圆的切点弦方程.doc

圆的切点弦方程【方法】1.设出直线，再求解； 2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。【问题】对于坐标平面内任一点，直线L：与圆O：究竟是什么关系呢？下面我们进行探究：一、当点M在圆O上时，直线L是圆的切线。二、当点M在圆O外时，1.直线L不是圆O的切线，下面证明之：圆心O到L的距离为,由在圆O外,得，故直线L与圆O相交.2.此时直线L与过点M的圆的切线又是什么关系呢?首先研究L的特征：易知：OML。(N为L与OM的交点)从而OAMA，MA为圆的一条切线，故直线L为过点M的圆的两条切线的两个切点所在的直线。事实上（另证），如图1，设过点M的圆O的两条切线为L1,L2,切点分别为A、B,则直线MA:，直线MB:.点M的坐标满足直线MA与MB的方程, ,由此可见A、B的坐标均满足方程，由于两点确定一条直线直线AB的方程为。所以此时的直线L是经过点P的切点弦AB所在直线的方程，而不是圆O的切线。【注】上述点M、直线L实质上是射影几何中的极点和极线。特别的，当M在圆上时，极线即为切线。三、当点M在圆O内时，1.直线L也不是圆O的切线。下面给出证明：圆心O到L的距离为，由在圆O内,得 故直线L与圆O相离.2.此时直线L与圆的切线的关系又如何呢?首先研究L的特征：由上述探讨过程易知，直线LOM，此外，L一定过点P（P为两切线的交点，ABOM），从而L就在图2中过点P且与AB平行的位置处。事实上（另证），直线L的斜率，而直线OM的斜率，一方面，过点M与OM垂直的直线方程为即另一方面，将直线OM与L的方程联立，得到它们的交点P的坐标为，由（二）可知过点P的圆的切点弦所在直线的方程为，即，即为直线的方程。由此我们看到，直线L是由点M确定的。另外，直线L是过点M的弦（除O，M的弦）的两个端点的圆的两条切线的交点轨迹，证明如下：设由（二）可知动弦AB的方程为，又因为点M在AB上，则，以x，y分别代，则。