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Ritz向量法在建筑结构地震作用分析中的应用 一、YJK软件提供Ritz向量法进行地震分析的背景 根据建筑抗震设计规范GB-50011-2010第5.1.2条及高层混凝土结构技术规程JGJ 3-2010第4.3.4条，建筑结构地震作用的基本分析方法是振型分解反应谱法。 计算采用的振型数目决定了地震作用计算的精度，所以为确保计算的地震力不会过小，高层混凝土结构技术规程JGJ 3-2010第5.1.13规定：计算振型数应使各振型参与质量之和不小于总质量的90。 而建筑结构的阵型和周期求解也普遍采用子空间迭代法、Lanczos法、WYD-Ritz法等精确特征向量（阵型）方法求解。但是对于某些整体振动性较差工程，如一些多塔结构、空间结构特别是需要进行竖向地震作用计算的结构，精确特征值方法会得到大量的局部振动阵型。采用规范推荐的阵型数目如：915个，多塔塔楼数的9倍，计算的地震作用远小于实际值（全部阵型结果）。如果要达到“各振型参与质量之和不小于总质量的90”的要求，甚至需要计算数百个振型，此时软件计算量和计算时间会大大增加，甚至超过软件的计算能力。 此时，可以采用YJK软件提供的荷载相关的Ritz向量法简称Ritz向量法进行地震作用分析。 二、Ritz向量法进行地震作用分析的基本原理 针对以上问题，YJK、ETABS、Midas Gen等结构设计软件都提供了Ritz向量法作为专门解决精确特征向量方法不能完成的工程的地震作用分析。 根据Wilson和Itoh 的1983论文1的有如下观点： 1）大型结构系统，求解自由振动振型和频率的特征值问题可能需要大量的计算工作。 2）在自由振动振型的计算中，完全忽视荷载的空间分布。因此，计算的许多振型对荷载是正交的并且不参与动态响应。 3）如果在无质量自由度状态下施加动力荷载，那么在振型叠加分析中即使使用精确的振型，也不会收敛到精确解。另外，在施加荷载处附近的位移和应力也会有明显误差。因此如果把精确特征向量用于这样的问题，就没有必要应用本应需要的“静态校正法”。 4）有可能用最少的计算工作量来计算一组刚度和质量正交的Ritz向量。对荷载的任何空间分布而言，这都会收敛到精确解。 可以证明，基于唯一一组荷载相关向量的动力分析，比使用相同数量的精确振型法，可产生更精确的结果。此技术的效率已经通过解决许多结构响应和波的传播类型中的问题得到了表现。 关于Ritz向量法的算法及进一步资料可以参阅文献2。 三、 YJK的ritz向量法特点 3.1 YJK的初始荷载 正如名称荷载相关的Ritz向量法，该方法的计算结果与所选初始荷载向量有直接关系。 通常可以采用质量相关的X、Y、Z向加速度工况，或者恒活风等基本工况作为初始荷载向量。而采用只在质量自由度状态下才施加荷载的工况（如质量相关加速度工况），则该方法的振型结果总是精确特征向量的线性组合。YJK当前版本是自动采用X、Y向加速度工况，如果是考虑竖向地震的振型反应谱方法，则自动增加Z向加速度工况。 3.2 YJK的ritz向量法与精确特征值方法比较文献2中给出了部分简单算例，说明了ritz向量法的高效收敛的特点。本文重点实际工程算例进行分析，以精确特征值结果为标准，分别计算不同振型数目的Ritz法结果，比较质量参与系数和基底剪力两个指标的变化规律。其中，质量参与系数可以直接通过计算结果看到；而基底剪力将通过与精确解法的计算结果间的相对误差来分析。 3.2.1算例_多塔1 工程模型见下图： 精确特征值方法： 在计算了257个振型后达标，X、Y方向质量参与系数分别达到99.84%和99.14%。 Ritz向量法： 见下表： 基底剪力相对误差趋势图见下图： 3.2.2算例_多塔2 精确特征值方法： 精确解法求解了82个振型，X方向质量参与系数达到96.28%，Y方向质量参与系数达到97.04% 。 Ritz向量法： 基底剪力相对误差趋势图见下图： 3.2.3算例_体育馆1 精确特征值方法： 精确解法按质量参与系数90%达标进行计算，得到的结果为126个振型达标。其中X方向质量参与系数为94.98%，Y方向质量参与系数为97.77%。 Ritz向量法： 该算例中增加了与Etabs软件的Ritz法的对比结果。利用YJK软件提供的接口软件，自动得到Etabs软件的计算模型。 基底剪力相对误差趋势图见下图： 3.3 YJK的ritz向量法的主要结论 盈建科软件公司通过数十个算例的数据分析，得到YJK的ritz向量法的主要如下结论： 1）与理论一致，YJK的提供的Ritz向量法只计算较少阵型数目就能达到要求的质量参与系数。 2）YJK的Ritz向量法计算得到的基底剪力呈现先上升、后下降并震荡收敛于精确解法求得的基底剪力值的总体趋势。且在平动质量参与系数达到90%前，基底剪力几乎总是呈现上升趋势。验证了该方法都会收敛到精确解的结论1。 3）基底剪力的收敛下降段几乎总是在精确解上方，即Ritz向量法的结果是偏于保守的。而且大部分算例中，如果计算30个以上振型后，其结果与精确解的误差一般在10%以内。 四、 YJK的ritz向量法在实际工程中的应用 4.1 ritz向量法的质量参与系数的快速达标性 4.1.1 某12塔工程 12塔，计算主自由度110万自由度。 精确特征值方法： YJK软件目前的32位版本使用精确特征值算法，因为32位系统内存使用限制，最多算60振型，而有效质量系数只有50%左右。无法达到规范要求，计算的地震作用也会过小。 Ritz向量法： 39振型，有效质量系数就能达到90%。 4.1.2 某3塔工程 3塔，计算主自由度70万自由度。 精确特征值方法： YJK软件目前的32位版本使用精确特征值算法，因为32位系统内存使用限制，最多算100振型，而有效质量系数只有70%左右。无法达到规范要求，计算的地震作用也会过小。 Ritz向量法： 30振型，有效质量系数就能达到90%。 4.1.3 某大体量体育馆工程 计算主自由度20万自由度。 精确特征值方法： 该工程局部振动很多，使用精确特征值方法计算了150个振型，而有效质量系数只有67%左右。无法达到规范要求，计算的地震作用也会过小。 Ritz向量法： 30个振型：X向平动振型参与质量系数总计: 93.63%；Y向平动振型参与质量系数总计: 94.71%。 36个振型：X向平动振型参与质量系数总计: 96.40%；Y向平动振型参与质量系数总计: 98.34%。 4.1.4 某大量3m悬挑梁工程需要考虑竖向地震作用 精确特征值方法： 由于竖向振动有大量的局部振动，计算了300个振型后，质量参与系数仍然很低。X向平动振型参与质量系数总计: 63.21%；Y向平动振型参与质量系数总计: 67.21%；Z向平动振型参与质量系数总计: 66.31%；Z向扭转振型参与质量系数总计: 42.63%。 Ritz向量法： 计算了45个振型后，质量参与系数就满足要求。X向平动振型参与质量系数总计: 99.77%；Y向平动振型参与质量系数总计: 99.91%；Z向平动振型参与质量系数总计: 97.37%；Z向扭转振型参与质量系数总计: 46.46%。 4.2 ritz向量法在实际工程中的收敛性 4.2.1 某6塔工程 自由度：833145(主) + 272629(从) 计算了36、44、52、60和68个振型，下表给出了质量参与系数和基地剪力值： 可以看出，从基底剪力指标来说，到52个振型后，不同振型数目结果之间的误差在7%以内，能满足工程设计要求。 即使采用了36或者44振型的计算结果，地震作用计算值是也偏于保守和安全的，误差约在6%18%之间。 五、结论与建议： 根据大量实例的计算，得到以下经验性结论： 1）选择的振型数应该是初始荷载向量的倍数，如只计算水平地震作用时，取2的倍数；同时计算水平和竖向地震作用时，取3的倍数。 2）尽量选取大的振型数。由于Ritz向量法的收敛特点，在时间以及计算能力允许的范围内，尽量选取较大的振型数来计算，以提高计算精确度。一般地，对于中等大小算例，选取30个振型数是比较可靠的；对于百万自由度以上的大型结构，推荐以60个振型数进行试算。 3）如何确定结果的可靠性。通过选取多个振型数，观察各项计算结果的变化趋势。推荐连续计算至少三次（即选取三个连续的初始向量个数的倍数，如30，36，42），从而得到两个相对误差，当这两个相对误差均在5%以内时，求得的基底剪力更精确，有更大的参考价值。参考文献1 Wilson,E.L and Itoh,T.1983, An eigensolution Strategy for Large Syestems Computers and Structures 16(1-4),259-265.2 爱德华.L.威尔逊 著.结构静力和动力分析强调地震工程学的物理方法（第四版）M.北京：中国建筑工业出版社, P133-140, 2006.