2013年全国初中数学联赛初赛.doc

2013年全国初中数学联赛初试解答一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1、已知，则，的大小关系是（ ） A：BC D解：由，得，从而，所以，又，所以故选D2、如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQBP，PQ交CD于Q，若APCQ2，则正方形ABCD的面积为A B16 CD32解：如图，过P分别作PE、PF、PG垂直于AB、CD、AD，垂足分别为E、F、G易证RtEPBRtFQPRtFDP，所以FQFDEP，因此正方形ABCD的边长为，所以面积为故选C3、若实数，满足，则的取值范围是（ ）A：a1B：a1C：a1D：a1解：将原式看作为关于b的一元二次方程，则其判别式(2)24(a2)0解得a1或：原式化为ab22b2(b1)211故选A4、如图，在四边形ABCD中，B=135，C=120，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（ ）ABCD解：过A和D点向BC作垂线，垂足为M和N，那么BM=AM=，CN=3，DN=，所以48，所以AD=故选B5、方程的正整数解的组数是（ ）A0 B1 C3 D5解：化简为 设：xy3a，xy7a，且a0，则x，y可以看成一元二次方程m23am7a0的两根，而方程的判别式小于0，所以m没有实数解故答案选A6、已知实数满足，则的值是（ ）A B0 C1 D2解：显然xyz0，否则由已知得即所以故选B二、填空题（本大题满分28分,每小题7分）1、是正整数，x表示的正约数个数，则等于 解：，所以故填2、草原上的一片青草，到处长得一样密一样快，70头牛在24天内可以吃完这片青草，30头牛在60天内可以吃完这片青草，则20头牛吃完这片青草需要的天数是 解：设草原上原有草量为a，每天长出量为b，并设20头牛在x天内可以吃完这片青草因为一头牛一天的吃草量相等，根据题意可得方程组由 得代入中，得，解得故填963、如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM=4，AN=3，且角MAN=60，则AB的长是 解：延长AM交DC的延长线于F，则AMBFMC则CF=AB，则NF=，过N作NH垂直AF于H，则AH=，故，所以故填4、小明将1，2，3，n这n个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示输入个数，且平均值为，假设这个数输入无误，则漏输入的一个数是 解：设输漏的一是m，则1n，n。因为1mn，所以02，即59.5n61.5，所以n60（舍去，m不是正整数）或 n61，当n61，m46。三、（本大题满分20分）解方程解：当x 时，原方程可化为，解得，又因为，故应舍去10分当时，原方程可化为，解得，又因为，故应舍去所以原方程的解为和20分四、（本大题满分25分）如图，圆内接四边形ABCD中，CBCD，求证：CA2CB2ABAD；证明：连结BD、AC交于点E，则BAECAD，ABEACD所以，5分所以，所以ABADACAE10分又CBECAB，BCEACB所以，15分所以，所以，CB2CACE20分所以CB2ABADCACEAEACCB2ABADAC(CEAE) AC2所以CA2CB2ABAD25分五、（本大题满分25分）已知二次函数和一次函数，其中a、b、c满足，(R) （1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A、B；（2）过（1）中的两点A、B分别作x轴的垂线，垂足为A1、B1求线段A1B1的长的取值范围（1）证明：由消去y得，5分，即两函数的图象有两个不同的交点10分（2）解：设方程的两根为和，则x1+x2，x1x215分20分，解得，故25分4