解直角三角形的应用测试题带答案.doc

解直角三角形的应用测试题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到PB的位置，测得PBC=(BC为水平线)，测角仪BD的高度为1米，则旗杆PA的高度为()A. 11-sin B. 11+sin C. 11-cos D. 11+cos2. 如图，长4m的楼梯AB的倾斜角ABD为60，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角ACD为45，则调整后的楼梯AC的长为()A. 23m B. 26m C. (23-2)m D. (26-2)m 2 3 43. 楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要()A. (4+4sin)米2 B. 4cos米2 C. (4+4tan)米2 D. (4+4tan)米24. 上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处(如图).从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45和北偏东15方向，那么在B处船与小岛M的距离为()A. 20海里B. 202海里C. 153海里D. 203海里5. 如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长m为()A. hsinB. htanC. hcosD. h-sin6. 如图所示，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30，再向电视塔方向前进120米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60，则这个电视塔的高度AB(单位：米)为()A. 603B. 61C. 603+1D. 1216 7 87. 某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码头出发，第一艘快艇沿北偏西70方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西20方向航行50千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是()A. 南偏东25，502千米B. 北偏西25，502千米C. 南偏东70，100千米D. 北偏西20，100千米8. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为()A. 603nmileB. 602nmile C. 303nmileD. 302nmile9. 如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为()A. 26米B. 28米C. 30米D. 46米 9 10 1110. 如图是某水库大坝的横截面示意图，已知AD/BC，且AD、BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度i=1：0.6，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度i=3：4，则大坝底端增加的长度CF是()米A. 7B. 11C. 13D. 20二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11. 为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=123米，B=60，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE=3133，则CE的长为_ 米.12. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30，测得底部C的俯角为60，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为_ 米.(精确到1米，参考数据：31.73) 12 14 1513. 小明沿着坡度i为1：3的直路向上走了50m，则小明沿垂直方向升高了_ m.14. 如图，长4m的楼梯AB的倾斜角ABD为60，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角ACD为45，则调整后楼梯AC长为_ 米.15. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34的斜坡，从A滑行至B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了_米.(参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67)16. 如图，为测量某栋楼房AB的高度，在C点测得A点的仰角为30，朝楼房AB方向前进10米到达点D，再次测得A点的仰角为60，则此楼房的高度为_ 米(结果保留根号) 16 17 1817. 如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30、45，如果此时热气球C处的高度为200米，点A、B、C在同一直线上，则AB两点间的距离是_米(结果保留根号)18. 如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得BC长为30m，CD长为205m，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为_m.19. 如图，某堤坝的斜坡AB的斜角是，坡度是1：3，则=_20. 某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图，无人飞机从A处飞行至B处需12秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75，B处的仰角为30.已知无人飞机的飞行速度为3米/秒，则这架无人飞机的飞行高度为(结果保留根号) _ 米.三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21. 如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30，AB=14米.求居民楼的高度(精确到0.1米，参考数据：31.73)22. 某兴趣小组借助无人飞机航拍校园.如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75，B处的仰角为30.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)23. 如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18，教学楼底部B的俯角为20，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m(1)求BCD的度数(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m，参考数据：tan200.36，tan180.32)24. 如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角DCE=30，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45，其中点A、C、E在同一直线上(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25. 如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30，测得大楼顶端A的仰角为45(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离(结果精确到0.1m)(参考数据：21.414，31.732)26. 如图，某湖中有一孤立的小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PQ通往小岛，某同学在观光道AB上测得如下数据：AB=100米，PAB=45，PBA=30.请求出小桥PQ的长.(21.414,31.732，结果精确到0.1米)答案和解析【答案】1. A2. B3. D4. B5. A6. C7. B8. B9. D10. C11. 812. 20813. 2514. 2615. 28016. 5317. 200(3+1)18. 13019. 3020. 93+921. 解：设每层楼高为x米，由题意得：MC=MC-CC=2.5-1.5=1米，DC=5x+1，EC=4x+1，在RtDCA中，DAC=60，CA=DCtan60=33(5x+1)，在RtECB中，EBC=30，CB=ECtan30=3(4x+1)，AB=CB-CA=AB，3(4x+1)-33(5x+1)=14，解得：x3.17，则居民楼高为53.17+2.518.4米22. 解：如图，作ADBC，BH水平线，由题意得：ACH=75，BCH=30，AB/CH，ABC=30，ACB=45，AB=32m，AD=CD=16m，BD=ABcos30=163m，BC=CD+BD=(163+16)m，则BH=BCsin30=(83+8)m23. 解：(1)过点C作CEBD，则有DCE=18，BCE=20，BCD=DCE+BCE=18+20=38；(2)由题意得：CE=AB=30m，在RtCBE中，BE=CEtan2010.80m，在RtCDE中，DE=CDtan189.60m，教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.6020.4m，则教学楼的高约为20.4m24. 解：(1)在RtDCE中，DC=4米，DCE=30，DEC=90，DE=12DC=2米；(2)过D作DFAB，交AB于点F，BFD=90，BDF=45，BFD=45，即BFD为等腰直角三角形，设BF=DF=x米，四边形DEAF为矩形，AF=DE=2米，即AB=(x+2)米，在RtABC中，ABC=30，BC=ABcos30=x+232=2x+43=3(2x+4)3米，BD=2BF=2x米，DC=4米，DCE=30，ACB=60，DCB=90，在RtBCD中，根据勾股定理得：2x2=(2x+4)23+16，解得：x=4+43，则AB=(6+43)米25. 解：如图，过点D作DFAB于点F，过点C作CHDF于点H则DE=BF=CH=10m，在直角ADF中，AF=80m-10m=70m，ADF=45，DF=AF=70m在直角CDE中，DE=10m，DCE=30，CE=DEtan30=1033=103(m)，BC=BE-CE=70-10370-17.3252.7(m)答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m26. 解：设PQ=x米，在直角PAQ中，tanPAQ=xAQ，AQ=xtan45=x，在直角PBQ中，tanPBQ=xBQ，BQ=xtan30=3x，AB=100米，x+3x=100，解得：x=503-5036.6(米)答：小桥PQ的长度约是36.6米【解析】1. 解：设PA=PB=PB=x， 在RTPCB中，x-1x=sin，x-1=xsin，(1-sin)x=1，x=11-sin故选：A设PA=PB=PB=x，在RTPCB中，根据，列出方程即可解决问题本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型2. 解：在RtABD中，sinABD=ADAB，AD=4sin60=23(m)，在RtACD中，sinACD=ADAC，AC=23sin45=26(m)故选B先在RtABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在RtACD中利用正弦的定义计算AC即可本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式.把坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡度i与坡角之间的关系为：i=tan3. 解：在RtABC中，BC=ACtan=4tan(米)，AC+BC=4+4tan(米)，地毯的面积至少需要1(4+4tan)=4+4tan(米2)；故选：D由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键4. 解：如图，过点B作BNAM于点N由题意得，AB=4012=20海里，ABM=105作BNAM于点N在直角三角形ABN中，BN=ABsin45=102在直角BNM中，MBN=60，则M=30，所以BM=2BN=202(海里)故选B过点B作BNAM于点N.根据三角函数求BN的长，从而求BM的长解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线5. 解：sina=hm，m=hsina故选A根据三角函数的定义即可求解本题考查了三角函数的定义，理解定义是关键6. 【分析】根据题意求出CE的长，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质求出AE的长，根据正弦的定义计算即可本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解仰角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键【解答】解：由题意得，CE=DF=120m，EAC=AEG-ACE=30，EAC=ECA，AE=DF=120m，AG=AEsinAEG=603m，AB=AG+GB=(603+1)m故选：C7. 解：第一艘快艇沿北偏西70方向，第二艘快艇沿南偏西20方向，BOA=90，BO=AO=50km，AB=502km，B=OAB=45，第二艘快艇沿南偏西20方向，1=CAO=20，2=45-20=25，第二艘快艇航行的方向和距离分别是：北偏西25，502千米故选：B根据题意得出AO=BO以及BOA=90，进而得出第二艘快艇航行的方向和距离此题主要考查了方向角以及勾股定理，正确把握方向角的定义是解题关键8. 解：如图作PEAB于E在RtPAE中，PAE=45，PA=60nmile，PE=AE=2260=302nmile，在RtPBE中，B=30，PB=2PE=602nmile，故选：B如图作PEAB于E.在RtPAE中，求出PE，在RtPBE中，根据PB=2PE即可解决问题本题考查方向角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识.解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线9. 解：坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，AE=1.5BE=18米，BC=10米，AD=2AE+BC=218+10=46米，故选：D先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题10. 解：过D作DGBC于G，EHBC于H，GH=DE=2，DG=EH=15，背水坡CD的坡度i=1：0.6，背水坡EF的坡度i=3：4，CG=9，HF=20，CF=GH+HF-CG=13米，故选C过D作DGBC于G，EHBC于H，解直角三角形即可得到结论本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般11. 解：分别过A、D作AFBC，DGBC，垂点分别为F、G，如图所示在RtABF中，AB=12米，B=60，sinB=AFAB，AF=1232=63，DG=63在RtDGC中，CD=123，DG=63米，GC=CD2-DG2=18在RtDEG中，tanE=3133，63GE=3133，GE=26，CE=GE-CG=26-18=8即CE的长为8米故答案为8分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G.在RtABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；在RtCDG中，由勾股定理求CG的长，在RtDEG中，根据正切函数定义得到GE的长；根据CE=GE-CG即可求解本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，勾股定理.作辅助线构造直角三角形是解答此类题的一般思路12. 解：由题意可得：tan30=BDAD=BD90=33，解得：BD=303，tan60=DCAD=DC90=3，解得：DC=903，故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=1203208(m)，故答案为：208分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键13. 解：如图，过点B作BEAC于点E， 坡度：i=1：3，tanA=1：3=33，A=30，AB=50m，BE=12AB=25(m)他升高了25m故答案为：25首先根据题意画出图形，由坡度为1：3，可求得坡角A=30，又由小明沿着坡度为1：3的山坡向上走了50m，根据直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案此题考查了坡度坡角问题.此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用14. 解：在RtABD中，sinABD=ADAB，AD=4sin60=23(m)，在RtACD中，sinACD=ADAC，AC=23sin45=26(m)故答案是：26先在RtABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在RtACD中利用正弦的定义计算AC即可本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不大，注意细心运算即可15. 解：如图在RtABC中，AC=ABsin34=5000.56280m，这名滑雪运动员的高度下降了280m故答案为280如图在RtABC中，AC=ABsin34=5000.56280m，可知这名滑雪运动员的高度下降了280m本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型16. 解：在直角三角形ADB中，D=30，ABBD=tan30，BD=ABtan30=3AB，在直角三角形ABC中，ACB=60，BC=ABtan60=33AB，CD=10，CD=BD-BC=3AB-33AB=10，解得：AB=53故答案为：53首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=BD-BC=10构造方程关系式，进而可解，即可求出答案本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形17. 解：从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30、45，BCD=90-45=45，ACD=90-30=60，CDAB，CD=200m，BCD是等腰直角三角形，BD=CD=200m，在RtACD中，CD=200m，ACD=60，AD=CDtan60=2003=2003m，AB=AD+BD=2003+200=200(3+1)m故答案为：200(3+1)先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30、45可求出BCD与ACD的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据AB=AD+BD即可得出结论本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键18. 解：作BEAD于E，CFAD于F，斜坡CD的坡比为1：2，即CFDF=12，DF=2CF，又CD=205m，CF=20m，DF=40m，由题意得，四边形BEFC是矩形，BE=CF=20m，EF=BC=30m，斜坡AB的坡比为1：3，BEAE=13，即AE=3BE=60m，AD=AE+EF+DF=130m，故答案为：130m作BEAD于E，CFAD于F，根据坡度的概念分别求出AE、DF，结合图形计算即可本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键，掌握矩形的判定和性质的应用19. 解：tan=1：3，则=30故答案是：30根据坡度就是坡角的正切值即可求解本题主要考查了坡度的定义，理解坡度和坡角的关系是解题的关键20. 解：如图，作ADBC，BH水平线，由题意得：ACH=75，BCH=30，AB/CH，ABC=30，ACB=45，AB=312=36m，AD=CD=18m，BD=ABcos30=183m，BC=CD+BD=(183+18)m，BH=BCsin30=(93+9)m故答案为：93+9作ADBC，BH水平线，根据题意确定出ABC与ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键21. 设每层楼高为x米，由MC-CC求出MC的长，进而表示出DC与EC的长，在直角三角形DCA中，利用锐角三角函数定义表示出CA，同理表示出CB，由CB-CA求出AB的长即可此题属于解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键22. 如图，作ADBC，BH水平线，根据题意确定出ABC与ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键23. (1)过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；(2)在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键24. (1)在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；(2)过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长此题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键25. 如图，过点D作DFAB于点F，过点C作CHDF于点H.通过解直角AFD得到DF的长度；通过解直角DCE得到CE的长度，则BC=BE-CE本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题.要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形26. 设PQ=x米，在直角PAQ和直角PBQ中分别利用x表示出AQ和BQ的长，根据AB=AQ+BQ，即可列方程求得x的值本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般