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一、高等数学试题 2007/1/14二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共6小题, 每小题4分, 共24分） 1. 2.方程x5 5x 1 = 0在(1, 2)内共有_个根. 3._.4. 5.球体半径的增长率为0.02m/s，当半径为2 m时，球体体积的增长率为_.6. 幂级数的收敛半径 .三、计算题(6分4 = 24分)1.设2.求.3.求.4已知 求 四、(10分)设y = xe-x (0 x 0, f (b) 0, 试证：$x(a, b)，使f (x) = 0.答案：一、1(C) 2.(A) 3.(B ) 4 .(D). 5.(A) 二、1. 2.1 3. 4. 5. 0.32p 6.e.三、1. 9. 2. 3. . 4.8. 四、极大值, 拐点，面积，体积。五、. 六、a = 2, b = -1, .二、高等数学试题 2008/1/14二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1. 在处的切线方程是 2. 一个圆锥形容器，深度为10m，上面的顶圆半径为4m，则灌入水时水的体积对水面高度的变化率为 3曲线的拐点为 4展开成x - 2的幂级数为三、（7分）设 试研究函数在上是否满足拉格朗日中值定理的条件.四、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）1. .2. .3. 设， 计算4. 计算积分 5. 计算积分6. 求幂级数在收敛域上的和函数.五、（7分）由曲线，围成曲边三角形，其中A为与的交点，B为与的交点在曲边上求一点，过此点作的切线，使该切线与直线段，所围成的三角形面积为最大六、（7分）求心形线与圆所围图形公共部分.七、（7分）设f (x)是(-, +)内的可微函数，且满足：(1) f (x) 0 x (-, +),(2)存在0 l 1, 使得| f (x)| l f (x), x (-, +).任取a0 (-, +), 定义an = ln f (an-1), (n = 1, 2, ), 证明绝对收敛.八、（4分）设在上二阶可导，且，证明答案：一、1. B. 2. A. 3. A. 4.C. 二、1. . 2. . 3. (2,12). 4. . 四、1.2. 2.1, 3. , 4. 5. (-1 x 0)上求一点P,过P点作抛物线的切线，使此切线与抛物线及两坐标轴所围成的面积最小八、(8分) 求幂级数在其收敛域上的和函数。九、（分）设函数y =在(-1, 1)内具有二阶连续导数且，(1)证明对于(-1, 1)内任一x 0, 存在惟一的q (x) (0, 1),使f (x) = f (0) + xf q (x)x成立；(2)求答案：一、1. B. 2. A. 3. B. 4.C. 5. D 二、1. . 2. . 3. . 4. 5.y + 4y = 0.三、四、1.2. , 3. , 4. ，5.条件收敛 五. y = x3 + 3x + 1. 六. 。 七. 八lnx (0 0), 求.2. 求极限.3. 计算不定积分4. 计算定积分5若，求6如果y = f (x)满足，且f (1) = 1, 求f (x)四、(8分)摆线(a 0)的第一拱(0 t 2p), 求(1)该摆线的弧长；(2)该摆线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得立体的体积五、（分）设f (x) = x + x2, x -p , p), 将 f (x)展开成Fourier级数, 并求级数的和。六、（4分）若f (x)在0, a上连续，且，证明至少存在一点x(0, a)，使得.答案：一、1. A. 2. B. 3. A. 4.C. 5. D 二、1. . 2. . 3. . 4.2. 5.0 6. .三、1. .2. , 3. , 4.6, 5. 6. 五、 五、高等数学试题 2011/01/14二、填空题1. 设y = lnx, y(n)(1) = 2. 3 4位于y轴右侧，x轴上方，曲线下方的平面图形的面积为5水坝中有一直立矩形闸门，宽为3米，高为4米，闸门的上边平行于水面，顶部与水面相齐，则闸门所受到的水压力为三、计算下列各题1. 求极限.2. 求函数. 的导数.3. 求4. 确定曲线的凹凸区间与拐点四、求下列积分12 五、级数1. 求幂级数在收敛域内的和函数。2设级数收敛，收敛，证明级数绝对收敛。六、求单位球的内接正圆锥体的最大体积以及取得最大体积时椎体的高七、设f (x)在0, 1上可微，且，证明至少存在一点x(0, 1)，使得.答案：一、1. B. 2. C. 3. A. 4.D. 5. C 二、1. . 2. arcsinex + C. 3. . 4. . 5. 24g(KN).三、1. .2. , 3. , 4.拐点四、1. .2. 五、1. .六、。六、高数2013/01/08二、填空题 1已知在处连续，则b= 2曲线y = lnx在点 处的切线平行于y = 2x - 3. 3已知F(x)是sinx2的一个原函数，则= 4幂级数的收敛半径为_。 5设，则= 。三、计算题1求。2设，求。3已知方程确定函数y = y(x)，求。四、计算积分 1求。 2求。五、求曲线的凹凸区间、拐点及渐近线。六、一密度为2.5103（单位：kg/m3），底半径为r(单位：m)，高为h(单位：m)的金属圆柱体放入水中，上底面与水面相切，求将这个圆柱体捞出水面所做的功。七、求幂级数的和函数，并求的和。八、设函数f (x)在0, 1上非负连续，证明：(1)存在，使在上以f (x0)为高的矩形面积S1等于在上以y = f (x)为曲边的曲边梯形面积S2。(2)若函数f (x )在(0, 1)内可导，且，则(1)中的x0是唯一的。 答案七、高数2014/01/13一 单项选择题（每小题4分，共24分）1 若函数满足，且 ，则 （ ）. A: , B: , C: , D: . 2 对于积分 则 （ ）. A：= B: C： D： . 3 设 ，则在上满足的Lagrange 中值定理的 =（ ）. A： ,B： ,C： 或,D： 或. 4极限（）. A： B： C：D：5 若连续，且, , 则（ ）. A：当时， B：当时，C：在至少有一个零点. D: 在必无零点. 6 若函数 ， 其中在二阶可导，并且，当时, 则（ ）. A: 在取极大值 ; B: 在取极小值 ; C: 在不取极值 , 点也不是曲线的拐点； D: 在不取极值, 但是点是曲线的拐点. 二填空题（每小题4分，共24分）7函数 在的极大值是 （ ）. 8反常积分（ ）. 9 曲线在拐点处的法线经过原点，则常数（）. 10 曲线位于的弧长是（ ）. 11 若在连续，且 则 （ ）. 12 展开成关于x的幂级数为（ ）.三解答下列各题，应有必要的步骤或说明（共52分）13（8分）求的间断点，并指出其类型. 14（8分）若非负连续，且 求的值. 15 （8分） 确定的值，使得在处取极值，在（）处使，但不是极值. 16（8分）设函数f (x)在上满足，令，证明：级数绝对收敛。17（8分）设 , 计算 . 18（8分）求在上半平面由曲线 ，和所围成的平面图形，（1）面积,（2）围绕 轴旋转一周的立体体积. 19 （4分）若0，1时，证明：对任意正常数，. 参考答案一 A B A B C D ; 二 7: 1, 8: , 9: , 10: , 11: 5, 三 13 间断点是 , (是整数) 14 15 , .16 17 18 (1) .6分 (2) 八、高数2015/01/19一 计算题（每小题5分，共50分）1 求极限 2 设求a、b，使得在处连续。3 设 求 4求由参数方程所确定函数的二阶导数5 求6 求 7 求积分。8 求积分。9 设，将f (x)展成余弦级数，并计算和。10 求幂级数的收敛域，并判断x在收敛域端点处对应的级数是条件收敛还是绝对收敛。二设，在x = a处有连续的一阶导数，求 三设D是由曲线，直线及x轴围成的平面图形，分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若求a的值. 四 设函数有连续的一阶导数，又为函数的驻点，证明存在，使得.五 已知正项级数收敛，证明：当常数时，级数收敛。六 给出近似计算的方法，并说明该方法能使得近似值精确到四位小数的理由。七 设函数在上连续，证明八 据资料记载，某地某年间隔30天的日出日落时间如下 5月1日5月31日6月30日日出4点51分4点17分4点16分日落19点04分19点38分19点50分试建立一数学模型，说明该地区从5月1日到6月30日哪一天白天最长。答案： 一、1：e; 2: a = -p, b = 0; 3: 1; 4: ; 5: ; 6: ; 7: ; 8: ; 9：；10：，条件收敛。二、；三、；八、6月22日
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