泰安专版2019版中考数学第一部分基础知识过关第四章图形的初步认识与三角形第18讲直角三角形与三角函数.ppt

第18讲直角三角形与三角函数 总纲目录 泰安考情分析 基础知识过关 知识点一直角三角形的性质和判定1 直角三角形的性质 1 直角三角形的两个锐角 互余 2 在直角三角形中 30 的角所对的直角边等于斜边的 一半 3 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方 4 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 2 直角三角形的判定 1 有两个锐角 互余的三角形是直角三角形 2 如果三角形的两直角边长为a b 斜边长为c 且满足 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 温馨提示 1 勾股定理阐述的是直角三角形中三边之间的数量关系 即在直角三角形中 已知两边长度能够运用勾股定理求第三边的长度 2 勾股定理逆定理的作用 可以判断一个三角形是不是直角三角形 证明两条线段垂直 知识点二锐角三角函数1 锐角三角函数的定义如图 在Rt ABC中 C 90 A B C的对边分别为a b c 则 A的正弦sinA A的余弦cosA A的正切tanA 温馨提示 1 sinA cosA tanA表示的是一个整体 是指两条线段的比 没有单位 2 锐角三角函数的大小仅与角的大小有关 与该角所处的直角三角形的大小无关 2 特殊角的三角函数值 温馨提示30 45 60 角的正弦值的分母都是2 分子分别是1 由此可知 随着角 的度数的增大 正弦值逐渐增大 同理可得 随着角 的度数的增大 余弦值逐渐减小 3 三角函数之间的关系 1 同角三角函数之间的关系 sin2 cos2 1 tan 2 互余两角的三角函数之间的关系 若 A B 90 则sinA cosB sinB cosA 知识点三解直角三角形1 解直角三角形的定义 由直角三角形中除直角外的已知元素 求出所有未知元素的过程 叫做解直角三角形 2 直角三角形的边角关系在Rt ABC中 C 90 A B C的对边分别为a b c 1 三边之间的关系 a2 b2 c2 2 两个锐角之间的关系 A B 90 3 边角之间的关系 sinA cosA tanA sinB cosB tanB 温馨提示解直角三角形的思路可概括为 有斜 斜边 用弦 正弦 余弦 无斜用切 正切 宁乘勿除 取原避中 知识点四解直角三角形的实际应用1 解直角三角形应用中常见的术语 2 解直角三角形在实际问题中应用的一般步骤 1 将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形 转化为解直角三角形的问题 2 根据条件的特点 适当选用锐角三角函数解直角三角形 泰安考点聚焦 考点一直角三角形的性质和判定例1如图 在直角O的内部有一滑动杆AB 当端点A沿直线AO向下滑动时 端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动 如果滑动杆从图中AB处滑动到A B 处 那么滑动杆的中点C所经过的路径是 B A 直线的一部分B 圆的一部分C 双曲线的一部分D 抛物线的一部分 解析连接OC OC 如图 AOB 90 C为AB中点 OC AB A B OC 当端点A沿直线AO向下滑动时 AB的中点C到O的距离始终为定长 滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧 故选B 考点二锐角三角函数例2如图 在 ABC中 C 90 AB 5 BC 3 则cosA的值是 D A B C D 解析根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可 AB 5 BC 3 AC 4 cosA 故选D 变式2 1在 ABC中 若角A B满足 1 tanB 2 0 则 C的大小是 D A 45 B 60 C 75 D 105 解析由题意得 cosA tanB 1 则 A 30 B 45 则 C 180 30 45 105 故选D 考点三解直角三角形例3 2016泰安 如图 轮船沿正南方向以30海里 时的速度匀速航行 在M处观测到灯塔P在西偏南68 方向上 航行2小时后到达N处 观测灯塔P在西偏南46 方向上 若该船继续向南航行至离灯塔最近位置 则此时轮船离灯塔的距离约为 由科学计算器得到sin68 0 9272 sin46 0 7193 sin22 0 3746 sin44 0 6947 B A 22 48海里B 41 68海里C 43 16海里D 55 63海里 解析过点P作PG MN于G 依题意可知MN 60海里 PMN 22 PNG 44 MPN PMN NP MN 60海里 在Rt PNG中 sin PNG PG PN sin PNG PN sin44 60 0 6947 41 68 海里 此时轮船离灯塔的距离约为41 68海里 故选B 变式3 1如图 轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20 方向匀速航行 在B处观测灯塔A位于南偏东50 方向上 轮船航行40分钟到达C处 在C处观测灯塔A位于北偏东10 方向上 则C处与灯塔A的距离是 D A 20海里B 40海里C 海里D 海里 解析如图 作AM BC于M 由题意得 DBC 20 DBA 50 BC 60 40海里 NCA 10 则 ABC DBA DBC 50 20 30 BD CN BCN DBC 20 ACB ACN BCN 10 20 30 ACB ABC 30 AB AC AM BC于M CM BC 20海里 在Rt ACM中 AMC 90 ACM 30 AC 海里 故选D 温馨提示根据例题和变式训练可以发现 一般解直角三角形类题目的处理 可以看做是 割补 思想的拓展 即把原图形通过 割补 处理成有 公共边 的两个直角三角形 具体题目中 再根据公共边的 已知 或 未知 决定进行直接运算或者设未知数x 一 选择题1 2017浙江温州 如图 一辆小车沿倾斜角为 的斜坡向上行驶13米 已知cos 则小车上升的高度是 A A 5米B 6米C 6 5米D 12米 随堂巩固训练 2 如图 在 ABC中 C 90 B 30 AD是 ABC的角平分线 DE AB 垂足为E DE 1 则BC C A B 2C 3D 2 3 2018泰安 如图 M的半径为2 圆心M的坐标为 3 4 点P是 M上的任意一点 PA PB 且PA PB与x轴分别交于A B两点 若点A 点B关于原点O对称 则AB的最小值为 C A 3B 4C 6D 8 二 填空题4 2018泰安 如图 在矩形ABCD中 AB 6 BC 10 将矩形ABCD沿BE折叠 点A落在A 处 若EA 的延长线恰好过点C 则sin ABE的值为 解析由折叠知AB A B 6 在Rt A BC中 根据勾股定理得A C 8 设AE x 则A E x 在Rt DEC中 DE2 DC2 EC2 即 10 x 2 62 8 x 2 解得x 2 即AE的长为2 在Rt AEB中 求得sin ABE 5 2018滨州 在 ABC中 C 90 若tanA 则sinB 解析如图所示 C 90 tanA 设BC x 则AC 2x 故AB x 则sinB 三 解答题6 2018德州 如图 两座建筑物的水平距离BC为60m 从C点测得A点的仰角 为53 从A点测得D点的俯角 为37 求两座建筑物的高度 参考数据 sin37 cos37 tan37 sin53 4 cos53 tan35 解析过点D作DE AB于点E 则DE BC 60m 在Rt ABC中 tan53 AB 80m 在Rt ADE中 tan37 AE 45m BE CD AB AE 35m 答 两座建筑物的高度分别为80m和35m