（福建专用）2019年中考数学复习 第六章 空间与图形 6.2 图形的相似（试卷部分）课件.ppt

第五章空间与图形6 2图形的相似 中考数学 福建专用 A组2014 2018年福建中考题组 五年中考 1 2015宁德 8 4分 如图 已知直线a b c 直线m n与a b c分别交于点A C E B D F 若AC 4 CE 6 BD 3 则DF的值是 A 4B 4 5C 5D 5 5 答案B 直线a b c AC 4 CE 6 BD 3 即 解得DF 4 5 故选B 2 2016三明 13 4分 如图 在平面直角坐标系中 已知A 1 0 D 3 0 ABC与 DEF位似 原点O是位似中心 若AB 1 5 则DE 答案4 5 解析 ABC与 DEF是位似图形 它们的位似中心恰好为原点 已知A点坐标为 1 0 D点坐标为 3 0 AO 1 DO 3 DE 3AB 4 5 思路分析根据点的坐标得出AO DO的长 进而得出 求出DE的长即可 点评此题主要考查了位似图形的性质 根据已知点的坐标得出 是解题关键 3 2016厦门 13 4分 如图 在 ABC中 DE BC 且AD 2 DB 3 则 答案 解析 DE BC ADE ABC 又 AD 2 DB 3 AB 5 4 2015漳州 14 4分 如图 AD BE CF 直线l1 l2与这三条平行线分别交于点A B C和D E F DE 6 则EF 答案9 解析 AD BE CF 即 EF 9 思路分析根据平行线分线段成比例定理得到 即 然后根据比例性质求EF 5 2018福建 20 8分 求证 相似三角形对应边上的中线之比等于相似比 要求 根据给出的 ABC及线段A B A A A 以线段A B 为一边 在给出的图形上用尺规作出 A B C 使得 A B C ABC 不写作法 保留作图痕迹 在已有的图形上画出一组对应中线 并据此写出已知 求证和证明过程 解析 如图 A B C 即为所求作的三角形 已知 如图 A B C ABC k AD DB A D D B 求证 k 证明 AD DB A D D B AD AB A D A B 又 A B C ABC A A C A D CAD k 解后反思本题考查尺规作图 相似三角形的性质与判定等基础知识 考查推理能力 化归与转化思想 6 2016南平 21 8分 如图 Rt ABC中 C 90 AB 14 AC 7 D是BC上一点 BD 8 DE AB 垂足为E 求线段DE的长 解析 DE AB BED 90 BED C 又 B B BED BCA DE 4 7 2016福州 25 12分 如图 在 ABC中 AB AC 1 BC 在AC边上截取AD BC 连接BD 1 通过计算 判断AD2与AC CD的大小关系 2 求 ABD的度数 解析 1 AD BC AD2 AC 1 CD 1 AD2 AC CD 2 AD2 AC CD AD BC BC2 AC CD 即 又 C C ABC BDC 又AB AC BD BC AD A ABD ABC C BDC 设 A ABD x 则 BDC A ABD 2x ABC C BDC 2x A ABC C x 2x 2x 180 解得x 36 ABD 36 思路分析 1 直接计算即可得结论 2 由AD2 AC CD 得到BC2 AC CD 即 从而得到 ABC BDC 故有 从而得到BD BC AD 故 A ABD ABC C BDC 设 A ABD x 则 BDC 2x ABC C BDC 2x 由三角形内角和等于180 可求得x 从而得出结论 评析本题主要考查的是相似三角形的性质和判定 等腰三角形的性质 三角形内角和定理的应用 证得 ABC BDC是解题的关键 8 2016莆田 25 12分 若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上 其余两个顶点分别在三角形的另两条边上 则正方形称为三角形该边上的内接正方形 ABC中 设BC a AC b AB c 各边上的高分别记为ha hb hc 各边上的内接正方形的边长分别记为xa xb xc 1 模拟探究 如图 正方形EFGH为 ABC的BC边上的内接正方形 求证 2 特殊应用 若 BAC 90 xb xc 2 求 的值 3 拓展延伸 若 ABC为锐角三角形 b c 请判断xb与xc的大小 并说明理由 解析 1 证明 正方形EFGH中 EH FG AEH ABC AD BC 即 2 由 1 得 BAC 90 hb c 又 xb 2 3 xb xc 理由如下 由 1 得 xb xc S ABC bhb chc 2S ABC bhb chc 又 hb csin BAC hc bsin BAC bxc 9 2015龙岩 24 13分 如图 在Rt ABC中 ACB 90 AC 6 BC 8 点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动 到达B点即停止运动 M N分别是AD CD的中点 连接MN 设点D运动的时间为t 秒 1 判断MN与AC的位置关系 2 求点D由点A向点B匀速运动的过程中 线段MN所扫过区域的面积 3 若 DMN是等腰三角形 求t的值 解析 1 在 ABC中 M是AD的中点 N是DC的中点 MN AC 2 如图1 分别取 ABC三边AC AB BC的中点E F G 并连接EG FG 图1根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是四边形AFGE的面积 AC 6 BC 8 AE 3 GC 4 ACB 90 S四边形AFGE AE GC 3 4 12 线段MN所扫过区域的面积为12 3 由题意可知MD AD DN DC MN AC 3 当MD MN 3时 DMN为等腰三角形 此时AD AC 6 t 6 当MD DN时 AD DC 如图2 过点D作DH AC交AC于H 则AH AC 3 图2 cosA 解得AD 5 t 5 如图3 当DN MN 3时 AC DC 连接MC 则CM AD 图3 cosA 即 AM AD t 2AM 综上所述 当t 5或6或时 DMN为等腰三角形 思路分析 1 利用三角形中位线的性质解答即可 2 分别取 ABC三边AC AB BC的中点E F G 并连接EG FG 根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是四边形AFGE的面积 求解即可 3 分三种情况 MD MN MD DN DN MN 分别求t的值即可 10 2014南平 21 8分 如图 已知 ABC中 点D在AC上且 ABD C 求证 AB2 AD AC 证明 ABD C A是公共角 ABD ACB AB2 AD AC 思路分析利用两个角对应相等的两个三角形相似证得 ABD ACB 进一步得出 整理得出答案即可 点评此题考查相似三角形的判定与性质 如果两个三角形的三组边的比对应相等 那么这两个三角形相似 如果两个三角形的两条边的比对应相等 且夹角相等 那么这两个三角形相似 如果两个三角形的两个角对应相等 那么这两个三角形相似 平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似 相似三角形的对应边成比例 对应角相等 B组2014 2018年全国中考题组考点一相似的性质与判定 1 2018重庆 5 4分 要制作两个形状相同的三角形框架 其中一个三角形的三边长分别为5cm 6cm和9cm 另一个三角形的最短边长为2 5cm 则它的最长边为 A 3cmB 4cmC 4 5cmD 5cm 答案C设所求最长边为xcm 由题意知两个三角形相似 根据相似三角形的三边对应成比例 可列等式 解得x 4 5 故选C 2 2018湖北黄冈 5 3分 如图 在Rt ABC中 ACB 90 CD为AB边上的高 CE为AB边上的中线 AD 2 CE 5 则CD A 2B 3C 4D 2 答案C在Rt ABC中 因为CE为AB边上的中线 所以AB 2CE 2 5 10 又AD 2 所以BD 8 易证 ACD CBD 则CD2 AD DB 2 8 16 所以CD 4 故选C 3 2017黑龙江哈尔滨 9 3分 如图 在 ABC中 D E分别为AB AC边上的点 DE BC 点F为BC边上一点 连接AF交DE于点G 则下列结论中一定正确的是 A B C D 答案C根据平行线分线段成比例定理可知 所以选项A B D错误 选项C正确 故选C 4 2017陕西 8 3分 如图 在矩形ABCD中 AB 2 BC 3 若点E是边CD的中点 连接AE 过点B作BF AE交AE于点F 则BF的长为 A B C D 答案B由题意得 AFB D BAD 90 FAB DAE 90 FAB ABF 90 ABF DAE ADE BFA 则 即 3 设AF x x 0 则BF 3x 在Rt ABF中 由勾股定理得AF2 BF2 AB2 即x2 3x 2 22 解得x 负值舍去 所以3x 即BF 故选B 思路分析先通过证明 ADE BFA得到AF与BF的数量关系 再在Rt ABF中 由勾股定理建立方程求解 5 2016河北 15 2分 如图 ABC中 A 78 AB 4 AC 6 将 ABC沿图示中的虚线剪下 剪下的阴影三角形与原三角形的是 答案C选项A与B中剪下的阴影三角形分别与原三角形有两组角对应相等 可得阴影三角形与原三角形相似 选项D中剪下的阴影三角形与原三角形有两边之比都是2 3 且两边的夹角相等 所以两个三角形也是相似的 故选C 评析本题考查相似三角形的判定 熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键 6 2015江苏南京 3 2分 如图 在 ABC中 DE BC 则下列结论中正确的是 A B C D E2 答案C DE BC ADE ABC 故选项A B错误 根据 相似三角形的周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 可知选项C正确 选项D错误 故选C 答案B设等边 ABC的边长为3 则AD 1 BD 2 由折叠的性质可知 C EDF 60 EDA FDB 120 在 AED中 A 60 AED ADE 120 AED BDF 又 A B AED BDF 又 CE DE CF DF 可得2CE 3CF CE CF CF 3CE CE CF 2CE 3CF CF 3CE 故选B 8 2018吉林 12 3分 如图是测量河宽的示意图 AE与BC相交于点D B C 90 测得BD 120m DC 60m EC 50m 求得河宽AB m 答案100 解析易知 ABD ECD 又 BD 120m DC 60m EC 50m AB 100m 9 2018北京 13 2分 如图 在矩形ABCD中 E是边AB的中点 连接DE交对角线AC于点F 若AB 4 AD 3 则CF的长为 答案 解析 四边形ABCD是矩形 AB CD CD AB 4 BC AD 3 DCA CAB 又 DFC AFE CDF AEF E是边AB的中点 AB 4 AE 2 BC 3 AB 4 ABC 90 AC 5 CF 10 2016江苏南京 15 2分 如图 AB CD相交于点O OC 2 OD 3 AC BD EF是 ODB的中位线 且EF 2 则AC的长为 答案 解析 EF是 ODB的中位线 OE OD EF BD AC BD EF BD AC EF AC 11 2014黑龙江哈尔滨 20 3分 如图 在 ABC中 4AB 5AC AD为 ABC的角平分线 点E在BC的延长线上 EF AD于点F 点G在AF上 FG FD 连接EG交AC于点H 若点H是AC的中点 则的值为 答案 解析 EF AD FG FD EF垂直平分GD EG ED EGD EDG AGH ADB 又 BAD HAG ABD AHG 4AB 5AC AH AC 评析本题主要考查了线段垂直平分线的性质 等腰三角形的性质 三角形相似的判定等知识 属中等偏难题 12 2018陕西 20 7分 周末 小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽 测量时 他们选择了河对岸岸边的一棵大树 将其底部作为点A 在他们所在的岸边选择了点B 使得AB与河岸垂直 并在B点竖起标杆BC 再在AB的延长线上选择点D 竖起标杆DE 使得点E与点C A共线 已知 CB AD ED AD 测得BC 1m DE 1 5m BD 8 5m 测量示意图如图所示 请根据相关测量信息 求河宽AB 解析 CB AD ED AD ABC ADE 90 BAC DAE ABC ADE 3分 5分 BC 1m DE 1 5m BD 8 5m AB 17m 河宽AB为17m 7分 思路分析首先根据 ABC ADE BAC DAE判定 ABC ADE 再根据相似三角形的性质得出 进而可求得AB的值 方法指导解与三角形有关的实际应用题时应注意的事项 审题 结合图形通读题干 第一时间锁定采用的知识点 如 观察题图是否含有已知度数的角 如果含有 考虑利用锐角三角函数解题 如果仅涉及三角形的边长 则采用相似三角形的性质解题 筛选信息 由于实际问题文字阅读量较大 因此筛选有效信息尤为关键 构造图形 只要是与三角形有关的实际问题都会涉及图形的构造 如果题干中给出了相应的图形 则可直接利用所给图形进行计算 必要时可添加辅助线 若未给出图形 则需要通过 中获取的信息构造几何图形进行解题 13 2018湖北武汉 23 10分 在 ABC中 ABC 90 1 如图1 分别过A C两点作经过点B的直线的垂线 垂足分别为M N 求证 ABM BCN 2 如图2 P是边BC上一点 BAP C tan PAC 求tanC的值 3 如图3 D是边CA延长线上一点 AE AB DEB 90 sin BAC 直接写出tan CEB的值 解析 1 证明 M N ABC 90 MAB MBA NBC MBA 90 MAB NBC ABM BCN 2 过点P作PM AP交AC于点M 过点M作MN PC交BC于点N 则 PMN APB tan PAC 设PN 2t 则AB t BAP APB MPC APB 90 BAP C MPC C CN PN 2t 易得 ABP CBA AB2 BP BC t 2 BP BP 4t BP t BC 5t tanC 3 在Rt ABC中 sin BAC tan BAC 过点A作AG BE于点G 过点C作CH BE交EB的延长线于点H DEB 90 CH AG DE 同 1 的方法得 ABG BCH 设BG 4m CH 3m AG 4n BH 3n GH BG BH 4m 3n AB AE AG BE EG BG 4m n 2m EH EG GH 4m 4m 3n 8m 3n 8m 6m 14m 在Rt CEH中 tan CEB 思路分析 1 利用同角的余角相等判断出 MAB NBC 即可得出结论 2 作PM AP MN PC 先判断出 PMN APB 得出 设PN 2t 则AB t 再判断出 ABP CBA 设PN 2t 根据相似三角形的性质可求得BP t 则BC 5t 即可得出结论 3 作AG BE CH BE 先判断出 同 1 的方法得 ABG BCH 所以 设BG 4m CH 3m AG 4n BH 3n 进一步得出关于m n的等式 解得n 2m 最后得出结论 方法指导几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法 本题涉及的相似三角形 要寻找的比例关系或添加的辅助线均类似 同时要注意挖掘题干中不变的几何特征 根据特征寻方法 14 2016四川南充 24 10分 已知正方形ABCD的边长为1 点P为正方形内一动点 若点M在AB上 且满足 PBC PAM 延长BP交AD于点N 连接CM 1 如图一 若点M在线段AB上 求证 AP BN AM AN 2 如图二 在点P运动过程中 满足 PBC PAM的点M在AB的延长线上时 AP BN和AM AN是否成立 不需说明理由 是否存在满足条件的点P 使得PC 请说明理由 解析 1 证明 PBC PAM PBC PAM 1分 四边形ABCD是正方形 AD BC PBC ANP PAM ANP 2分 PAM PAN 90 ANP PAN 90 APN 90 即AP BN 3分 BAN 90 AP BN BPA BAN 90 ABP NBA ABP NBA 4分 又 PBC PAM 5分 故 又 AB BC AM AN 6分 2 点M在AB的延长线上时 AP BN和AM AN仍然成立 7分 不存在 理由如下 如图 以AB为直径 作半圆O 连接OC OP BC 1 OB OC 8分 AP BN 点P一定在以点O为圆心 为半径的半圆上 A B两点除外 如果存在点P 那么OP PC OC 则PC 9分 故不存在满足条件的点P 使得PC 10分 评析本题是以考查相似三角形为主的综合题 涉及正方形的性质 圆的性质等知识 有一定难度 考点二图形的位似1 2015甘肃兰州 5 4分 如图 线段CD两个端点的坐标分别为C 1 2 D 2 0 以原点为位似中心 将线段CD放大得到线段AB 若点B的坐标为 5 0 则点A的坐标为 A 2 5 B 2 5 5 C 3 5 D 3 6 答案B设点A的坐标为 x y 由位似图形的性质知 得x 2 5 y 5 则点A的坐标为 2 5 5 故选B 2 2015江苏镇江 17 3分 如图 坐标原点O为矩形ABCD的对称中心 顶点A的坐标为 1 t AB x轴 矩形A B C D 与矩形ABCD是位似图形 点O为位似中心 点A B 分别是点A B的对应点 k 已知关于x y的二元一次方程组 m n是实数 无解 在以m n为坐标 记为 m n 的所有的点中 若有且只有一个点落在矩形A B C D 的边上 则k t的值等于 A B 1C D 答案D因为方程组无解 所以mn 3 且n 那么以实数m n为坐标的点在反比例函数y 的图象上 且y 矩形A B C D 与矩形ABCD的位似比为k 因为A 1 t 所以A 点的坐标为 k kt C 点的坐标为 k kt 当矩形A B C D 与函数y 的图象有交点时 则交点至少有两个 分别是A k kt C k kt 当kt 时 A C 又n 所以A 不在函数y 的图象上 有且只有C 在函数y 的图象上 即当kt 时 有且只有一个点在矩形A B C D 的边上 评析本题以平面直角坐标系中的位似和方程组的解的存在性为背景 考查了反比例函数的图象与性质 解题关键是运用中心对称的性质 本题属难题 3 2017甘肃兰州 17 4分 如图 四边形ABCD与四边形EFGH位似 位似中心是点O 则 答案 解析 四边形ABCD与四边形EFGH位似 OEF OAB OFG OBC 4 2018安徽 17 8分 如图 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10 10网格中 已知点O A B均为网格线的交点 1 在给定的网格中 以点O为位似中心 将线段AB放大为原来的2倍 得到线段A1B1 点A B的对应点分别为A1 B1 画出线段A1B1 2 将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90 得到线段A2B1 画出线段A2B1 3 以A A1 B1 A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是个平方单位 解析 1 线段A1B1如图所示 3分 2 线段A2B1如图所示 6分 3 20 8分 提示 根据 1 2 可知四边形AA1B1A2是正方形 边长为 2 以A A1 B1 A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积为 2 2 20 个平方单位 5 2016广西南宁 21 8分 如图 在平面直角坐标系中 已知 ABC三个顶点的坐标分别是A 2 2 B 4 0 C 4 4 1 请画出 ABC向左平移6个单位长度后得到的 A1B1C1 2 以点O为位似中心 将 ABC缩小为原来的 得到 A2B2C2 请在y轴右侧画出 A2B2C2 并求出 A2C2B2的正弦值 解析 1 A1B1C1为所求作三角形 2 A2B2C2为所求作三角形 根据勾股定理得A2C2 sin A2C2B2 C组教师专用题组考点一相似的性质与判定 1 2018内蒙古包头 12 3分 如图 在四边形ABCD中 BD平分 ABC BAD BDC 90 E为BC的中点 AE与BD相交于点F 若BC 4 CBD 30 则DF的长为 A B C D 答案D如图 连接DE BD平分 ABC CBD 30 1 2 30 在Rt BCD中 BD BC cos30 2 在Rt ABD中 AB BD cos30 3 E为BC的中点 ED BE 2 3 2 1 DE AB AFB EFD 即 DF 故选D 思路分析根据题意得 在Rt ABD和Rt BCD中 ABD CBD 30 由BC 4 求得BD 2 进而求得AB 3 由E是BC的中点 得ED BE 进而可得DE AB 所以 AFB EFD 进而求出DF的长 解题关键本题考查了含30 角的直角三角形的性质 三角形相似的判定和性质 解答本题的关键是作出Rt BCD斜边上的中线 2 2016重庆 8 4分 ABC与 DEF的相似比为1 4 则 ABC与 DEF的周长比为 A 1 2B 1 3C 1 4D 1 16 答案C因为 ABC与 DEF的相似比为1 4 所以由相似三角形周长的比等于相似比 得 ABC与 DEF的周长比为1 4 故选C 3 2016安徽 8 4分 如图 ABC中 AD是中线 BC 8 B DAC 则线段AC的长为 A 4B 4C 6D 4 答案B由AD是中线可得DC BC 4 B DAC C C ADC BAC AC2 BC DC 8 4 32 AC 4 故选B 评析本题考查了相似三角形的判定与性质及三角形的中线 属容易题 4 2016黑龙江哈尔滨 9 3分 如图 在 ABC中 D E分别为AB AC边上的点 DE BC BE与CD相交于点F 则下列结论一定正确的是 A B C D 答案A DE BC ADE ABC 故选项A正确 故选A 5 2017重庆A卷 8 4分 若 ABC DEF 相似比为3 2 则对应高的比为 A 3 2B 3 5C 9 4D 4 9 答案A相似三角形对应高的比等于相似比 所以选A 6 2014辽宁沈阳 8 3分 如图 在 ABC中 点D在边AB上 BD 2AD DE BC交AC于点E 若线段DE 5 则线段BC的长为 A 7 5B 10C 15D 20 答案C由题意可得 ADE ABC 相似比为 所以BC 3DE 15 故选C 评析本题考查相似三角形的判定与性质 属容易题 7 2018云南 5 3分 如图 已知AB CD 若 则 答案 解析 AB CD A C B D AOB COD 8 2018安徽 14 5分 矩形ABCD中 AB 6 BC 8 点P在矩形ABCD的内部 点E在边BC上 满足 PBE DBC 若 APD是等腰三角形 则PE的长为 答案3或 解析在矩形ABCD中 AD BC 8 在 ABD中 由勾股定理可得BD 10 AB AD 根据 PBE DBC可知P点在线段BD上 当AD PD 8时 由相似可得 PE 当AP PD时 P点为BD的中点 PE CD 3 故答案为3或 思路分析根据AB AD及已知条件先判断P点在线段BD上 再根据等腰三角形腰的情况分两种情况 AD PD 8 AP PD 再由相似三角形中对应边的比相等求解即可 难点突破判断P点在线段BD上是解答本题的突破口 9 2018内蒙古包头 18 3分 如图 在 ABCD中 AC是一条对角线 EF BC 且EF与AB相交于点E 与AC相交于点F 3AE 2EB 连接DF 若S AEF 1 则S ADF的值为 答案 解析 3AE 2EB 又EF BC AEF ABC S AEF 1 S ABC 在 ABCD中 S ACD S ABC S ADF S ACD 思路分析根据3AE 2EB 得 由EF BC 得 AEF ABC 根据相似三角形的性质及S AEF 1求得S ABC 由S ACD S ABC及S ADF S ACD可求得S ADF 10 2017黑龙江哈尔滨 20 3分 如图 在矩形ABCD中 M为BC边上一点 连接AM 过点D作DE AM 垂足为E 若DE DC 1 AE 2EM 则BM的长为 答案 解析 BAM EAD 90 EAD EDA 90 BAM EDA 又 B AED 90 ADE MAB 即 AE BM 由AE 2EM可设AE 2x EM x x 0 则BM 2x 在Rt ABM中 由勾股定理可知 2x x 2 12 2x 2 解得x 舍负 BM 2x 11 2015山东临沂 18 3分 如图 在 ABC中 BD CE分别是边AC AB上的中线 BD与CE相交于点O 则 答案2 解析连接DE BD CE分别是AC AB边上的中线 DE为 ABC的中位线 DE BC DE BC OBC ODE 2 12 2018陕西 17 5分 如图 已知 在正方形ABCD中 M是BC边上一定点 连接AM 请用尺规作图法 在AM上求作一点P 使 DPA ABM 不写作法 保留作图痕迹 解析如图所示 点P即为所求 5分 思路分析过D点作DP AM于点P 进而可利用 APD B DAP AMB判断 DPA ABM 13 2018江西 14 6分 如图 在 ABC中 AB 8 BC 4 CA 6 CD AB BD是 ABC的平分线 BD交AC于点E 求AE的长 解析 BD平分 ABC ABD CBD AB CD ABD D ABE CDE CBD D BC CD AB 8 CA 6 CD BC 4 AE 4 思路分析根据角平分线性质和平行线的性质求出 D CBD 进而可得BC CD 4 通过 ABE CDE 得出含AE的比例式 求出AE的值 方法总结证明三角形相似的常见方法 平行于三角形的一边的直线与其他两边或其延长线相交 所构成的三角形与原三角形相似 相似的基本图形可分别记为 A 型和 X 型 如图所示 在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形 14 2018呼和浩特 24 10分 如图 已知BC AC 圆心O在AC上 点M与点C分别是AC与 O的交点 点D是MB与 O的交点 点P是AD延长线与BC的交点 且 1 求证 PD是 O的切线 2 若AD 12 AM MC 求的值 解析 1 证明 连接OD OP A A ADM APO ADM APO MD PO 1 4 2 3 OD OM 3 4 1 2 又OP OP OD OC ODP OCP ODP OCP BC AC OCP 90 ODP 90 OD AP 又OD为半径 PD是 O的切线 2 由 1 知PC PD 连接CD AM MC AM 2MO 2R R为 O的半径 在Rt AOD中 OD2 AD2 OA2 R2 122 9R2 R 3 OD 3 MC 6 AP 18 DP 6 又 MD PO O是MC的中点 点P是BC的中点 BP CP DP 6 又 MC是 O的直径 BDC CDM 90 在Rt BCM中 BC 2DP 12 MC 6 BM 6 易知 BCM CDM 即 MD 2 思路分析第 1 问需要通过线段的比相等来寻找合适的相似三角形 进而得到角相等 第 2 问需要先求出半径 进而借助相似三角形的性质和判定解决 解题关键解决本题的关键是要寻找合适的相似三角形 并综合运用相关几何知识解决问题 15 2017安徽 23 14分 已知正方形ABCD 点M为边AB的中点 1 如图1 点G为线段CM上的一点 且 AGB 90 延长AG BG分别与边BC CD交于点E F 求证 BE CF 求证 BE2 BC CE 2 如图2 在边BC上取一点E 满足BE2 BC CE 连接AE交CM于点G 连接BG并延长交CD于点F 求tan CBF的值 图1图2 解析 1 证明 四边形ABCD为正方形 AB BC ABC BCF 90 又 AGB 90 BAE ABG 90 又 ABG CBF 90 BAE CBF ABE BCF ASA BE CF 4分 证明 AGB 90 点M为AB的中点 MG MA MB GAM AGM 又 CGE AGM 从而 CGE CBG 又 ECG GCB CGE CBG 即CG2 BC CE 由 CFG GBM BGM CGF 得CF CG 由 知 BE CF BE CG BE2 BC CE 9分 2 解法一 延长AE DC交于点N 如图1 图1 四边形ABCD是正方形 AB CD N EAB 又 CEN BEA CEN BEA 故 即BE CN AB CE AB BC BE2 BC CE CN BE 由AB DN知 又AM MB FC CN BE 不妨令正方形的边长为1 设BE x 则由BE2 BC CE 得x2 1 1 x 解得x1 x2 舍去 于是tan CBF 14分 解法二 不妨令正方形的边长为1 设BE x 则由BE2 BC CE 得x2 1 1 x 解得x1 x2 舍去 即BE 作GN BC交AB于N 如图2 图2则 MNG MBC 设MN y 则GN 2y GM y 即 解得y GM 从而GM MA MB 此时点G在以AB为直径的圆上 AGB是直角三角形 且 AGB 90 由 1 知BE CF 于是tan CBF 14分 16 2015连云港 25 10分 如图 在 ABC中 ABC 90 BC 3 D为AC延长线上一点 AC 3CD 过点D作DH AB 交BC的延长线于点H 1 求BD cos HBD的值 2 若 CBD A 求AB的长 解析 1 DH AB BHD ABC 90 ACB DCH ABC DHC AC 3CD BC 3 CH 1 BH BC CH 4 在Rt BHD中 cos HBD BDcos HBD BH 4 4分 2 解法一 A CBD ABC BHD ABC BHD 6分 ABC DHC AB 3DH DH 2 AB 6 10分 解法二 CBD A BDC ADB CDB BDA BD2 CD AD BD2 CD 4CD 4CD2 BD 2CD 6分 CDB BDA AB 6 10分 考点二图形的位似1 2017四川成都 8 3分 如图 四边形ABCD和A B C D 是以点O为位似中心的位似图形 若OA OA 2 3 则四边形ABCD与四边形A B C D 的面积比为 A 4 9B 2 5C 2 3D 答案A由位似图形的性质知 所以 故选A 2 2015天津 16 3分 如图 在 ABC中 DE BC 分别交AB AC于点D E 若AD 3 DB 2 BC 6 则DE的长为 答案 解析 DE BC ADE ABC DE 3 2015宁夏 20 6分 在平面直角坐标系中 ABC的三个顶点坐标分别为A 2 4 B 3 2 C 6 3 1 画出 ABC关于x轴对称的 A1B1C1 2 以M点为位似中心 在网格中画出 A1B1C1的位似图形 A2B2C2 使 A2B2C2与 A1B1C1的相似比为2 1 E2 解析 1 如图所示 3分 2 如图所示 6分 A组2016 2018年模拟 基础题组 时间 10分钟分值 15分 一 选择题 共3分 1 2017三明二检 8 如图 大三角形与小三角形是位似图形 若小三角形一个顶点的坐标为 m n 则大三角形中与之对应的顶点坐标为 A 2m 2n B 2m 2n C 2n 2m D 2n 2m 三年模拟 答案A由题图知两三角形的位似中心为原点 且位似比为1 2 所以大三角形中与之对应的点的坐标为 2m 2n 故选A 方法归纳如果两个图形不仅是相似图形 而且每组对应点所在的直线都经过同一个点 那么这样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做位似中心 这时的相似比又称位似比 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 二 填空题 共3分 2 2017宁德质检 14 如图 已知 ABC 点D E分别是AB AC的中点 若 ABC的面积等于24 则 ADE的面积等于 答案6 解析 点D E分别是AB AC的中点 DE BC BC 2DE ADE ABC ABC的面积等于24 ADE的面积等于6 解题关键掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键 三 解答题 共9分 3 2016南平质检 22 已知 O的弦CD与直径AB垂直于F 点E在CD上 且AE CE 1 求证 CA2 CE CD 2 已知CA 5 EA 3 求sin EAF E2 解析 1 证明 弦CD垂直于直径AB D C 又AE EC CAE C CEA CAD 即CA2 CE CD 2 CA2 CE CD CA 5 CE EA 3 52 3CD CD 又CF FD CF CD EF CF CE 3 在Rt AFE中 sin EAF 思路分析 1 利用两组角对应相等证明 CEA CAD 即可得解 2 利用 1 的结论求出CD的长 进而求出CF和EF的长 即可得解 命题立意本题考查了垂径定理 三角形相似的判定及性质 三角函数的应用 难度中等 B组2016 2018年模拟 提升题组 时间 40分钟分值 50分 解答题 共50分 1 2018福州二检 24 已知菱形ABCD E是BC边上一点 连接AE交BD于点F 1 如图1 当E是BC中点时 求证 AF 2EF 2 如图2 连接CF AB 5 BD 8 当 CEF为直角三角形时 求BE的长 3 如图3 当 ABC 90 时 过点C作CG AE交AE的延长线于点G 连接DG 若BE BF 求tan BDG的值 解析 1 证明 点E是BC的中点 BC 2BE 四边形ABCD是菱形 AD BC 2BE AD BC FAD FEB FDA FBE AFD EFB 2 AF 2EF 2 连接AC交BD于点O 四边形ABCD是菱形 BD 8 AC BD互相垂直平分 OA AC OB BD 4 又 点F在BD上 FC FA 在Rt ABO中 AOB 90 AB 5 OB 4 OA 3 AC 6 AD BC FAD FEB FDA FBE FDA FBE i 当 FEC 90 时 在 ABC中 S ABC BC AE AC BO AE 在Rt AEB中 AEB 90 BE ii 当 EFC 90 时 点O是AC的中点 OF AC 3 DF 7 BF 1 FBE FDA 即 解得BE iii 因为点E在BC边上 所以点F在线段BO上 故 ECF ECA 90 故 ECF 90 这种情况不存在 综上所述 当 CEF为直角三角形时 BE的长为或 3 连接AC交BD于点O 连接GO 四边形ABCD为菱形 ABC 90 菱形ABCD为正方形 点A B C D在以O为圆心 OA为半径的圆上 2 2018莆田二检 24 如图 AD平分 BAC BD AD 垂足为点D 点P是AD上一点 PQ AC于点Q 连接BP DQ 1 求证 2 求证 DBP DQP 3 若BD 1 点P在线段AD上运动 不与A D重合 设DP t 点P到AB的距离为d1 点P到DQ的距离为d2 记S 求S与t之间的函数关系式 解析 1 证明 AD平分 BAC PAQ BAD PQ AC BD AD PQA BDA 90 PQA BDA 2 证明 由 1 知 又 PAB QAD PAB QAD APB AQD APB PDB DBP AQD AQP DQP 又 PDB AQP 90 DBP DQP 3 过点P分别作PG AB于点G PH DQ于点H 3 2017南平二检 25 如图 已知正方形ABCD的边长为2 以DC为底向正方形外作等腰 DEC 连接AE 以AE为腰作等腰 AEF 使得EA EF 且 DEC AEF 1 求证 EDC EAF 2 求DE BF的值 3 连接CF AC 当CF AC时 求 DEC的度数 解析 1 证明 AEF和 DEC是等腰三角形 且 DEC AEF EAF EDC EAF EDC EDC EAF 2 由 1 知 EDC EAF DC AB DEA 180 90 EDC DAE 90 EDC DAE BAF 90 EAF DAE BAF DEA BAF DEA 即DE BF DA AB 4 3 DEC AEF DEA CEF DE CE AE FE ADE FCE AD FC BC BAF DEA ABF EDA FBC CDE CBF和 EDC是等腰三角形 BCF DEC CF AC ACF 90 ACB 45 BCF 45 DEC 45 4 2016厦门质检 27 如图 在四边形ABCD中 ABC 90 点E F M N分别在AB AD DC CB边上 连接EF EN NM FM 若EF BD NM 1 1 求证 Rt ABC Rt EBN 2 当BD EF EN且四边形ABCD的面积为S时 判断四边形EFMN面积最大时的形状 解析 1 证明 1 可设 k 则 1 k EF BD 1 k 1 k ABC 90 BN k BC k Rt ABC Rt EBN 2 四边形EFMN为菱形时面积最大 由 1 得EN AC EF BD MN BD MF CA MF NE 四边形EFMN为平行四边形 Rt ABC Rt EBN k2 S EBN k2S ABC 命题立意本题考查相似三角形的证明 菱形等相关知识点 考查学生综合解题能力 属于难题