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暑期专题辅导材料五（旧课）5一、教学进度：1.4 含绝对值的不等式解法1.5 一元二次不等式解法教学内容1和 型的不等式2一元二次不等式 和（）的解法二、重点难点剖析1实数的大小比较a-b0ab，a-b=0a=b a-b0ab.2不等式的基本性质aba+cb+c ab，c0acbc，ab，c0acbc.3绝对值的意义 a（a0） 0（a=0）-a(a04最简绝对值的解法|x|a(a0)xa或x-a，|x|a(a0)-axa.5|ax+b|c(c0),|ax+b|c(c0)型 6|ax+b|c或|ax+b|c(c0)这两种类型的不等式的解题方法是利用了最简绝对值不等式的思想，把绝对值不等式化为代数不等式来解决。 7在具体变形时要注意同解变形； （1）|ax+b|c(c0)ax+bc或ax+b-c； （2）|ax+b|c(c0)-cax+bc. 然后再根据a的正、负解出相应绝对值的解。 8解含绝对值不等式的基本思想： 化归脱去绝对值符号 含绝对值不等式 不含绝对值符号不等式 9脱去绝对符号的方法有： （1）化归法，化为|x|a或|x|a（a0）型。 （2）零点分段法，找绝对值为零的点，分段讨论。 （3）数形结合。 （4）平方法，化为一元二次不等式（后面将会学到）。10和型的不等式（1）解含绝对值的不等式的基本方法体现了“化归”的数学思想，即将含绝对值的不 等式化归为不含绝对值的“普通不等式”，在化归时要注意绝对值的含意.（2）对含绝对值的不等式，一般地有如不结论：当， 或当，的解集为； .当，的解集为；的解集为R.【例1】 求满足的值.解：由绝对值的定义得， ，或， ，或.【例2】 求不等式2x-15的解集. , 解：原不等式可以化为不等式组 . 由，2x-11 或 2x-1-1, x1 或 x0. 由，-52x-15, -2x3. 原不等式的解集为x|-2x0,或1x3. 评析 本题也可以根据绝对值的意义来解.原不等式可以变形为.由绝对值的意义，|表示数轴上坐标为x的点到坐标为的点的距离，而该距离等于的点的坐标是0和1，该距离等于的点的坐标是-2和3，由数轴可见，原不等式的解是x|-2x0,或1x2x-1.解 (1) |4x-3|x+1, -(x+1) 4x-3x+1, 即 x-14x-3, 4x-3x+1. 由得 ， 由得 . 原不等式的解集为 x|. (2) |3x+5|2x-1, 3x+52x-1, 或 3x+5-6, 由得 x. 原不等式的解集为x|xR.【例4】 求关于x的不等式|2x+1|t+1 (tR)的解集. 解 当t+10,即t0,即t-1时，-(t+1) 2x+1t+1,-t-22xt,不等式的解集为x|. 评析 所谓“关于x的不等式”是指除x以外的其他字母均表示常数.由于t+1的符号不确定，因此这里需对t的不同情况分别求解. （3）对于含有几个绝对值的方程或不等式，可以用零点分段的方法除去绝对值符号：【例5】（1）解方程：|x-3|+|x+2|=6； （2）解不等式：|x-1|+|x+2|5. 解（1）零点为3，-2，分三段讨论. 当x3,方程为x-3+x+2=6,x=. 方程的解集为,. (2)零点为1，-2，分三段讨论. 当x-2,不等式为(1-x)-(x+2)-3, -3x-2; 当-2x1,不等式为(1-x)+(x+2)5,31,不等式为(x-1)+(x+2)5,x2, 1x2. 不等式的解集为x|-3x2.评析 所谓“零点”，即使绝对值为零的x的值.若有n个零点,则分n+1个情况讨论.由于每种情况都可以去掉绝对值符号，就把含有绝对值的方程或不等式转化为普通的方程或不等式去解.在每一种情况求方程或不等式的解时，所求得的解必须满足相应的条件.上面的方法是解含有绝对值的问题的基本方法。这两题也可以从绝对值的几何意义直接得到它们的解.解（1）|x-3|+|x+2|=6,即求数轴上到3和-2的对应点距离和等于6的点所对应的数.由数轴知，3-（-2）=5，所以该点在3对应点的右边或在-2对应点左边个单位，即x=或x=-.解(2)|x-1|+|x+2|5,即求数轴上到1和-2对应点距离和小于5的点所对应数的范围.由数轴知，1-（-2）=3，所以x应满足-3x0(0）：的情况图象不等式不等式的解0ax2+bx+c0xx2ax2+bx+c0x1x0xx1ax2+bx+c0x0xRax2+bx+c0x对于含有等号的不等式或a0的情况，类似地可以由图像得出不等式的解，但习惯上解一元二次不等式时，常使二次项系数a0; （2）4+3x-x20; （3）1+x-x20; （4）1-2(x-1)20.解：（1）整理得 2x2+3x-20,方程2x2+3x-2=0的解是x1=-2,x2=， 原不等式的解集是x|-2x0,方程x2-3x-4=0的解是 x1=-1,x2=4. 原不等式的解集是x|x-1,或x4.(3)整理，得x2-x-1=0的解是 x1=,x2= 原不等式的解集是x|x0; （2）2x2+4x+30; （3）x2+6x+90. 解（1）0，方程x2-x+1=0无实数根， 原不等式的解集是R. （2）0，方程2x2+4x+3=0无实数根， 原不等式的解集是.（3）=0，方程x2+6x+9=0的解是 x=-3, 原不等式的解集是-3. 评析 本题也可以分别用配方的方法求解：由.由2(x+1)2+10,x.由(x+3)20,x=-3.【例11】 已知关于x的不等式x2+ax+b0的解集是x|-2x3,求不等式bx2-ax+10的解集. 解 若方程x2+ax+b=0的根为x1、x2(x1x2),则不等式x2+ax+b0的解集是x|x1xx2. 由题意知，x1=-2,x2=3. a=-(x1+x2)=-1,b=. 不等式bx2-ax+10,即-6x2+x+10. ,方程的两根为 . 所求不等式的解集是x|x0. 由，得k1. 由，k2+2k+1-4k2+40,3k2-2k-50，方程3k2-2k-5=0的两根为 x1=-1,x2=, 不等式的解为-1k. 实数k的取值范围为-1k，且k1. 评析 两个“相异”实根即两个不相等的实数根，不同于两“异号”实数根. 当二次项系数含有字母时，要注意仅当二次项系数不等于零时方程才有判别式.【例13】 已知m、n是关于x的方程x2-2x+t=0的两个实数根，m3+n3有没有最大或最小值？如有，请求出最值；如没有，请说明理由. 解 方程有实数根， =（-2）2-4. 由韦达定理，m+n=2, m3+n3=(m+n)3-3mn(m+n) =23-=8-6t8-6=2. m3+n3有最小值2，无最大值. 评析 题中“两个实数根”是通常所说的隐含条件，它实际上暗示我们不要忘记判别式不小于零的条件，在审题时一定要引起注意.巩固练习 一、 选择题1.不等式|2-x|1的解集是 （ ） A.x|1x3 B.x|1x3 C.x|x3 D.x|x1,或x32.不等式1-|1-2x|0的解集是（ ） A.x|0x1 B.x|-1x1 C.x|0x2 D.x|-1x23.不等式2-x-x20的解集是（ ） A.-2x1 B.x|-2x1 C.x|x1 D.x|x-2,或x14.与不等式|1-x|3同解的不等式是（ ） A.1-x3 B.1-x3 C.-31-x3 D.x-13,或x-1-35.关于x的不等式x2-(m+2)x+2m+10的解集是R，则实数m的取值范围是（ ） A.m4 B.0m4 C.mR D.m6.关于x的方程mx2-2(m-1)x+2m-1=0有两个相异实根，则m的范围为（ ） A. B. 且m0 C. D. 且m0二、 填空题7.不等式x2+3x+24x+14的解集是_。8.设全集U=R,U的子集M=x|x2,N=x|x2-5x+60的解集为，则实数k的取值范围为_.10.当a0时，关于x的不等式|ax-b|1的解集为_.三、 解答题11 解不等式：1|2x+5|7.12 求不等式-3x2+2x-35的解集。13 设全集u=x2-4x-120,u的子集A=x|x|2,B=x|x2-3x-40,求 B, (AB).14.设集合M=x|x2+x-60,N=x|x2-axx-a,全集U=R，且 M N,求实数a的取值范围。参考答案答案一、1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.B二、7.x|-3x4 8.x|x2,x|x2,或x3,x|x29.k 10.三、11.x|-6x-3,或-2x112.x|-4x-2,或0x213. B=x|-2x-1,或4x6, (AB)=x|-2x-1,或2x614.-3a2提示一、5.由=(m+2)2-4(2m+1)0,得0m0,得，且m0.由，二、9.由题意, k0, =(k-1)2-4k(k+1)0. 3k2+6k-10,方程3k2+6k-1=0的两根为k1=,不等式的 解为k,或。由，k0, k 10. a0,|-ax+b|1, -ax+b1,或-ax+b-1,得-ax1-b,或-ax-b-1. x由，三、12.已知不等式即 -3x2+2x-3, x2+2x-35, x2+2x0,x-2,或x0.由，x2+2x-80.-4x2, 解集为x|-4x-2,或0x213.U=x|-2x6,A=x|-2x2,B=x|-1x4. B=x|-2x-1,或4x6, AB=x|-1x2, (AB)=x|-2x-1,或2x614.M=x|-3x2, M=x|x2.由N，x2-(a+1)+a0,方程x2-(a+1)x+a=0的两根为x1=a,x2=1.(1)若a1,N=x|x1,或xa,由 MN,得1a2;(2)若a=1,N=R, a=1;(3)若a1,N=x|xa,或x1,由 MN ,-3a1, 实数a的取值范围是-3a2.
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