天津大学高等数学概要赵树嫄版复习课件.ppt

1 利用函数连续性求极限 代入法 2 用恒等变形消去零因子法求极限 3 用同除一个函数的方法求型极限 最高次项系数之比 4 利用两个重要极限求极限 5 利用无穷小性质求极限 6 利用等价无穷小代换求极限 7 利用极限存在的两个准则求极限 8 从左 右极限求分段函数在分界点处的极限 9 用洛必达法则求未定式的极限 1 极限求法小结 2 判定极限存在的准则 准则I夹逼准则 定理 若在内 或当时 有不等式成立 且则 1 2 3 两个重要极限 定义 4 无穷小的比较 5 定理 等价无穷小替换定理 常用等价无穷小 6 连续的定义 定理 连续的充要条件 单侧连续 1 跳跃间断点 2 可去间断点 7 间断点的分类 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点 特点 可去型 第一类间断点 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 第二类间断点 定理 有界性定理 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 定理 最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值 8 闭区间上连续函数的性质 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 9 导数的定义 2 右导数 单侧导数 1 左导数 10 基本导数公式 常数和基本初等函数的导数公式 11 求导法则 1 函数的和 差 积 商的求导法则 2 反函数的求导法则 3 复合函数的求导法则 4 对数求导法 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导方法求出导数 适用范围 5 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 6 参变量函数的求导法则 用定义 写成分段函数再求导 含绝对值符号的函数怎么求导 在分段点处怎么求导 分段函数的求导 12 高阶导数 记作 二阶导数的导数称为三阶导数 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 高阶导数的求法 1 由高阶导数的定义逐步求高阶导数 2 求出1 3或4阶后 分析结果的规律性 写出n阶导数 数学归纳法证明 3 利用已知的高阶导数公式 通过四则运算 变量代换等方法 求n阶导数 常用高阶导数公式 高阶导数的运算法则 莱布尼兹公式 13 微分的定义 定义 微分的实质 导数与微分的关系 定理 14 微分的求法 求法 计算函数的导数 乘以自变量的微分 基本初等函数的微分公式 函数和 差 积 商的微分法则 15 微分的基本法则 微分形式的不变性 罗尔中值定理 3 f a f b 减少一个条件 推广 16 几何解释 曲线y f x 至少有一条水平切线 三个微分中值定理 拉格朗日中值定理 3 f a f b 3 f a f b 1 几何解释 曲线y f x 至少有一条切线平行于连接曲线端点的弦 柯西中值定理 1 1 曲线至少有一条切线平行于连接曲线端点的弦 几何解释 曲线的参数式方程 x为参数 18 洛必达法则 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 关键 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 注意 洛必达法则的使用条件 2o 及时求出已定式的极限 1o 需要先验证条件 19 导数的应用 定理 1 函数单调性的判定法 定义 2 函数的极值及其求法 定理 必要条件 定义 函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 极值是函数的局部性概念 极大值可能小于极小值 极小值可能大于极大值 驻点和不可导点统称为临界点 定理 第一充分条件 定理 第二充分条件 求极值的步骤 步骤 1 求驻点和不可导点 2 求区间端点及驻点和不可导点的函数值 比较大小 那个大那个就是最大值 那个小那个就是最小值 注意 如果区间内只有一个极值 则这个极值就是最值 最大值或最小值 3 最大值 最小值问题 实际问题求最值应注意 1 建立目标函数 2 求最值 20 曲线的凹凸与拐点 定义 定理1 方法1 方法2 21 给定函数y f x 求其铅直渐近线及斜渐近线 两者的联系与区别 联系 它们的导数相同 都是f x 原函数是不定积分中的一个函数 区别 不定积分是函数族 22 原函数与不定积分 微分运算与求不定积分的运算是互逆的 不定积分的性质 23 基本积分公式 第二换元 分步积分 分步积分 第二换元 用第二换元法算得 25 第一类换元法 24 直接积分法 第一类换元公式 凑微分法 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法 常见类型 凑微分练习 反用第一换元法 常用的代换有三角代换 双曲代换 倒代换等 用于 是否需要其它的代换 具体问题 具体分析 26 第二类换元法 27 分部积分法 分部积分公式 选择u的有效方法 反对幂三指 哪个在前哪个选作u 28 几种特殊类型函数的积分 1 有理函数的积分 定义 两个多项式的商表示的函数称之 真分式化为部分分式之和的待定系数法 四种类型分式的不定积分 2 某些无理函数 有理化 为使其有理化 只需作变换 先配方 再作三角代换 即可有理化 关于不定积分的几点说明 1 原函数存在 但不是初等函数 或至少不是有限形式 的不定积分 有人称为可积但 积不出来 已经证明 积不出来 的积分有 2 对于较难的积分 首先考虑使用凑微分法 其次看可否用三角代换或分部分积法积出来 最后再依被积函数所属类型选择积分方法 3 使用积分表 3 证明 讨论 由零点定理知 综上 4 解 解法讨论 8 解 要使在处可导 必须使之在处连续 故必有于是 在各段内部是初等函数 故只需讨论分段点处的情况 16 设曲线方程为则 A 曲线没有渐近线 B 是曲线的渐近线 C 是曲线的渐近线 D 是曲线的渐近线 解因为所以是曲线的水平渐近线 17 在曲线上求一点使点处的切线与及所围成的三角形的面积最大 求的坐标 解切线方程为即 切线与的交点为 与的交点为 所围三角形面积为 由问题的实际意义可知 有最大值而无最小值 故也就是最大值点 此时即所求点为 18 解 奇函数 列表如下 极大值 拐点 极小值 作图 21 计算下列不定积分