高中数学配套文档空间几何体及其表面积体积.doc

8.1空间几何体及其表面积、体积2014高考会这样考1.几何体作为线面关系的载体，其结构特征是必考内容；2.作为解答题中的某一问，与空间线面关系相结合考查几何体的表面积、体积复习备考要这样做1.熟记公式，理解公式的意义；2.结合几何体的结构特征，运用公式解决一些计算问题1多面体(1)一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；棱柱两个底面是全等多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形(2)当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥；棱锥底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形(3)棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台2旋转体(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台；(2)半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球3柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧2rhVShr2h圆锥S侧rlVShr2hr2圆台S侧(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S侧ChVSh正棱锥S侧ChVSh正棱台S侧(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR34.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和难点正本疑点清源1正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形2 正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心2要注意领会和掌握两种数学思想方法：割补法与等积法割补法是割法与补法的总称补法是把不规则(不熟悉的或复杂的)几何体延伸或补成规则的(熟悉的或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形割法是把复杂的(不规则的)几何体切割成简单的(规则的)几何体等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高3几何体的侧面积和表面积几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面积之和对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题1以下命题：直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱；圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台其中正确的命题序号是_答案解析错，因为这边若为斜边则不符合定义；错，因为这两个截面若不平行于圆柱底面，则不是圆柱；对，因为截去的是小圆锥，则截面必平行于底面错，因为截面可能不平行于底面2圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是_答案4S解析设圆柱的底面半径为r，则r，又侧面展开图为正方形，圆柱的高2，S圆柱侧4S.3表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_答案2解析设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r.则l2r23，l2r，r1，即圆锥的底面直径为2.4一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为a，则球的表面积为_答案a2解析由题意知，球的半径R.所以S球4R2a2.5. 如图所示，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1A1B1，则多面体PBB1C1C的体积为_答案解析四棱锥PBB1C1C的底面积为16，高PB11，VPBB1C1C161.题型一空间几何体的结构特征例1设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点其中真命题的序号是_思维启迪：利用有关几何体的概念判断所给命题的真假答案解析命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的命题由棱台的定义知是正确的探究提高解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可 以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为_答案1解析命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥命题错，因这腰必须是垂直于两底的腰命题对命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行题型二几何体的表面积例2如图，斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA与底面相邻两边AB与AC都成45角，求此斜三棱柱的表面积思维启迪：由题意，可知A在平面ABC内的射影D在BAC的角平分线上，从而可证得四边形BCCB是矩形解如图，过A作AD平面ABC于D，过D作DEAB于E，DFAC于F，连结AE，AF，AD.则由AAEAAF，AAAA，得RtAAERtAAF，AEAF，DEDF，AD平分BAC，又ABAC，BCAD，BCAA，而AABB，BCBB，四边形BCCB是矩形，斜三棱柱的侧面积为2absin 45ab(1)ab.又斜三棱柱的底面积为2a2a2，斜三棱柱的表面积为(1)aba2.探究提高此题构作辅助线的方法具有典型意义，记住这种作法，对解这一类问题有较大的帮助一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积解(1)设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O，过O1作O1D1B1C1，ODBC，则D1D为三棱台的斜高；过D1作D1EAD于E，则D1EO1O，因O1D13，OD6，则DEODO1D1.在RtD1DE中，D1D (cm)(2)设c、c分别为上、下底的周长，h为斜高，S侧(cc)h(3336) (cm2)，S表S侧S上S下3262 (cm2)故三棱台斜高为 cm，侧面积为 cm2，表面积为 cm2.题型三空间几何体的体积例3如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积思维启迪：思路一，先求出四棱锥C1B1EDF的高及其底面积，再利用棱锥的体积公式求出其体积；思路二，先将四棱锥C1B1EDF化为两个三棱锥B1C1EF与DC1EF，再求四棱锥C1B1EDF的体积解方法一连结A1C1，B1D1交于点O1，连结B1D，EF，过O1作O1HB1D于H.EFA1C1，且A1C1平面B1EDF，A1C1平面B1EDF.C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离平面B1D1D平面B1EDF，平面B1D1D平面B1EDFB1D，O1H平面B1EDF，即O1H为棱锥的高B1O1HB1DD1，O1Ha.VC1B1EDFS四边形B1EDFO1HEFB1DO1Haaaa3.方法二连结EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1h2B1D1a.由题意得，VC1B1EDFVB1C1EFVDC1EFSC1EF(h1h2)a3.探究提高在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积 (2012课标全国改编)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为_答案由于三棱锥SABC与三棱锥OABC底面都是ABC，O是SC的中点，因此三棱锥SABC的高是三棱锥OABC高的2倍，所以三棱锥SABC的体积也是三棱锥OABC体积的2倍在三棱锥OABC中，其棱长都是1，如图所示，SABCAB2，高OD，VSABC2VOABC2.题型四几何体的展开与折叠问题例4(1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、B、C、D、O为顶点的四面体的体积为_(2)有一根长为3 cm，底面直径为2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为_ cm.思维启迪：(1)考虑折叠后所得几何体的形状及数量关系；(2)可利用圆柱的侧面展开图答案(1)(2)5解析(1)折叠后的四面体如图所示OA、OC、OD两两相互垂直，且OAOCOD2，体积V SOCDOA(2)3.(2)把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC3 cm，AB4 cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度AC5 (cm)，故铁丝的最短长度为5 cm.探究提高(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题 如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_答案解析如图，四棱锥的高h，VSh1.转化思想在立体几何计算中的应用典例：(14分)如图，在直棱柱ABCABC中，底面是边长为3的等边三角形，AA4，M为AA的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)三棱锥CMNP的体积审题视角(1)侧面展开图从哪里剪开展平；(2)MNNP最短在展开图上呈现怎样的形式；(3)三棱锥以谁做底好规范解答解(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为.4分(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB展开，如下图，设PCx，则MP2MA2(ACx)2.5分MP，MA2，AC3，x2，即PC2.7分又NCAM，故，即.NC.9分(3)SPCNCPCN2.在三棱锥MPCN中，M到面PCN的距离，即h3.11分VCMNPVMPCNhSPCN.14分温馨提醒(1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题(2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题(3)本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图缺乏空间图形向平面图形的转化意识.方法与技巧1棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状2要注意将空间问题转化为平面问题3求几何体的体积，要注意分割与补形将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解4一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决失误与防范1几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系2与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径A组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1给出四个命题：各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；长方体一定是正四棱柱其中正确的命题个数是_答案0解析反例：直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；显然错误2 . 已知高为3的直棱柱ABCABC的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，则三棱锥BABC的体积为_答案解析VBABCBBSABC312.3正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为_答案48(3)解析S底64224，S侧646144，S表S侧2S底1444848(3)4. 如图所示，E、F分别为正方体ABCDA1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是_(填序号)答案解析四边形在面DCC1D1上的射影为.B在面DCC1D1上的射影为C，F、E在面DCC1D1上的射影应在边CC1与DD1上，而不在四边形的内部，故错误5(2012山东)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_答案解析VD1EDFVFDD1ESD1DEAB111.6已知三棱锥ABCD的所有棱长都为，则该三棱锥的外接球的表面积为_答案3解析如图，构造正方体ANDMFBEC.因为三棱锥ABCD的所有棱长都为，所以正方体ANDMFBEC的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为.易知三棱锥ABCD的外接球就是正方体ANDMFBEC的外接球，所以三棱锥ABCD的外接球的半径为.所以三棱锥ABCD的外接球的表面积为S球423.7 . 已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为_答案解析因为扇形弧长为2，所以圆锥母线长为3，高为2，所求体积V122.二、解答题(共27分)8(13分)如图所示，在边长为5的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的表面积与体积解设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，由已知条件，解得r，l4，Srlr210，h，Vr2h2.9(14分)已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高解如图所示，正三棱台ABCA1B1C1中，O、O1分别为两底面中心，D、D1分别为BC和B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高由题意知A1B120，AB30，则OD5，O1D1，由S侧S上S下，得(2030)3DD1(202302)，解得DD1，在直角梯形O1ODD1中，O1O4，所以棱台的高为4 cm.B组专项能力提升(时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1在四棱锥EABCD中，底面ABCD为梯形，ABCD,2AB3CD，M为AE的中点，设EABCD的体积为V，那么三棱锥MEBC的体积为_答案V解析设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2.连结MD.因为M是AE的中点，所以VMABCDV.所以VEMBCVVEMDC.而VEMBCVBEMC，VEMDCVDEMC，所以.因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而ABCD，且2AB3CD，所以.所以VEMBCVMEBCV.2 . 如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为_答案解析三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为.3(2011课标全国)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6，BC2，则棱锥OABCD的体积为_答案8解析依题意棱锥OABCD的四条侧棱长相等且均为球O的半径，如图连结AC，取AC中点O，连结OO.易知AC4，故AO2.在RtOAO中，OA4，从而OO2.所以VOABCD2628.4. 如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为_ cm.答案13解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为13 cm.5(2011福建)三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积为_答案解析PA底面ABC，PA为三棱锥PABC的高，且PA3.底面ABC为正三角形且边长为2，底面面积为22，VPABC3.6(2012上海)如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC2.若AD2c，且ABBDACCD2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是_答案c解析ABBDACCD2a2cAD，B、C都在以AD的中点O为中心，以A、D为焦点的两个椭圆上，B、C两点在椭圆两短轴端点时，到AD距离最大，均为，此时BOC为等腰三角形，且ADOC，ADOB，AD平面OBC.取BC的中点E，显然OEBC，OEmax，SBOC(max)2.VDABCVDOBCVAOBCODSOBCOASOBC(ODOA)SOBC2cc.三、解答题(共28分)7(14分)如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示图1图2(1)求证：BC平面ACD；(2)求几何体DABC的体积(1)证明在图中，可得ACBC2，从而AC2BC2AB2，故ACBC.又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD.(2)解由(1)可知BC为三棱锥BACD的高，BC2，SACD2，VBACDSACDBC22，由等体积性可知，几何体DABC的体积为.8(14分)已知圆台的母线长为4 cm，母线与轴的夹角为30，上底面半径是下底面半径的，求这个圆台的侧面积解如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，由题意知AC4 cm，ASO30，O1COA，设O1Cr，则OA2r，又sin 30，SC2r，SA4r，ACSASC2r4 cm，r2 cm.所以圆台的侧面积为S(r2r)424 cm2.