资源描述
2005-2006-1线性代数期末考试试卷（A卷）一、单项选择（20分4分5）： 1 （）, () , () , () 2 设为同阶方阵，则（ ）成立（） , () , () , () 3 设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是的（ ） () 列向量组线性无关， （） 列向量组线性相关， （）行向量组线性无关， （） 行向量组线性相关4 向量线性无关，而线性相关，则（ ）。 () 必可由线性表出， （）必不可由线性表出， （）必可由线性表出， （）必不可由线性表出二次型，当满足（ ）时，是正定二次型()；（）；（）；（）二、填空题（20分4分）：6，则_ 7设为四阶方阵，若，则其伴随矩阵的行列式=_ 8若，当_时，2 9设，其中 ， 则_10设为正定矩阵，则 _三、计算行列式（14分）： 11 四、证明（16分8分2）：12设为阶方阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵。13设和为同阶正交矩阵，证明也为正交矩阵五、计算题（14分）： 14解矩阵方程。六、计算题（10分）： 15三阶实对称矩阵的特征值为，对应于特征值的特征向量为，求出相应于特征值的全部特征向量。 七、解答题(6分)： 16求曲线所围成的图形的面积。2006-2007-1线性代数期末考试试卷（A卷）一、单项选择（16分4分4）： 1以下结论正确的是（），（）若的行列式则； () 若则； () 若 为对称矩阵，则也是对称矩阵； () 对任意同阶的矩阵有；2. 设是阶可逆矩阵，是的伴随矩阵，则（ ）成立；（）； ()； ()； ()3. 初等矩阵（）；() 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（） 所对应的行列式的值都等于1；（） 相乘仍为初等矩阵； （） 相加仍为初等矩阵；4设为阶方阵，则以下结论（ ）成立；()若可逆，则矩阵对应于特征值的特征向量也是矩阵对应于特征值的特征向量；（）的特征向量即为方程的全部解；（）的特征向量的线性组合仍为特征向量；（）与有相同的特征向量；二、填空题（16分4分）： 5方程组有非零解，则_；6设，则_； 7元齐次线性方程组仅有零解的充要条件是_； 8设，则该向量组的秩为_；三、解答下列各题（18分9分2）： 9计算行列式，10解矩阵方程 四、计算题（10分）：11 求解齐次线性方程组五、证明题（20分10分2）： 12设为阶方阵，证明：的充要条件是；13设维单位坐标向量组可由向量组线性表示，证明线性无关；六、计算题（14分）：14求矩阵的秩；七、证明题(6分)：15设是阶实对称矩阵，证明可逆的充要条件是存在阶实矩阵，使得是正定矩阵。2006-2007-2级线性代数期末试卷(A)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 在下列构成6阶行列式展开式的各项中，取“”的有（ ） A. ; B. ; C. ; D. .2. 设为阶矩阵，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 若可逆，则3. 设矩阵经过初等行变换变为矩阵，则有（ ） A. B. C. D. 无法判定。4. 如果向量可由向量组线性表示，则下列结论中正确的是（ ） A. 存在一组不全为零的数使等式成立。 B. 存在一组全为零的数 使等式成立； C. 存在一组数 使等式成立； D. 对的线性表达式唯一。5. 已知三阶矩阵的特征值为则矩阵的特征值为（ ） A. ; B. ; C. ; D.二、填空题（每小题3分，共15分）6设 为行列式中元素的代数余子式，则 7设4阶方阵，则 8设线性方程组有非零解，则 9已知向量组的秩为2，则 10设阶方阵的特征值为，则（为常数）的特征值为 三、计算阶行列式（本题14分）11. 四、证明题（每小题8分，共16分）12已知对于阶方阵，存在自然数，使得，试证明矩阵可逆，并写出其逆矩阵的表达式。13. 设向量组和向量组的秩分别为和，试证明：若可由线性表示，则。五、解矩阵方程（14分）14设，求使.六、解答题（每小题10分，共20分）15. 设， 求.16. 设，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量表示成最大无关组的线性组合。七、解答题（6分）17. 设4阶方阵满足，且，求伴随矩阵的一个特征值。2007-2008-2线性代数期末试卷(A)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.为阶矩阵，满足，则必有（ ）A. 或 ; B. ;C. 或 ; D. .2. 关于矩阵下列说法正确的是（ ）A. 若可逆，则与任何矩阵可交换， B. 若可逆，则也可逆；C. 若可逆，也可逆，则也可逆；D. 若可逆，也可逆，则不一定可逆；3. 已知，则为（ ）A. B. C. D. 。4. 已知线性无关，则（ ）A. 必线性无关；B. 若为奇数，则必有线性相关；C. 若为偶数，则必有线性相关；D. 以上都不对。5. 实二次型，当（）时，其秩为2A. ; B. ; C. ; D. .二、填空题（每小题3分，共15分）6设为矩阵，为矩阵，且1，则 7设矩阵，则 8矩阵的秩 9若线性无关，而线性相关，则向量组的最大无关组为 10设为实对称矩阵，与分别属于的相异特征值为的特征向量，则 三、计算题（每小题10分，共50分）11. 计算行列式12解矩阵方程,其中。13. 求线性方程组的通解。14设矩阵的秩为2，求。15. 取何值时，向量组线性无关。.四、解答题（14分）16. 已知二次型，求1二次型对应的对称矩阵，2求正交变换将二次型化成标准形，3问该二次型是否正定。五、证明题（6分）17. 设是阶方阵，已知，可逆，且，求证：可逆，并求出的表达式。2007-2008-2年线性代数期末试卷(B)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.行列式（ ） A. ; B. ;C. ; D. .2. 设阶方阵满足关系式，其中是阶单位阵，则必有（ ）A. ； B. ； C. ； D. .3. 对于齐次线性方程组，以下说法正确的是（ ）A. 若有解，则必有；B. 若无解，则必有；C. 若有非零解，则必有；D. 若唯有零解，则必有。4. 已知 ，则该向量组得秩为（ ）A. 2； B. 1； C. 4； D. 3。5. 实二次型秩为2，则（）.A. ; B. ; C. ; D. .二、填空题（每小题3分，共15分）6设为矩阵，且2，则 ；7设矩阵，则 8设矩阵，则齐次线性方程组的自由向量的个数为 个；9矩阵，则的秩为 10实二次型正定，则应满足不等式 三、计算题（每小题10分，共50分）11. 计算行列式12解矩阵方程13. 求线性方程组的通解。14已知向量组，求出它的一个最大无关组。15.利用施密特正交化向量组。四、解答题（14分）16. 已知方阵，求五、证明题（6分）17. 设方阵有一个特征值为，证明：方阵有一个特征值为4。2008-2009-1年秋线性代数期末试卷(A)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设中有个以上元素为零，则的值为（ ）A.大于零; B. 等于零; C. 小于零; D. 不能确定.2.设阶方阵有一个特征值为零，则下列说法正确的是（ ）A. B. ； C.可逆； D. 的列向量组线性无关.3. 设为阶方阵，若与阶单位矩阵等价，则方程组有（ ） A. 无解； B. 有唯一解； C. 有无穷多解； D. 解的情况不能确定。4. 设为三阶方阵，若可逆，则（ ）A. ； B. ； C. ； D. 。5. 同阶方阵与相似的充要条件是（ ） A. 存在两个可逆矩阵与，使得; B. 存在可逆矩阵，使得; C. 存在可逆矩阵，使得; D. 。二、填空题（每小题3分，共15分）6行列式中的代数余子式的值等于 。7若是可逆方阵的一个特征值，则方阵必有一个特征值为 。8当 时，下列向量组线性相关。9设是三阶方阵，是的伴随矩阵，已知，则= 。10二次型的秩等于 。 三、计算题（每小题10分，共50分）11. 若，求。12设矩阵，矩阵满足，求。13. 问取何值时，向量可由向量组，（1）唯一的线性表示， （2）无穷多的线性表示， （3）不能线性表示。14求线性方程组的通解。15.已知 求。四、解答题（10分）16. 已知二次型的秩为2，求参数，并求正交变换，将该二次型标准化。五、证明题（每小题5分，共10分）17. 设是非齐次线性方程组的一个特解，为对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：向量组线性无关。18. 设为阶方阵，且满足，证明不可逆。2008-2009-1线性代数期末试卷(B)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设为阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（ ）A.; B. ; C.; D. .2.设为3阶方阵，且，则（ ）A. 4 B. -4； C.16； D. -16.3. 已知为阶方阵，且满足则必有（ ）A. 不可逆； B. 可逆； C. ； D. 。4. 设均为阶方阵，若，则必有（ ）A. 与相似； B. 与等价； C. 与合同； D. 。5. 二次型的秩为（ ） A. 0; B. 1; C. 2; D. 3。二、填空题（每小题3分，共15分）6若三阶矩阵的特征值为0，1，2，则值等于 。7设，则= 。8若向量组，则该向量组必 。9设是阶方阵，是的伴随矩阵，已知，则的特征值为 。10二次型正定的充要条件是 。 三、计算题（每小题10分，共50分）11. 计算行列式。12已知，求及。13. 问取何值时，方程组（1）有唯一解， （2）有无穷多解， （3）无解。14已知齐次线性方程组，求该方程组的通解。15.已知，求出它的一个最大无关组。四、解答题（10分）16. 已知，求。五、证明题（每小题5分，共10分）17.设有向量组，证明向量组线性相关。18. 证明：二次型在时的最大值为的最大特征值，最小值为的最小特征值。2008-2009-2线性代数期末试卷(A)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1设A，B都是n阶方阵，且|A|=3，|B|=-1,则=( ).A. -3; B. ; C. ; D. 3. 2. 设为阶可逆矩阵,的第二行乘以2为矩阵，则的( )为.A第二行乘以； B. 第二列乘以2；C 第二行乘以； D. 第二列乘以.3. 若都是三阶可逆矩阵，则下列结论不一定正确的是 ( ). A. ; B. ; C. ; D. .4 设是阶方阵，则可能不成立的是( ).A. ; B. ; C. ; D. .5. 的伴随矩阵为，.A. 1； B. 2； C. 3； D. 4. 二、填空题（每小题3分，共15分）6 ;7设矩阵，若齐次线性方程组有非零解，则数 ;8矩阵的逆矩阵为 ；9设均为三阶矩阵，,则 ;10设是4阶矩阵，矩阵的特征值是, 则矩阵的全部特征值是 . 三、计算题（每小题10分，共50分）11. 计算行列式12设3阶方阵满足方程 ，试求矩阵以及行列式，其中.13. 求线性方程组的通解。14已知向量组，求出它的一个最大无关组。15. 设为三阶矩阵，有三个不同特征值依次是属于特征值的特征向量，令, 若，求的特征值并计算行列式.四、解答题（10分）16. 设二次型,其中二次型矩阵的特征值之和为1，特征值之积为-12，(1) 求的值；(2)求正交变换，化二次型为标准形。五、证明题（每小题5分，共10分）17. 已知是阶正定矩阵，是阶反对称矩阵，即，判定矩阵是否可逆，说明理由.18. 设为维列向量，且，矩阵，证明：行列式。2008-2009-2线性代数期末试卷(B)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1设为正交矩阵，且，则( ).A. ; B.; C. ; D. 2. 若都是阶方阵，且, ，则必有( ). A. 或； B. ； C. ； D. 或.3. 是非齐次线性方程组有无穷多解的( ). A. 充分条件; B. 必要条件; C. 既非充分条件又非必要条件; D. 不能确定.4是阶可逆矩阵，则与必有相同特征值的矩阵是( ). A. ; B. ; C.; D. .5. 设向量组线性无关,线性相关,则以下命题中，不一定成立的是( ). A. 不能被线性表示； B.不能被线性表示；C. 能被线性表示； D.线性相关.二、填空题（每小题3分，共15分）6行列式=_ _;7设,，则AB=_ ;8设是阶方阵的伴随矩阵，行列式，则=_；9设A是43矩阵，若，则=_；10设方阵相似于对角矩阵, 则_ 三、计算题（每小题10分，共50分）11. 求行列式的值。12已知为阶正交矩阵，且。（1）求行列式的值；（2）求行列式的值。13. 设非齐次线性方程组, 问为何值时, 系数矩阵的秩为2？并求此时方程组的通解14已知，其中，求矩阵。15.设矩阵，的秩为3，求。四、解答题（10分）16. 设实对称矩阵，求正交矩阵，使为对角矩阵，并写出对角阵五、证明题（每小题5分，共10分）17. 设为的非零解，为的解，证明与线性无关。18. 已知与都是阶正定矩阵，判定是否为正定矩阵，说明理由.参 考 答 案2005级线性代数期末考试参考答案（A卷）一、单项选择（20分4分5）： 1、 2、 3、 4、 5、二、填空题（20分4分）：6、3，7、，8、任意值，9、，10、三、计算行列式（14分）： 11 7 7四、证明（16分8分2）：12、证明： 2 3 也是对称矩阵。 313、证明： 2 3 是正交矩阵。 3五、计算题（14分）： 14解：设，则 4 5 5六、计算题（10分）： 15解：设相应与特征值2的特征向量为 2 因为实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交， 2 所以 得到基础解系 3 所以相应于2的全部特征向量为 3七、解答题(6分)： 16解：设则有 ，的特征值为 2 对应于的特征向量可以计算得：单位化得 1 对应于的特征向量可以计算得：单位化得 1作正交变化得到，由正交变化得刚性知面积为。22005级线性代数期末考试参考答案（A卷）一、单项选择（16分4分4）： 1、C 2、B 3、 4、A 二、填空题（16分4分）：5、; 6、; 7、; 8、2; 三、计算行列式（18分9分2）： 9解： 5 9 10解：设，则 3 8 9四、计算题（10分）：11、解： 5 基础解系为： 8通解为： 10五、证明题（20分10分2）： 12证明：“充分性” 设， 5“必要性”设则 因此 8即： 10 13. 证明: 3 6 9 线性无关 10六、计算题（14分）： 14解： 6 12 14七、解答题(6分)： 15证明：“充分性”假设不可逆，即，则存在实维非零向量，使得， 于是对任意的实矩阵， 从而不是正定矩阵，与题设矛盾 因此有即可逆。 3“必要性”设则对任意的实维非零向量，使得，所以是正定矩阵令，则有 正定 62005级线性代数期末试卷(A)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. A ; 2. D; 3. B; 4. C; 5. B 二、填空题（每小题3分，共15分）6 -1; 7 ; 8 ;93; 10 三、计算阶行列式（本题14分）11解: 4 8 12 14四、证明题（每小题8分，共16分）12证：由及 4知 6 可逆，且有 813. 证：设向量组的一个最大无关组为：，向量组A的一个最大无关组为： 2由可由线性表示，可由线性表示，可由线性表示 4可得 6即 8五、解矩阵方程（14分）14解: 2 8 10 且可逆 14六、解答题（每小题10分，共20分）15.解： 16. 解： 2 4 向量组的秩为2，一个最大无关组 6 8 10七、解答题（6分）17. 解：在等式两边取行列式，得 而 又 2 即 有一个特征值 4 可逆 从而有一个特征值 62007-2008-2线性代数期末试卷(A)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. C; 2. B; 3. D; 4. C; 5. B二、填空题（每小题3分，共15分）6 8 ; 7; 83 ; 9 ; 10 -3 三、计算题（每小题10分，共50分）11. 解： . .(5分) .(8分) 27.(10分)12 解：由于，得，即.(2分） .（4分）由初等变换求逆可得（注：用其它方法也可以）.（8分） .（10分）13. 解：对其增广矩阵作初等变换可得： .（5分） .（6分）取为自由向量，原方程组可化为： （7分）所以方程组的通解为： 其中为任意常数。.（10分）14解：对作初等变换（7分） .（10分）15.解：要使得向量组线性无关，只要其行列式不等于零即可，3分） （8分）所以当时，向量组线性无关。.（10分）注：用初等变化求秩也可以。四、解答题（14分）16. 解：1. 二次型对应的对称矩阵为（3分）2 对应的特征值为： （7分） 当时，有特征向量（8分） 当时，有特征向量 （10分） 显然可知正交，所以所求的正交变换为 其中，得到的标准形为 .（12分） 3因为特征值均为正，所以该二次型为正定二次型. （14分）五、证明题（6分）17. 证明： .（3分） 因此有： .（5分） ，所以可逆。 而且有 .（6分）2007-2008-2线性代数期末试卷(B)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. A; 2. D; 3. D; 4. D; 5. B二、填空题（每小题3分，共15分）6 32; 7; 81；92 ; 10.三、计算题（每小题10分，共50分）11. 解： 5分 9分 10分12解： 2分 7分 10分13. 解：对其增广矩阵作初等变换可得： . 5分 .7分取为自由向量，原方程组可化为： 9分所以方程组的通解为： 其中为任意常数。.10分14解：由于.6分因此该向量组的秩为2，它的一个最大无关组的个数为2。.8分由于线性无关，所以是它的一个最大无关组。10分15.解：先将正交化， .7分再将其单位化可得10分四、解答题（14分）16.解：首先求的特征值，由.5分而后求对应的特征向量，当时，对应的特征向量为.7分当时，对应的特征向量为.9分当时，对应的特征向量为.11分令,则有.12分所以 14分五、证明题（6分）17.证明：因为有一个特征值为2，假设为其对应的特征向量，则有 等式两边同乘以,则有3分 因此 5分 有特征值的定义可得，方阵有一个特征值为4.6分2008年秋线性代数期末试卷(A)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. B; 2. A; 3. B; 4. C; 5. B; 二、填空题（每小题3分，共15分）6 a1a2a3; 7 1/2 ; 8 10; 9 -16/27; 10 3 三、计算题（每小题10分，共50分）11. 解：3分 8分 10分12解：3分 5分 所以 8分 所以10分注：只要方法正确可给5分。13.解：原问题可转化为非齐次线性方程组的求解问题，由题意可得5分1) 当时，方程组有唯一解，即可由向量组唯一的线性表示。2) 当时，方程组有无穷多解，即可由向量组线性表示，且表示法有无穷多。9分3) 当时，方程组无解，即不能由向量组线性表示10分14解：增广矩阵5分8分所以方程组的通解为 10分15.解：6分8分所以 10分注：只要方法正确可给5分。四、解答题（10分）16. 解：二次型对应的对称矩阵2分由题意可得4分，解得6分当时，解得到时对应的特征向量当时，解得到时对应的特征向量当时，解得到时对应的特征向量令，在正交变换下可将二次型化成标准形 10分五、证明题（每小题5分，共10分）17. 证明：由题意可得在等式的两边同时乘以矩阵可得，由此得，所以=0，3分因此上式可以写成，由于为对应的齐次线性方程组的一个基础解系，所以线性无关，所以4分所以向量组线性无关。5分18.证明：2分3分4分所以有，因此有不可逆。5分2008-2009-1线性代数期末试卷(B)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. C; 2. D; 3. B; 4. B; 5. D二、填空题（每小题3分，共15分）6 -14; 7（5，3，5，3）; 8线性无关；95; 10t1 三、计算题（每小题10分，共50分）11. 解：6分 8分10分12解： 5分7分10分13.解：7分1 当时，方程组有无穷多解8分2 当时，方程组无解9分3 当且时，方程组有唯一解10分14解：5分7分所以方程组的一个基础解系为：9分方程组的通解为10分15. 解：7分因为，所以该向量组的最大无关组的向量个数为2，其中或或或均为该向量组的最大无关组。10分四、解答题（10分）16. 解（二重）3 当时，解得的特征向量为5分当时，解得的特征向量为6分令，则有8分所以10分五、证明题（每小题5分，共10分）17.证明：令1分由于3分 所以存在一组不全为零的实数使得成立， 由量组线性相关的定义知道向量组线性相关。5分注：方法不唯一。18. 证明：存在正交变换使得，其中为的特征值，记3分由于为正交变换，所以时，所以5分2008-2009-2线性代数期末试卷参考答案(A)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. A; 2. D; 3. D; 4. A; 5. A二、填空题（每小题3分，共15分）6; 7 2 ; 8；996 ; 10-64, 32, -16, 8 . 三、计算题（每小题10分，共50分）11. 解:2 1012解： 3分可逆。 5分 8分 10分13. 解： 3分 7分所以 10分14解： 3分 8分或或或均是的最大无关组。 10分15.解： 3分 6分 ， ， 及 A的特征值为0，1，-1 8分的特征值为-3，-1，-5 10分四、解答题（10分）16. 解：，由题意可得： 4分 6分当时，对应的特征向量为，8分当时，对应的特征向量为， 9分， 10分五、证明题（每小题5分，共10分）17. 证明：正定， 1分 2分 3分 即：正定，所以可逆。 5分18. 证明：因为，特征值的可能取值为。 1分的对角线元素之和为，(或非正定) 4分所以是的一个特征值，故行列式 5分2008-2009-2线性代数期末试卷参考答案(B)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. B; 2. D; 3. B; 4. C; 5. B二、填空题（每小题3分，共15分）6 0; 7；8 ；9 2 ；10 5. 三、计算题（每小题10分，共50分）11. 解： 5分 8分 10分12解：(1) 4分 5分（2） 8分 10分13. 解： 4分 要使得系数矩阵的秩为2，必须有 6分 此时方程有无穷多解 8分 10分14解： 1分 4分 8分所以 10分15.解： 3分 8分 10分四、解答题（10分）16. 解：（二重） 4分当时，解得正交化得 6分当时，解得正交化得 8分令 10分五、证明题（每小题5分，共10分）17. 证明： 2分 4分 线性无关 5分18. 证明： 所以对称 2分 3分 因为正定，所以也正定，也必正定即是正定矩阵 5分
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