限 其对称轴 x 102a 253 a舍去 从而 352a 3 由图可知 A 为直角顶点不可能 若 C 为直角顶点 此时与原点 O 重合 不合题意 若设 B 为直角顶点 则可知 22BCA 得 令 0 y 可得 012 xa ax1 21 得 2 1 12 ABaBCaA22 解得 1 由 1 a 0 不合题意 所以不存在 综上所述 不存在 15 2010 北京市朝阳区模拟 定义 pq 为一次函数 ypxq 的特征数 1 若特征数是 2k 的一次函数为正比例函数 求 k的值 2 设点 AB 分别为抛物线 2yxm 与 x轴 y轴的交点 其中 0m 且 O 的面积为 4 为坐标原点 求图象过 A B两点的一次函数的特征数 答案 解 1 特征数为 2 k 的一次函数为 2k 0k 2 抛物线与 x轴的交点为 12 0 Am 与 y轴的交点 为 0 Bm 若 14OBAS 则 42 12 舍 若 2 则 m 综上 抛物线为 2yx 它与 x轴的交点为 20 与 y轴的 交点为 04 所求一次函数为 4y 或 yx 特征数为 2 或 4