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微积分经济类考研基础习题第一章 函数与极限一、填空题1.设，则的定义域是_，=_，_.2. 的定义域是_，值域是_.3.若 ，则_，_.4.若，则_.5.设，则_.6. _.7. _.8.已知，则_，_.9._.10. _.11. 如果时，要无穷小量与等价，应等于_.12.设，则处处连续的充分必要条件是_.13.，则_；若无间断点，则=_.14.函数，当_ 时，函数连续.15.设有有限极限值，则=_，_.16.已知，则=_，=_.二、选择题1.区间, 表示不等式（ ）.（A） （B） （C） （D） 2.若,则 =（ ）.（A） （B） （C） （D）3.函数 是（ ）.（A）偶函数 （B）奇函数 （C）非奇非偶函数 （D）既是奇函数又是偶函数4.函数与其反函数的图形对称于直线（ ）.（A） （B） （C） （D）5.函数的反函数是（ ）.（A） （B） （C） （D）6.函数是周期函数，它的最小正周期是（ ）.（A） （B） （C） （D）7.若数列x有极限,则在的邻域之外，数列中的点（ ）.（A）必不存在 （B）至多只有有限多个（C）必定有无穷多个 （D）可以有有限个，也可以有无限多个 8.若数列在（,）邻域内有无穷多个数列的点，则（ ），（其中为某一取定的正数）.（A）数列必有极限，但不一定等于 （B）数列极限存在且一定等于（C）数列的极限不一定存在 （D）数列一定不存在极限9.数列0，（ ）.（A）以0为极限 （B）以1为极限 （C）以为极限 （D）不存在极限10.极限定义中与的关系是（ ）.（A）先给定后唯一确定 （B）先确定后确定，但的值不唯一（C）先确定后给定 （D）与无关11.任意给定，总存在着,当时，,则（ ）.（A） （B）（C） （D）12.若函数在某点极限存在，则（ ）.（A）在的函数值必存在且等于极限值（B）在的函数值必存在，但不一定等于极限值（C）在的函数值可以不存在 （D）如果存在则必等于极限值13.如果与存在，则（ ）.（A）存在且（B）存在但不一定有（C）不一定存在 （D）一定不存在14.无穷小量是（ ）.（A）比0稍大一点的一个数 （B）一个很小很小的数（C）以0为极限的一个变量 （D）0数15.无穷大量与有界量的关系是（ ）.（A）无穷大量可能是有界量 （B）无穷大量一定不是有界量（C）有界量可能是无穷大量 （D）不是有界量就一定是无穷大量16.指出下列函数中当时（ ）为无穷大量.（A） （B） （C） （D）17.若，则（ ）.（A）当为任意函数时，才有成立（B）仅当时，才有成立（C）当为有界时，有成立（D）仅当为常数时，才能使成立18.设及都不存在，则（ ）.（A）及一定都不存在（B）及一定都存在（C）及中恰有一个存在，而另一个不存在（D）及有可能都存在19.（ ）.（A）（B）（C） （D）极限不存在20.的值为（ ）.（A）1 （B） （C）不存在 （D）021.（ ）.（A） （B）不存在 （C）1 （D）022.（ ）.（A） （B） （C）0 （D）23.（ ）.（A） （B） （C）0 （D）24.无穷多个无穷小量之和（ ）.（A）必是无穷小量 （B）必是无穷大量（C）必是有界量 （D）是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量25.两个无穷小量与之积仍是无穷小量，且与或相比（ ）.（A）是高阶无穷小 （B）是同阶无穷小（C）可能是高阶无穷小，也可能是同阶无穷小 （D）与阶数较高的那个同阶26.设，要使在处连续，则（ ）.（A）0 （B）1（C）1/3 （D）327.点是函数的（ ）.（A）连续点 （B）第一类非可去间断点（C）可去间断点 （D）第二类间断点28.方程至少有一个根的区间是（ ）.（A） （B） （C） （D） 29.设，则是函数的（ ）.（A）可去间断点 （B）无穷间断点（C）连续点 （D）跳跃间断点 30.，如果在处连续，那么（ ）.（A）0 （B）2（C）1/2 （D）1三、解答题1.若,证明： 2.根据数列极限的定义证明：（1）； （2）.3.根据函数极限的定义证明：（1）； （2）.4.求当时，的左、右极限，并说明它们在时的极限是否存在.5.设，求.6.求下列极限:（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6） ；（7）； （8）.7.8.9.求.10.求下列函数的间断点，并判断间断点的类型：（1）； （2）.11.设为连续函数，试确定.四、证明题1 方程，其中，至少有一个正根，并且它不超过.2设在闭区间上连续，则在上至少存在一点，使.3设在闭区间上连续，且.求证：在闭存在点，使.4若在闭区间上连续，则在上必有，使.五、附加题1.选择题（1）设和在内有定义，为连续函数，且，有间断点，则（ ）.（A）必有间断点 （B）必有间断点（C）必有间断点 （D）必有间断点（2）设函数，讨论函数的间断点，其结论为（ ）.（A）不存在间断点 （B）存在间断点（C）存在间断点 （D）存在间断点2.填空题（1）设，则 .（2） .（3） .（4） .（5）设函数，则 .3.计算题（1）求极限.（2）设，试求的值.4.证明题（1）设函数在上连续，且试证：在内至少有一点，使得.（2）证明方程：在，内有唯一的根，其中均为大于0的常数，且.5.利用极限存在准则证明：（1）；（2）数列，的极限存在.第二章 导数与微分一、填空题1.曲线上点处的切线方程和法线方程_.2.曲线在点切线和法线方程_.3.曲线在点处切线和法线方程_.4.已知, 则极限_.5.若抛物线与曲线相切, 则_.6.设是实数，函数，则当在处可导时， 必定满足_.7.设函数为了使函数在处连续且可导，必定满足_.8.设函数二阶可导，且, 则_.9.设, 则_.10.设，求_.11.若，则_，_，_.二、选择题1.若在点处可导，则有（ ）.（A） （B）（C） （D）2.曲线在处的切线与轴正向的夹角为（ ）.（A） （B） （C）0 （D）13.函数的导数是（ ）.（A） （B） （C） （D）4.设在处可导，且, 则（ ）.（A） （B） （C） （D）.若是奇函数且存在, 则点是函数的（ ）.（A）无穷间断点 （B）可去间断点 （C）连续点 （D）振荡间断点三、计算题1.设，按导数定义求.2.设为使函数在处连续且可导，应取何值？3.求下列函数的导数（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.4.求下列函数在给定点的导数（1），求.（2），求和 .5.求下列函数的导数（1）； （2）；（3）； （4）；（5）（且为常数）； （6），（为常数）.6.设可导,求.（1）； （2）.7.求下列函数的导数.（1）； （2）；（3）； （4）.8.求下列函数的导数（1）； （2）；（3）； （4）.9求下列函数的二阶导数（1）； （2）.10.求函数的4阶导数.11.求由方程所确定的隐函数的导数.12.设，求.13.求由方程所确定的隐函数的2阶导数.14.求下列函数的导数（1）； （2）.15.求函数的导数.16.已知，计算在处当分别等于1，0.1，0.01时的及.17.求下列函数的微分（1）； （2）.四、证明题1.证明双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于.2.讨论函数的及, 又是否存在.（1） （2）.3.讨论函数在处的连续性和可导性.4.设函数 ，问满足什么条件, 在处，（1）连续；（2）可导；（3）导数连续.5.已知 , 求.6.求函数的导数.7.若可导，求.8.设，且，求证：.9.设满足，求.第三章 中值定理与导数的应用一、填空题1.函数在上不能有罗尔定理的结论，其原因是由于不满足罗尔定理的一个条件： .2.极限的值等于 .3.极限的值等于 .4.函数在区间 .上单调递增.5.设函数在上可导，且，则在上是单调 .函数.6.函数的极小值是 .7.函数的极大值是 .8.函数在上的最小值是 .9.函数在上的最大值是 .10.曲线在区间 上是凸的（即向下凹的）.11.曲线在区间 上是凹的（即向上凹的）.12.曲线的拐点坐标是 .13.曲线的渐近线方程是 .二、选择题1.设在的某去心邻域内可导，且适合及，则（I）: 与（II）: 的关系是（ ）.（A）（I）是（II）的充分但非必要条件 （B）（I）是（II）的必要但非充分条件（C）（I）是（II）的充要条件（D）（I）不是（II）的充分条件，也不是（II）的必要条件2.设在上二阶可导，问还要满足以下哪个条件（ ），则必是的最大值.（A）是的唯一驻点 （B）是的极大值点（C）在上恒为负值 （D）在上恒为正值3.“在内可导且当时；当时”是在处取得极大值的（ ）.（A）必要但非充分条件 （B）充分但非必要条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件.4.设且则（ ）.（A）该函数有极大值（B），该函数有极小值（C），（1,1）该曲线的拐点（D），是该函数的极小值5.命题（I）:是命题（II）：的（ ）.（A）必要但非充分条件 （B）充分但非必要条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件6设处处连续，且在处有处不可导，那么有（ ）.（A）都必不是的极值点 （B）只有是的极值点（C）都有可能是的极值点 （D）只有是的极值点7.设其中在上恒为正值，其导数为单调减，且则（ ）.（A）所表示的曲线在处有拐点（B）是的极大值点 （C）曲线在上是凹的（D）是在上的最小值8.设曲线的方程为则（ ）.（A）曲线没有渐进线 （B）是曲线的渐进线（C）是曲线的渐进线 （D）是曲线的渐进线9. 设曲线的方程为,则（ ）.（A）是曲线的渐进线 （B）曲线没有渐进线（C）是曲线的渐进线 （D）是曲线的渐进线三、计算题1.极限.2.求极限.3.求极限.4.求极限（都是不为的常数）.5.求极限.6.求极限.7.求极限.8.求极限.9.试确定的值，使在点处有拐点，且在处有极大值为，并求此函数的极小值.10.求在上的最大值与最小值.11.设对所有，函数均可导，且试在中比较与的大小.12.讨论在其定义域上的最大值与最小值.13.求的极大值与极小值.14.设可微函数由方程所确定，试确定此函数的单调区间.四、证明题1.验证罗尔定理对在上的正确性.2.验证柯西中值定理对函数和在上的正确性.3.设在0，1上连续，在内可导，且证明：在内至少存在一点，使【提示：设辅助函数】4.证明不等式：当时，5.证明：当时，有不等式：.6.证明恒等式：.四、附加题1.设在上连续，在内可导，又.试证：.2.设函数在上连续，在内可导，且,，试证必存在 .3.设在0,1上连续，在内可导，且，则在内至少存在一点.4.设，试证在与之间存在一点，使.5.设，在上连续，在内可导，证明:存在，使得.6.设函数在上具有三阶连续导数，且, ,证明：在内至少存在一点.7.试证当时，.8.设，证明:（1）； （2）.9.设, 证明：.10.设，证明:不等式11.设,在点处可导，且,，在处二阶导数存在，则点（ ）.（A）不是的驻点 （B）是的驻点，但不是极值点（C）是的极小点 （D）是的极大点12设有二阶连续导数，且，则（ ）（A）是的极大值.（B）是的极小值.（C）是曲线的拐点（D）不是的极值，点也不是曲线的拐点 13.设，内的驻点为，问为何值时，最小？并求出最小值.14. 求极限.15.计算.16求极限.第四章 不定积分一、填空题：1.若连续，则 .2. .3. .4.，则 .5. .6. .7. .8. .9. .10. .二、选择题1.若是的原函数，则（ ）.（A） （B）（C） （D） 2.如果，则一定有（ ）.（A） （B）（C） （D）3.若，则（ ）.（A） （B） （C） （D）4.若，则（ ）.（A） （B） （C） （D）5.设是的一个原函数，则（ ）.（A） （B） （C） （D）6.设，则（ ）.（A） （B） （C） （D）7.若，则（ ）.（A） （B） （C） （D） 8. （ ）.（A） （B） （C） （D）9. （ ）.（A） （B）（C） （D）10.已知 ，则（ ）.（A） （B） （C） （D）11.函数的一个原函数是（ ）.（A） （B）（C） （D）三、计算题1.求.2.求.3.求.4.求.5.求.6.求.7.求. .8. 求.9.求. 10.求.11.求.12.求.四、附加题1.求.2.求.3.求.4.求.5.求.6.设，且，求.7.设，试求.8.求积分： （1）； （2）.9.若曲线上点处的切线斜率与成正比例，并知该曲线通过点，求该曲线方程.第五章 定积分一、填空题1.已知在上连续，且，且设，则 .2.设，则 .3.已知，则 .4. .5. .6. .7. .8.，其中为常数，当时，这积分 ，当时，这积分 ，当这积分收敛时，其值为 .9.设连续，且则具体的 .10.设连续，且，则 .11. .二、选择题1.定积分定义说明（ ）.（A）必须等分，是端点（B）可任意分法，必须是端点（C）可任意分法，可在内任取（D）必须等分，可在内任取2.积分中值定理其中（ ）.（A）是内任一点 （B）是内必定存在的某一点（C）是内惟一的某点 （D）是内中点3.在上连续是 存在的（ ）.（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要4.设是具有连续导数的函数，且，设，则之值为（ ）.（A） （B） （C）1 （D）5.若设，则必有（ ）.（A） （B） （C） （D） 6.函数在区间上的最小值为（ ）.（A） （B） （C） （D） 07.设连续，已知 ，则应是（ ）.（A）2 （B）1 （C）4 （D）8.设，则=（ ）.（A） （B）（C） （D）三、解答题1.计算定积分.2.计算定积分.3.求.4.求.5.求.6.判定下列广义积分的敛散性：（1）； （2）.7.计算.8.计算.9.已知试计算.10.设求四、证明题 1.若函数在闭区间上连续，证明：（1）； （2）.2（1）证明，其中在所考虑的积分区间上连续.（2）证明，其中在上连续.3.设函数在闭区间上连续且单调增加，证明：不等式.五、附加题1. .2. .3.设连续，则 .4.设，计算.5.求.6.设函数在区间上可微，非减，证明：7.设函数在闭区间上连续且单调递减，证明：当时，.第六章 定积分的应用一、填空题1.曲线与直线所围成的图形的面积是 .2.曲线与直线围成一个平面图形，此平面图形绕轴旋转产生的旋转题的体积是 .二、选择题1.曲线和轴所围成的平面图形的面积为（ ）.（A） （B）+（C）（D）+2.设曲线与所围成图形的面积为S.则下列各式中，错误的是（ ）.（A） （B）（C） （D） 3.椭圆绕轴旋转得到的旋转体的体积与绕轴旋转得到的旋转体的体积之间的关系为（ ）.（A） （B） （C） （D）4.与绕轴旋转一周所产生的旋转体的体积为（ ）.（A） （B） （C）2 （D）三、计算题1.求由下列各曲线所围成的图形的面积：(1)与直线； (2)曲线和及两直线；（3）与.2.已知与所围成面积为8，求值（设）.3.求由曲线与轴所围成图形的面积.4.求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以及轴上方之间的图形的面积.6.求由下列曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积（1），分别绕轴，轴； （2），所围成的平面图形绕 轴.7.求由曲线直线及轴围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转体的体积.8.已知曲边三角形由抛物线及直线所围成，求：（1）曲边三角形的面积；（2）该曲边三角形绕旋转所成旋转体的体积.四、附加题1.设直线与直线所为成梯形面积等于，试求使这块面积绕轴旋转所得体积最小.（其中） 2.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面（1）求的面积；（2）求绕直线旋转一周所得旋转体的体积.3.设在闭区间上连续，在开区间上，并满足（为常数），又曲线与所围成的图形S的面积为2，求函数，并问为何值时，图形绕轴旋转一周所得旋转体体积最小.