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课题16.3分式方程（一）教学目的1 分式方程的概念。2 解分式方程的一般步骤。3 了解分式方程验根的必要性。4 使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径。重点1 解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解法。2 明确分式方程验根的必要性。难点明确分式方程验根的必要性。教学手段教 学 内 容 和 过 程一 复习、引入1 解一元一次方程的一半步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为以1。引例：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大船速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：本题两个主要的关系：顺水速度 = 船速+水速；逆水速度 = 船速水速。设江水流速为千米/时，则轮船顺流航行100千米所用时间为小时，逆流航行60千米所用时间为小时，根据“两次航行所用时间相等”这一等量关系，可得到方程。这个方程的坟墓中含未知数，像这样的方程叫分式方程。二 新课1 分式方程的定义：分母中含未知数的方程叫做分式方程。以前学过的分母中不含未知数的方程叫做整式方程。思考：分式方程的特征是什么？ 分母中含未知数。练习1：下列方程中哪些是分式方程？哪些是整式方程？2. 下面我们一起研究下怎么样来解分式方程： 解方程得基本思路是使方程逐步化为的形式。那么，怎么样把分式方程化为整式方程？去分母。 首先找到方程中各分母的最简公分母： 方程两边同乘，得： 解得：检验：将代入原分式方程中，左边= 4 = 右边，因此是分式方程的解。答：江水的流速为5千米/时。归纳：（1） 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。（2） 在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方法：转化的数学思想（化归思想）。例1：解分式方程： 去分母：方程两边同乘最简公分母，得： 检验：把代入原分式方程中，分母和的值为0，使得分式无意义。 因此，是整式的解，但不是原分式方程的解。所以这个分式方程无解。3.（1） 思考：在上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是的解呢？分析：解分式方程去分母时，方程两边同乘一个含未知数的式子（最简公分母）。方程两边同乘，得到的整式方程的解：。当时，也就是说方程两边同乘了一个不为0的式子，因此所得的整式方程的与的解相同。方程两边同乘，得到的整式方程的解：。当时，也就是说方程两边同乘了一个等于0的式子，所得的整式方程的解使出现分母为0的现象。因此这样的解不是的解，通常把它叫做的增根。（2）增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根.在这里增根特指，使最简公分母为零的根。产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根.(3)思考：在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根，那么是不是就不要这个解呢？采取什么样的方法补救？ 答：还是要把分式方程转化为整式方程来解，解出整式方程的解后可用检验的方法来看是不是方程的解。 思考：怎样检验比较简单？还需要将整式方程的解分别代入原方程得左、右两边吗？答：不用。产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的。因此，最简单的检验方法：把整式方程的解代入最简公分母。若使最简公分母的值不为0，则是原方程得解；否则，这个解不是原分式方程的解，是增根。一般地，说明原方程无解。 思考：上述检验方法的依据是什么？ 答：这种检验方法能排除使分母为0的未知数的值，即保证所保留的解既满足去分母后的整式方程，又使原分式方程的分母不等于0。因此是原分式方程的解。4例1：解方程： （1） 解：方程两边同乘：2x = 3 x 9 x = 9 检验：x = 9时，所以x = 9是原方程的解。 技巧：叉乘。直接得到：2x = 3 x 9，求解。（2）解：方程两边同乘： x = 3 检验：x = 3时，=0，所以x = 3不是原方程的解，原分式方程无解。技巧：并项。原方程可化为，即1=2，矛盾，故原方程无解。 （3）技巧：通分。得： x =0 检验略。例2：解：去分母，方程两边同乘，得： x = 1 检验：x = 1时，x = 1不是原方程的解，原分式方程无解。5 归纳：解分式方程的思路：分式方程整式方程解分式方程的一般步骤：1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2、解这个整式方程. 3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4、写出原方程的根.练习2： （4）（5）三 小结：1 解分式方程的一般步骤。2 思考：解一元一次方程时，也要去分母，为什么不强调检验？ 解一元一次方程去分母时，在方程两边同乘一个具体的数（这个数不等于0），因此所得新方程与原方程同价；而解分式方程时，去分母在方程两边同乘一个含未知数的式子，这个式子的值是否等于0尚未确定。只有在这个式子不等于0时，所得新方程与原方程同解。
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