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东北大学2011-2012(1)概率统计试题及参考答案一、 选择题(每小题3分,共15分)1. 随机事件发生,意味着 .(A)都发生; (B)至多有一个发生;(C)恰好有一个发生; (D)至少有一个发生.2. 设随机变量,则X的分布函数为 . (A) (B)(C) (D)3. 已知,且,正确的是 .(A); (B); (C); (D).4. 设是来自总体的简单随机样本,分别为样本均值和样本方差,不正确的是 .(A); (B); (C); (D)与相互独立.5. 对原假设H0和备择假设H1, 为犯第一类错误.(A) H1真,拒绝H1; (B) H1不真,拒绝H1; (C) H1真,接受H1; (D) H1不真,接受H1.二、填空题(每小题4分,共20分)1. 设事件A1, A2, A3相互独立,且P(Ai)=1/3( i=1,2,3),则A1, A2, A3至少发生一个的概率为 .2. 设随机变量X,Y,Z相互独立,概率密度函数分别为,则E(3X YZ2)= .3. 二维正态变量,则 ,X与Y (独立,不独立,相关).4. 设,是二项总体B(10, 0.4)的简单随机样本的样本均值和样本方差,则E()= .5. 设某次考试的成绩服从正态分布,其中均未知. 随机调出其中36位考生的成绩,算得平均分是66.5,标准差为15. 为检验这次考试的平均成绩是否为70分,应提出原假设、备择假设以及检验用的检验统计量分别为 .三、(12分)设随机变量(X,Y)的分布律为,(1)求Z = 2X Y的分布律;(2)求Cov(X, Y);(3)判断X , Y的独立性与相关性.四、(共11分)1.(6分)设随机变量(1)求常数a;(2)求分布函数F(x).2.(5分)设随机变量 求的概率密度函数.五、(12分)设二维随机变量(X,Y)在由直线x =2, y = x/2及x轴所围成的区域内服从均匀分布,求:(1);(2)Z =X +Y的概率分布.六、(10分)某系统装有三个电子元件. 假设:系统启动时它们同时开始工作;三个元件工作状态相互独立,且无故障工作的时间Ti (i =1,2,3)均服从参数为的指数分布;只要有一个元件在工作,系统就能正常工作(正常工作的时间记为T).(1)求参数为的指数分布的分布函数;(2)给出T与T1、T2、T3的函数关系;(3)求T的概率密度函数.七、(共12分)1.(6分)设随机变量其中未知,X1,X2, Xn是来自总体X的简单随机样本,求a的矩估计.2.(6分)已知总体X的分布律为,其中未知;总体X的一组样本值中有3个为0、4个为2、2个为3,求的最大似然估计.八、(8分)基于人一年内的死亡率为0.1%,并经过市场调研,某保险公司设计了一种年险:参加保险的人,只须在一年的第一天交付保险费10元,一旦死亡,家属可从保险公司领取2000元. 试问:(1)至少有多少人参加该保险才能保证保险公司亏本的概率为0?(提示:首先设参保人数,再设随机变量,表示出保险公司“不亏本”事件,然后利用中心极限定理计算概率)(2)若一年内有n人投保,则保险公司一年内所获利润、平均利润各是多少?(3)结合(1)、(2)的结果,简单谈谈你对保险及保险公司的看法.(本题约定:)答案:一、B D A C D二、1. 19/27; 2. 2; 3. N(1, 15) 或 ;独立; 4. 1.6; 5. H0 :=70,H0: 70;.三、(1)(2)Cov(X, Y)= E(XY) E(X)E(Y)=1*2*0.10.5*0.4=0(3)PX=1, Y=1=00.1=PX=1PY=1,所以X, Y不独立. 因为Cov(X,Y)=0,所以(X,Y)=0,故X, Y不相关.四、1.(1) (2)2. 六、(1) (2)T=maxT1,T2,T3(3) 五、 (1),当时, (2)七、1. ,令 ,得a的矩估计.2. 似然函数为 L()=( 2)3(1-)42 (1-)2=8 (1-)6令 d L() /d=27 (1-)5(4(1-) - 3)=0,0得的最大似然估计.八、设有n人参加保险,其中有X人在一年内死亡,则. 根据中心极限定理可知,. (1)不亏本:10n = 2000X,不亏本的概率为0,即P10n = 2000X= PX= n/200,.所以至少得有999人参加该保险.(2)利润:10n 2000X平均利润:10n 2000E(X)= 10n 2n=8n (3)
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