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1.2.1任意角的三角函数（第二课时） 孙磊 (枣庄八中北校，277000) 教材分析本节内容是数学4 第一章 三角函数 第2节 任意角的三角函数 第1小节的第二课时，是在学习了任意角的三角函数的代数定义（在单位圆中的定义和一般的定义）的基础上，在单位圆中通过对三角函数线的研究进一步加深对任意角的三角函数概念的理解，并且为“1.3三角函数的诱导公式”和“1.4三角函数的图象与性质”的学习打下基础，为三角函数诱导公式的推导和作三角函数图象以及发现三角函数值的周期性变化规律提供“形”上的指导.本节课的重点是建立起三角函数值与三角函数线的对应，通过定义有向线段把二者对应起来，利用三角函数线表示角的正弦值、余弦值和正切值以及三角函数线的应用；难点是通过讨论，理解三角函数线作为有向线段其方向规定的合理性，并灵活和准确利用三角函数线研究角的范围和三角函数值的范围的对应.通过建立三角函数线的过程，加深学生对分类讨论思想和数形结合思想的理解.课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解三角函数线的概念及应用.教学目标重点: 三角函数线的概念及应用.难点：理解三角函数线作为有向线段其方向规定的合理性，三角函数线的应用知识点：有向线段，正弦线、余弦线、正切线的概念，作三角函数线.能力点：逐步发现三角函数值与单位圆中的“有向线段”的对应，分类讨论及数形结合的数学思想的运用.教育点：让学生通过经历由不确定的对应建立确定的对应的过程，体会发现的艰辛，享受发现的乐趣.自主探究点：角的终边在坐标轴上时三角函数线的情况.考试点：利用三角函数线判断三角函数值或角的范围.易错易混点：三角函数线作为有向线段与一般线段的联系与区别.拓展点：利用三角函数线证明有关不等式.教具准备 三角板、圆规课堂模式 学案导学一、引入新课 图片中，某地的电视发射塔建在一座小山上，我们想知道它的高度为此，选定一个观测点A，由点A观测电视发射塔的视角为即CADAB为水平基线，通过测角仪器测得BAD=另外，由观测点A到电视发射塔塔基C的距离，也就是线段AC的长度可以实地测量出来，因此，线段AC的长度可以作为一个已知量（1）求CD的长度；（2）求AD的长度；（3）求的值【师生活动】教师分析（1）的求解思路：在斜三角形中，且且长度已知，但是我们没有学过解斜三角形的知识，我们学过解直角三角形的知识，于是想到构造直角三角形，过作于教师引导：如何得到的长度呢？学生发现在中，可以先求出继而在中，利用表示出即可得到的长度.学生分析（2）的求解思路：由于有了（1）的思路分析，学生很容易想到,师生共同分析（3）的求解思路：在中，而已求出.解：（1）（2）（3）【设计意图】 通过具体问题引入的求法，易引发学生的学习兴趣通过利用45、30三角函数值表示出，引出本课题【设计说明】在分析（1）（2）（3）的求解思路以后，便板书其求解过程，步步为营！二、探究新知（一）归纳公式由上面的第(3)问，教师提出问题：么?生：不相等师：这说明两角差的余弦不满足分配率，但是这种形式不够整齐，改写为: ,师：这种形式符合两角差的余弦公式的一般形式么?通过例子验证,形式不变,将换成得到容易发现这个等式不成立，因此这种形式并不符合两角差的余弦公式的一般形式也可以将改写为: 这种形式符合两角差的余弦公式的一般形式么?我们仍然通过例子加以验证(形式不变):将换成,上述形式的等式仍然成立 如果将等式中的换成其它的特殊角，这些等式还成立么?如将这些等式中的换成,这些等式仍然成立猜想: 无论还是的位置换成其他的特殊角，这种形式的等式都成立提出问题：通过以上等式，你能归纳出一般性的结论么？结论：对任意的角 设计意图 给学生充分的感性材料,揭示公式的发现过程, 通过学生发现若干特例的共性, 培养学生归纳、概括、提出数学问题的能力（一般性探究）避免直接将公式抛给学生（二）公式证明 分析公式的左边:涉及到角的余弦教师提问学生:在前面的两章中,哪些地方涉及到角的余弦?答案：在第一章中有：三角函数余弦的定义、余弦线、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、余弦函数的图象与性质；在第二章中有：向量数量积的定义设计意图 沟通本节内容与前面两章内容的联系,为进一步分析公式的证明思路打下基础(见板书设计) 以坐标原点为中心作单位圆（如图）以Ox为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，则P(cos，sin)，Q（cos，sin），|=|=1公式证明过程分析:只需证明:猜想：与应该存在着某种关系？师生共同分析，得到结论.师：若将角的终边互换，又会得到怎样的结论呢？答案：.说明：只是将上面的结论：中的的位置互换一下.设计意图 将第2种情形与第一种情形类比，学生容易得到，激起学生对同根同源问题的思考证明：以坐标原点为中心作单位圆（如图）以Ox为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，则P(cos，sin)，Q（cos，sin），|=|=1因为（左图），或（右图），所以设计意图 通过分析找到解题思路，利用综合法进行严格证明，培养严谨的学习态度思考：学生作答.设计意图 本质上就是，体会转化的思想方法三、理解新知分析公式的结构特点，得到口诀：同名积，符号反设计意图为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例1 求及的值提问其他方法，比如学生作答：师：对于还有其他的求解方法么? 设计意图 培养学生发散思维的能力及良好的解题习惯: 同一个题目有不同的解法,我们可以从中选择简捷、自然的解题思路通过利用，既可以找到例题中两个问题的联系，又可以看出诱导公式只是两角和与差的余弦公式的一种特殊情形，体现了特殊和一般的关系思考1：如何求设计意图 有时求角的余弦值，既可以用诱导公式,也可以用两角和的余弦公式,从中看到诱导公式是两角和的余弦公式的特殊情形显然, 应用诱导公式更简捷一些思考2：（1）; （2）设计意图 逆向运用公式两个问题的设计由具体到抽象,便于学生全面的认识公式, 提高理解、运用知识的能力例2 已知，求解：因为所以 变式：如果例2中的条件“”改为“”呢？进一步：如果例2中的条件“”改为呢?更进一步：将例2 中的条件去掉，计算设计意图 由一个问题引申为一类问题，提高学生的解题能力同时,便于学生发现不同题目解题过程的区别与联系,有利于学生用联系的观点看问题，不能“只见树木,不见森林”例3 利用公式证明：设计意图利用两角和的余弦公式证明诱导公式，体现了前后知识之间的内在联系,有利于学生全面而系统地掌握知识五、课堂小结 教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1知识：2思想：分类讨论的思想、数形结合的思想、特殊与一般的思想教师总结: 公式的证明过程用到了前面两章学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”在应用中增强对知识(如本节的公式)的理解，及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用设计意图 加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”六、布置作业 1阅读教材P124127；2.书面作业 必做题：P127 练习4. P137 习题3.1 A组 1.（1）、（3），2,3,4.选做题：1.若且为锐角，则 .2. 已知且求的值. 3课外思考 如何利用的三角函数值表示设计意图设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用两角差与和的余弦公式，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生理解公式之间的联系，从而让学生深刻地体会到三角恒等变换一章的主线，培养学生用整体的观点看问题，起到承上启下的作用 七、教后反思 1.本教案的亮点是变式训练.在例1的教学中，让学生回答各种方法、说明思路的由来过程，一题多解开阔思路例2一题多变，既注重了与原问题的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在公式的证明思路的探寻上下足功夫.3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊断与分析.八、板书设计311 两角和与差的余弦引例: 问题思考: 么?同名积符号反公式证明过程分析:只需证明:与有怎样的关系?
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