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高三数学概念、方法、题型、易误点总结(五)班级 姓名 五、平面向量1、向量有关概念:(1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。如已知A(1,2),B(4,2),则把向量按向量(1,3)平移后得到的向量是_(2)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:,注意零向量的方向是任意的;(3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是);(4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;(5)平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量,记作:,规定零向量和任何向量平行。提醒:相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;平行向量无传递性!(因为有);三点共线共线;(6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如下列命题:(1)若,则。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。(3)若,则是平行四边形。(4)若是平行四边形,则。(5)若,则。(6)若,则。其中正确的是_2、向量的表示方法:(1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如,注意起点在前,终点在后;(2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如,等;(3)坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与轴、轴方向相同的两个单位向量,为基底,则平面内的任一向量可表示为,称为向量的坐标,叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3.平面向量的基本定理:如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数、,使a=e1e2。如(1)若,则_;(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 ( )A. B. C. D. ;(3)已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_;(4)已知中,点在边上,且,则的值是_ _;4、实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度和方向规定如下:当0时,的方向与的方向相同,当0;当P点在线段 PP的延长线上时1;当P点在线段PP的延长线上时;若点P分有向线段所成的比为,则点P分有向线段所成的比为。如(1)若点分所成的比为,则分所成的比为_(2)己知P1(2,1) 、P2(0,5) 且点P在P1P2的延长线上, 则P点坐标为A(2,11) B( C(,3) D(2,7) ( )(3)线段的定比分点公式:设、,分有向线段所成的比为,则,特别地,当1时,就得到线段PP的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时,应明确,、的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比。如(1)若M(-3,-2),N(6,-1),且,则点P的坐标为_;(2)已知,直线与线段交于,且,则等于_ ;11.平移公式:如果点按向量平移至,则;曲线按向量平移得曲线.注意:(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系?(2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊!如(1)按向量把平移到,则按向量把点平移到点_;(2)函数的图象按向量平移后,所得函数的解析式是,则_(3)已知f(A、B)sin22Acos22Bsin2Acos2B2(1)设A、B、C为ABC内角,当f(A、B)取得最小值时,求C.(2)当AB且A、BR时,yf(A、B)的图像通过向量的平移得到函数y2cos2A的图像,求向量12、向量中一些常用的结论:(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;(2),特别地,当同向或有;当反向或有;当不共线(这些和实数比较类似).如(1)已知是两个非零向量,则不共线是的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)不充分不必要条件(2)设、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则()(); |;()()不与垂直;(32)(32)9|24|2中,是真命题的有 ( )(A) (B) (C) (D)(3)在中,若,则其重心的坐标为。为的重心,特别地为的重心;为的垂心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线);的内心;(3)若P分有向线段所成的比为,点为平面内的任一点,则,特别地为的中点;(4)向量中三终点共线存在实数使得且.如(1)若ABC的三边的中点分别为(2,1)、(-3,4)、(-1,-1),则ABC的重心的坐标为_;(2)平面直角坐标系中,为坐标原点,已知两点,若点满足,其中且,则点的轨迹是_(3)O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足( ) 则P的轨迹一定通过ABC的A外心B内心C重心D垂心参考答案(答:(3,0)(答:(4)(5)(答:)(答:B)(答:)(答:0)(答:9)(答:1)(答:)(答:)(答:)(答:或且)(答:)(答:;最小值为,)(答:;)(答:)(答:直角三角形)(答:2)(答:)(答:)(答:或)(答:(9,1)(答:或)(答:)(答:(1)2;(2)(答:)(答:2)(答:4)(答:2或11)(答:)(答:(1,3)或(3,1)(答:)(答:)(答:)(答:或)(答:(,)(答:)(答:)(答:直线AB)11.解13、解:(1)设=(x,y),则解得(2). =1+
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