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习题三1证明下列问题：（1）若矩阵序列收敛于，则收敛于，收敛于；（2）若方阵级数收敛，则.证明：（1）设矩阵则设则，若矩阵序列收敛于，即对任意的，有，则 ，故收敛于，收敛于.(2)设方阵级数的部分和序列为，其中.若收敛，设其和为，即，或，则.而级数的部分和即为，故级数收敛，且其和为，即.2.已知方阵序列收敛于，且，都存在，证明：（1）；（2）.证明：设矩阵若矩阵序列收敛于，即对任意的，有.(1) 由于对任意的，有 ，故，而，,故.(2) 因为，.其中，分别为矩阵与的代数余子式.与（1）类似可证明对任意的，有，结合，有，即.3.设函数矩阵，其中，计算.解：根据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法，有（1）；（2）；（3）；（4）（5）.4设函数矩阵，计算和.解：根据函数矩阵积分变限积分函数的导数的概念与计算方法，有（1）；（2）.5.设为阶常数对称矩阵，证明：（1）；（2）.证明：（1），（2）.6.证明关于迹的下列公式：（1）；（2）；（3）.其中.证明：（1）因为，而，故（2）因为，则，而，故.(3) 因为故则故 .7证明：，其中为向量函数.证明：设，则，故它是的数量函数，设，有 .8.在中将向量表示成平面直角坐标系中的点，分别画出下列不等式决定的向量全体所对应的几何图形：(1) (2) (3) .解：根据 ，作图如下：9.证明对任何，总有.证明：因为 故10.证明：对任意的，有.证明：设，则由于，故，即.11.设是正实数，证明：对任意，是中的向量范数.证明：因为（1）且；（2）；（3）对于，则故.因此是中的向量范数.12.证明：是矩阵的范数，并且与向量的1范数是相容的.证明:因为(1) ,且;(2) ;(3) (4)设,则，故 因此是与向量的1范数相容的矩阵范数.13.设，且可逆，证明：.证明:由于,则,故.14.设，且证明：可逆，而且有（1）；（2）.证明:(1)由于,故,即 .(2)因为,两边右乘,可得,左乘,整理得 ,则，即 .15.设证明：（1），特别地;（2）当时，；（3）；（4）当时，.证明:(1) .又因为,故.(2)当时,二项式公式成立，故同理，有 ,故.(3)由于幂级数对给定的矩阵,以及任意的都是绝对收敛的,且对任意的都是一致收敛的,因此科可对此幂级数逐项求导,则,同理，有 故.(4) 因为 故.又当时，,则 同理，可得16.求下列三类矩阵的矩阵函数（1）当为幂等矩阵()时；（2）当为对合矩阵()时；（3）当为幂零矩阵()时.解:(1) ,设矩阵的秩为,则的特征值为1或0, 可对角化为,则，(2) 当时，矩阵也可对角化,的特征值为1或, 可对角化为,其中1有个.则(3)当时, 的特征值均为0,则存在可逆矩阵,使得,其中,又,则,于是故Jordan块的阶数最多为2,不妨设,即 则,;,.故0,则,因此,所以,.17.若矩阵的特征值的实部全为负，则.证明: 设的特征值为,则存在可逆矩阵,使得,其中,则,其中又,且,故，因此,则.18计算和，其中：（1）；（2）；（3）.解:(1)设,则.由于,且,则,.(2)该矩阵的特征多项式为最小多项式为.19.计算下列矩阵函数：（1），求；（2），求；（3），求；（4），求及20证明:，其中为任意方阵.证明:(1) 因为,故 ,则.(2)因为矩阵的特征值均为,故存在可逆矩阵,使得则21.若为反实对称（反Hermite）矩阵，则为实正交（酉）矩阵.证明: 因为,又.故.当为反实对称,即时, ,故为实正交矩阵;当为反Hermite矩阵,即时,故为酉矩阵.22.若为Hermite矩阵，则是酉矩阵，并说明当时此结论的意义.证明:因为,故,则,故是酉矩阵.当为一阶Hermite矩阵时, 为一实数,设,则上述命题为23.将下列矩阵函数表示成矩阵幂级数，并说明对的限制：（1），（2），（3）解：(1) , ;(2) ,;(3) ,.24设，证明：（1），（2）.证明:(1)设,其中为若当标准形，则,其中,则.(2)设，则，因为，对上式两边取极限，得.25设，且可逆，若是的任一特征值，则.证明:因为,故.又对任意的,有,所以.设是矩阵的特征值对应的特征向量,即,则,故有.因此.
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