初中数学三角函数难题.doc

1已知等边ABC内接于O，点D是O上任意一点，则sinADB的值为（）A1BCD2在RtABC中，C=90，BD是ABC的角平分线，将BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB=5，AC=4，那么sinADC1的值是 3观察下列等式sin30= cos60=sin45= cos45=sin60= cos30=根据上述规律，计算sin2a+sin2（90a）= 4有四个命题：若45a90，则sinacosa；已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个其中正确命题的序号是 （注：把所有正确命题的序号都填上）5如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为 6在RtABC中，C=90，BC：AC=3：4，则cosA= 7如果是锐角，且sin2十cos235=1，那么= 度8因为cos30=，cos210=，所以cos210=cos（180+30）=cos30=；因为cos45=，cos225=，所以cos225=cos（180+45）=cos45=；猜想：一般地，当a为锐角时，有cos（180+a）=cosa，由此可知cos240的值等于 9在ABC中，已知sinA=，cosB=，则C= 10在ABC中，（tanC1）2+|2cosB|=0，则A= 11若、均为锐角，则以下有4个命题：若sinsin，则；若+=90，则sin=cos；存在一个角，使sin=1.02；tan=其中正确命题的序号是 （多填或错填得0分，少填的酌情给分）12附加题：如图，在RtABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA=，cosA=，tanA=我们不难发现：sin260+cos260=1，试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由13对于钝角，定义它的三角函数值如下：sin=sin（180），cos=cos（180）（1）求sin120，cos120，sin150的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2mx1=0的两个不相等的实数根，求m的值及A和B的大小14如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD=3，DC=5，AB=4，B=45动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t秒（1）求BC的长；（2）当MNAB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形15如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30和60度如果这时气球的高度CD为90米且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离16钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少（结果保留根号1已知等边ABC内接于O，点D是O上任意一点，则sinADB的值为（）A1BCD【解答】解：ABC是等边三角形，ACB=60ADB与ACB是同弧所对的圆周角，ADB=60sinADB=sin60=故选C2（2013崇明县一模）在RtABC中，C=90，BD是ABC的角平分线，将BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB=5，AC=4，那么sinADC1的值是【解答】解：C=90，BD是ABC的角平分线，将BCD沿着直线BD折叠，C1点恰好在斜边AB上，DC1A=90，ADC1=ABC，AB=5，AC=4，sinADC1=故答案为：3（2012衡阳）观察下列等式sin30= cos60=sin45= cos45=sin60= cos30=根据上述规律，计算sin2a+sin2（90a）=1【解答】解：由题意得，sin230+sin2（9030）=1；sin245+sin2（9045）=1；sin260+sin2（9060）=1；故可得sin2a+sin2（90a）=1故答案为：14（2010防城港）有四个命题：若45a90，则sinacosa；已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个其中正确命题的序号是 （注：把所有正确命题的序号都填上）【解答】解：因为sin45=cos45=，再结合锐角三角函数的变化规律，故此选项正确；不一定能够判定两个三角形全等，故此选项错误；根据根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=x1+x2+x1x2=，是正数故此选项错误；根据题意，得2小时它由1个分裂24个，即16个，故此选项正确故正确的有5（2011莆田）如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为5【解答】解：如图所示，延长AC交x轴于B则点B、B关于y轴对称，CB=CB作ADx轴于D点则AD=3，DB=3+1=4AB=AC+CB=AC+CB=5即光线从点A到点B经过的路径长为56（2007眉山）在RtABC中，C=90，BC：AC=3：4，则cosA=【解答】解：RtABC中，C=90，BC：AC=3：4，设BC=3x，则AC=4x，AB=5x，cosA=7（2002西城区）如果是锐角，且sin2十cos235=1，那么=35度【解答】解：sin2十cos235=1，=358（2010湛江）因为cos30=，cos210=，所以cos210=cos（180+30）=cos30=；因为cos45=，cos225=，所以cos225=cos（180+45）=cos45=；猜想：一般地，当a为锐角时，有cos（180+a）=cosa，由此可知cos240的值等于【解答】解：当a为锐角时，有cos（180+a）=cosa，cos240=cos（180+60）=cos60=9（2013邵阳模拟）在ABC中，已知sinA=，cosB=，则C=105【解答】解：sinA=，cosB=，A=30，B=45，C=1803045=105故答案为：10510（2012海南模拟）在ABC中，（tanC1）2+|2cosB|=0，则A=105【解答】解：（tanC1）2+|2cosB|=0，tanC1=0，2cosB=0，即tanC=1，cosB=，又B、C在同一个三角形中，B=30，C=45，A=1803045=105故答案是10511（2011九江模拟）若、均为锐角，则以下有4个命题：若sinsin，则；若+=90，则sin=cos；存在一个角，使sin=1.02；tan=其中正确命题的序号是 （多填或错填得0分，少填的酌情给分）【解答】解：sinsin，则；故此选项正确；若+=90，则sin=cos（90）=cos，故此选项正确；存在一个角，sin=，sin1，sin=1.02，故此选项错误；tan=根据对应边之间关系得出，故此选项正确故答案为：12（2008庆阳）附加题：如图，在RtABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA=，cosA=，tanA=我们不难发现：sin260+cos260=1，试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由【解答】解：存在的一般关系有：（1）sin2A+cos2A=1；（2）tanA=证明：（1）sinA=，cosA=，a2+b2=c2，sin2A+cos2A=1（2）sinA=，cosA=，tanA=，=13（2013大庆）对于钝角，定义它的三角函数值如下：sin=sin（180），cos=cos（180）（1）求sin120，cos120，sin150的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2mx1=0的两个不相等的实数根，求m的值及A和B的大小【解答】解：（1）由题意得，sin120=sin（180120）=sin60=，cos120=cos（180120）=cos60=，sin150=sin（180150）=sin30=；（2）三角形的三个内角的比是1：1：4，三个内角分别为30，30，120，当A=30，B=120时，方程的两根为，将代入方程得：4（）2m1=0，解得：m=0，经检验是方程4x21=0的根，m=0符合题意；当A=120，B=30时，两根为，不符合题意；当A=30，B=30时，两根为，将代入方程得：4（）2m1=0，解得：m=0，经检验不是方程4x21=0的根综上所述：m=0，A=30，B=12014（2010密云县）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD=3，DC=5，AB=4，B=45动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t秒（1）求BC的长；（2）当MNAB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形【解答】解：（1）如图，过A、D分别作AKBC于K，DHBC于H，则四边形ADHK是矩形KH=AD=3在RtABK中，AK=ABsin45=4=4，BK=ABcos45=4=4在RtCDH中，由勾股定理得，HC=3BC=BK+KH+HC=4+3+3=10（2）如图，过D作DGAB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形MNAB，MNDGBG=AD=3GC=103=7由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=102tDGMN，NMC=DGC又C=C，MNCGDC，即解得，（3）分三种情况讨论：当NC=MC时，如图，即t=102t，当MN=NC时，如图，过N作NEMC于E解法一：由等腰三角形三线合一性质得：EC=MC=（102t）=5t在RtCEN中，cosC=，又在RtDHC中，cosC=，解得t=解法二：C=C，DHC=NEC=90，NECDHC，即t=当MN=MC时，如图，过M作MFCN于F点FC=NC=t解法一：（方法同中解法一），解得解法二：C=C，MFC=DHC=90，MFCDHC，即，综上所述，当t=、t=或t=时，MNC为等腰三角形15（2015甘南州）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30和60度如果这时气球的高度CD为90米且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离【解答】解：由已知，得ECA=30，FCB=60，CD=90，EFAB，CDAB于点DA=ECA=30，B=FCB=60在RtACD中，CDA=90，tanA=，AD=90=90在RtBCD中，CDB=90，tanB=，DB=30AB=AD+BD=90+30=120答：建筑物A、B间的距离为120米16（2013遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少（结果保留根号）【解答】解：过点B作BDAC于D由题意可知，BAC=45，ABC=90+15=105，ACB=180BACABC=30，在RtABD中，BD=ABsinBAD=20=10（海里），在RtBCD中，BC=20（海里）答：此时船C与船B的距离是20海里