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圆的切点弦方程【方法】1.设出直线,再求解; 2.利用轨迹思想,用向量或平面几何知识求解。【问题】对于坐标平面内任一点,直线L:与圆O:究竟是什么关系呢?下面我们进行探究:一、当点M在圆O上时,直线L是圆的切线。二、当点M在圆O外时,1.直线L不是圆O的切线,下面证明之:圆心O到L的距离为,由在圆O外,得,故直线L与圆O相交.2.此时直线L与过点M的圆的切线又是什么关系呢?首先研究L的特征:易知:OML。(N为L与OM的交点)从而OAMA,MA为圆的一条切线,故直线L为过点M的圆的两条切线的两个切点所在的直线。事实上(另证),如图1,设过点M的圆O的两条切线为L1,L2,切点分别为A、B,则直线MA:,直线MB:.点M的坐标满足直线MA与MB的方程, ,由此可见A、B的坐标均满足方程,由于两点确定一条直线直线AB的方程为。所以此时的直线L是经过点P的切点弦AB所在直线的方程,而不是圆O的切线。【注】上述点M、直线L实质上是射影几何中的极点和极线。特别的,当M在圆上时,极线即为切线。三、当点M在圆O内时,1.直线L也不是圆O的切线。下面给出证明:圆心O到L的距离为,由在圆O内,得 故直线L与圆O相离.2.此时直线L与圆的切线的关系又如何呢?首先研究L的特征:由上述探讨过程易知,直线LOM,此外,L一定过点P(P为两切线的交点,ABOM),从而L就在图2中过点P且与AB平行的位置处。事实上(另证),直线L的斜率,而直线OM的斜率,一方面,过点M与OM垂直的直线方程为即另一方面,将直线OM与L的方程联立,得到它们的交点P的坐标为,由(二)可知过点P的圆的切点弦所在直线的方程为,即,即为直线的方程。由此我们看到,直线L是由点M确定的。另外,直线L是过点M的弦(除O,M的弦)的两个端点的圆的两条切线的交点轨迹,证明如下:设由(二)可知动弦AB的方程为,又因为点M在AB上,则,以x,y分别代,则。
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