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人教版小学数学五年级下册因数与倍数错题分析（讲座稿）1、 因数与倍数【例1】什么叫自然数？【错答】非零自然数和0叫做整数【分析错因】产生错误的原因是对小学数学教科书中关于整数有关方面的论述不理解。教科书中是这样说的：“非零自然数和0都是整数。”整数包括非零自然数、0和负整数。虽然自然数和0都是整数，但整数不仅是自然数和0防止这类错误的说法要使学生理解教科书中为什么要这样叙述：“自然数和0都是整数”。严格要求按书中的叙述来回答，这样的回答是最科学的回答【正确解答】非零自然数和0都是整数，整数还包括今后要学的负整数。所以说自然数、0、负整数统称为整数【防错练习】1、（）和0，都是整数2、“0”不是（）数，但“0”是（）数3、在3、7、3.5、0、0.8、等数中，（）是自然数，（）是整数【例2】“0”是不是自然数的倍数【错答】“0”比任何自然数都小，所以，0不是非零自然数的倍数。任何自然数都比0大，因此，任何自然数都是0的倍数【分析错因】产生错误的原因是学生没有运用“因数与倍数的定义”来判断“0”是不是非零自然数的倍数。判断因数与倍数应根据定义来确定，而不能根据数的大小来作出结论。我们都知道0能作被除数但不能作除数。0除以任何自然数都得0，且没有余数，因此，我们可以判定0是任何自然数的倍数，因为0不能作除数，所以0不是任何自然数的因数，当然任何自然数也都不是0的倍数防止这类错误要使学生认识到判定任何一个数与另一个数的因数或倍数关系，都要根据因数或倍数的定义【正确解答】由整除定义知0能被任何一个数（0除外）整除，所以0是任何非零自然数的倍数；由于0不能作除数，所以0不是任何非零自然数的因数，任何非零自然数都不是0的倍数【防错练习】填空：1、“02=0”，所以0是2的（）数2、“0”不是任何自然数的（）数【例3】判断下面各题：1、 因数是有限的（）2、 倍数是无限的（）【错答】1、“”；2、“”【分析错因】产生错误的原因是学生对因数、倍数都是不能单独存在的概念不理解。我们应该认识到因数、倍数都是不能单独存在的，只能对某一个数而言。在这里，提及的“无限”和“有限”是指因数、倍数的个数，而不能指它本身。例如，我们说，“一个数的倍数的个数是无限的”，这就对了。又比如，“一个数的因数的个数是有限的”，这样说就对了【正确解答】1、“”；2、“”【防错练习】判断题：1、 一个数的因数是有限的（）2、 倍数的个数是无限的（）3、 一个数的倍数是无限的（）【例4】判断：4是因数，28是倍数（）【错答】“”【分析错因】产生错误的原因是学生不理解数学概念的叙述应是完整的叙述。“4是因数”，是谁的因数呢？“28是倍数”，28是谁的倍数呢？显然这样的叙述是不完整的小学数学教科书中是这样叙述因数与倍数的：“如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。”显然，因数与倍数是一对相互依存的概念，因此，必须联系在一起进行区别，且先有联系后有区别。比如，“4是28的因数”，“28是4的倍数”防止这类错误要使学生确切地理解数学概念，不能把两个相互依存的概念割裂开来。完整的相互依存的概念割裂开来，必然导致出错【正确解答】“”。4是28的因数，28是4的倍数【防错练习】填空：1、32是4的倍数，4是32的（）2、5是35的因数，35是5的（）判断题：1、30是倍数（）2、6是因数（）3、30是6的因数，6是30的因数（）【例5】判断：一个数的倍数一定大于它的因数（）【错答】“”【分析错因】产生错误的原因是学生研究问题时，只看一般现象，却忽视了特殊现象，这样往往出现片面看问题的错误研究这个问题时，可以举例进行分析、研究，比如：6的因数有1、2、3、6；6的倍数有6、12、18、24显然，从上例中可以看出，6是6的因数，也是6的倍数，所以说“一个数的倍数一定大于它的因数”是错的不妨再举一例：8的因数有1、2、4、8；8的倍数有8、16、24、32、40从这个例子也可以看出8是8的因数，又是8的倍数。从而说明“一个数的倍数一定大于它的因数“是错误的【正确解答】“”【防错练习】填空：1、 一个数的一倍数是它（）2、 一个数的倍数等于它的本身或（）的本身2、2,3,5的倍数的特征【例6】非负整数范围内最小的偶数是什么？【错答】最小的偶数是2【分析错因】回答这个问题时，由于没有理解题目指定的数的范围而出现错误。我们的小学数学教科书中指出过：“在讲因数与倍数时，我们所说的数，一般不包括0。”显然，这是说，不是在一切情况下，都只能指自然数。在初等数论（陈景润著）中讲到的“因数与倍数”中的数，指的是“正整数”、负整数和0”。可见，“因数与倍数”中的整数，可以扩大到非零自然数以外的范围内。本题中的“非负整数”，它的范围不仅包括正整数，还包括0由“是2的倍数的数叫做偶数”（“偶数”的定义）可知，2、4、6、8这些数称为偶数，0也可称为偶数，-2、-4也可称为偶数。因为它们同样是2的倍数。诚然，在讨论这个问题时，即讨论“最小的偶数时什么”时，在本题指定的“非负整数”范围内最小的偶数是0【正确解答】在非零自然数范围内，最小的偶数是2。在非负整数范围内最小的偶数是0【防错练习】填空：1、 在非负整数范围内，最小的偶数是（）2、 在非零自然数范围内，最小的偶数是（）3、 （）和（）都是整数【例7】“倍数”与“倍”有什么区别？【错答】“倍数”与“倍”没有区别。因为“倍数”与“倍”最后的余数都是0【分析错因】产生错误的原因是学生误认为余数都是0，“倍数”与“倍”就没有区别了整数a除以整数b（b0）得的商正好是整数而没有余数，我们就说a是b的倍数，或者说b是a的因数。数a除以数b（b0）没有余数时，叫做a是b的。或叫做b能除尽a显然，“倍数”和“倍”既有区别又有联系。它们的主要区别是：倍数特点是被除数和商都是整数，除数为非零自然数，且没有余数。“倍”的特点被除数、商和除数（除数不能为0），既可以是整数也可以是有限小数，只要没有余数就可以了它们之间的联系：倍数是倍的特殊情况。比如，8016=5，叫做80是16的倍数，16是80的因数。也叫做80是16的5倍。4.53=1.5叫做4.5是3的1.5倍，但是不能说4.5是3的倍数防止类似错误的措施是要使学生理解“倍数”与“倍”的定义【正确解答】“倍数”与“倍”有区别。它们的主要区别是：“倍数”是两个整数相除，得商为整数而没有小数；“倍”是指被除数、除数和商可以是整数，也可以是有限小数，没有余数。能整除的算式，当然也是能除尽的算式，但能除尽的算式不一定能整除【防错练习】在能整除的算式后面的括号里打上“”，不能整除的打“”：1、147（）2、2105（）3、708（）4、2.80.4（）4、质数和合数【例8】判断：1、 自然数中除了质数就是合数（）2、 所有奇数都是质数（）【错答】1、“”；2、“”【分析错因】产生错误的原因是学生对质数、合数、奇数的定义不理解，因而，不能运用它们的定义进行判断质数的定义是：“一个数只有1和它本身两个因数的数叫做质数（也叫素数）”。合数的定义是：“一个数除了1和它本身，还有别的因数的数，叫做合数”。根据这个定义来判断“1”，只有1本身是它唯一的因数，所以，1既不是质数也不是合数。根据这样的推理说：自然数中只有质数和合数是错误的“奇数”是以一个数是不是2的倍数来判断的。“质数”是以一个数只有1和它本身两个因数来判断的。显然这是两种不同界定的数。“1”是奇数，但它不是质数。所以说“所有奇数都是质数”这句话是错误的防止这类错误的措施要使学生理解质数、合数、奇数、偶数的定义，并能运用这些定义来判断这类具体题目的正误【正确解答】1、“”；2、“”【防错练习】填空：1、“2”是（）数，不是合数2、15,9,21是（）数，但不是质数3、自然数中包括质数、（）和（）【例9】判断：偶数都是合数，合数都是偶数（）【错答】“”【分析错因】产生错误的原因是学生不理解偶数的定义，不能用偶数的定义去判断是不是所有的偶数都是合数，特别是学生不会考虑一般情况下还有“特例”“是2的倍数叫做偶数”，但是2是偶数却不是合数，这就是一个特殊的例子。“9”、“15”不是偶数，但它们是合数防止这类错误的措施是要使学生认识到运用定义判断具体题目的正误，注意一般情况下是否有特殊的例子【正确解答】“”。偶数不都是合数，不是所有的合数都是偶数【防错练习】填空：1、“2”不是合数，是（）数2、“合数”可以是偶数，如（）等，也可以是奇数，如（）等【例10】判断：一个数的因数都是这个数的质因数（）【错答】“”【分析错因】产生错误的原因是学生混淆了“因数”与“质因数”的区别，误认为一个数的因数都是这个数的质因数两个数相乘或若干个数相乘所得的积，对于这个积来说。这两个数或若干个数是它的因数。比如34得12,3与4是12的因数。又例如562得60，那么5、6和2是60的因数。显然，因数和积是互相依存的数。如果一个数的因数是质数（素数），那么，这个因数叫做这个数的质因数。比如20=54，可以看出5和4都是20的因数，5是质数，所以，5是20的一个质因数。而4不是质数，是合数，所以4不是20的质因数。又比如30=235，可以看出2、3和5都是30的因数。2、3和5都是质数，所以，2、3和5都是30的质因数。概括地说，一个数的质数因数叫做这个数的质因数防止这类错误的措施是要使学生区别“因数”与“质因数”的不同【正确解答】“”，如果一个数的因数是质数，这个因数就叫做这个数的质因数【防错练习】填空：1、42=237，42是质因数是（）2、15的质因数是（）和（）3、一个数的因数是（），这个数就叫做这个数的质因数【例11】把40分解质因数【错答】40=254【分析错因】产生错误的原因是学生对“分解质因数”的意义不理解，另外判别一个数是否为质数（素数）掌握不好把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。比如42=237，不难看出42这个合数用三个质因数相乘可得到，即3、2和7是42的因数，且都是质数题中40=254，4是合数，不是质数，也就不是42的质因数。所以，题目的解答错了防止这类错误的主要措施是要使学生明确认识到在用短除法求解时，用的每一个因数必须是质数，除得商也必须是质数。得出一个合数的质因数连乘式后，再检查一下，看每个因数是否都是质数【正确解答】40=2225【防错练习】判断下列分解质因数是否正确，对的打“”，错的打“”1、24=2223（）2、36=334（）把下列各数分解质因数1、282、323、384、60【例12】5是否能分解质因数？【错答】5可以分解质因数，5=15【分析错因】产生错误的原因是学生不理解什么叫“分解质因数”，误认为“1”也是质数“把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫分解质因数。”从这里可以清楚地看出分解质因数的首要条件是“合数”，显然，质数是不能分解质因数。质数是只有1和它本身两个因数。其实“1”既不是质数也不是合数。所以，5是质数，是不能分解质因数的防止这类错误要让学生认识到质数不可以分解质因数【正确解答】5是质数，不能分解质因数【防错练习】填空：1、2,3,6,8,9这几个数中，能分解质因数的是（）2、13不能分解质因数，因为13是（）