天津一中2017届高三第三次月考数学试卷(文科)(解析版).doc

2016-2017学年天津一中高三第三次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集U=xN|x6，A=1，3，5，B=4，5，6，则（UA）B等于（）A0，2B5C1，3D4，624张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）ABCD3“a=1”是“函数f（x）=|xa|在区间1，+）上为增函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A4B5C6D75已知双曲线C1：=1（a0，b0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）ABx2=yCx2=8yDx2=16y6已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a1|）f（），则a的取值范围是（）A（，）B（，）（，+）C（，）D（，+）7函数f（x）=sin（2x+）（|）的图象向左平移个单位后关于原点对称，求函数f（x）在0，上的最小值为（）ABCD8已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=（|xa2|+|x2a2|3a2），若xR，f（x1）f（x），则实数a的取值范围为（）A，B，C，D，二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9已知a，bR，i是虚数单位，若（1+i）（1bi）=a，则的值为10若曲线y=ax+lnx在点（1，a）处的切线方程为y=2x+b，则b=11一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm312圆心在直线x2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A（2，0）、B（4，0），则圆C的方程为13在ABC中，BAC=90，AB=1，AC=2， =， =，DE的延长线交CA的延长线于点F，则的值为14已知mR，函数f（x）=，g（x）=x22x+2m1，若函数y=f（g（x）m有6个零点，则实数m的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15已知ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c cosB=2ab（I）求C；（）若cosB=，求cosA的值16某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产1桶甲产品需耗A原料3千克，B原料1千克，生产1桶乙产品需耗A原料1千克，B原料3千克每生产一桶甲产品的利润为400元，每生产一桶乙产品的利润为300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A、B原料都不超过12千克设公司计划每天生产x桶甲产品和y桶乙产品（）用x，y列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中用阴影表示相应的平面区域；（）该公司每天需生产甲产品和乙产品各多少桶时才使所得利润最大，最大利润是多少？17如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，ABCD，DAB=60，AB=AD=2CD，侧面PAD底面ABCD，且PAD为等腰直角三角形，APD=90，M为AP的中点（）求证：ADPB；（）求证：DM平面PCB；（）求PB与平面ABCD所成角的大小18设Sn为数列an的前n项和，且对任意nN*时，点（an，Sn）都在函数f（x）=的图象上（）求数列an的通项公式；（）设bn=，求数列bn的前n项和Tn的最大值19在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1（ab0）的离心率为，点（2，1）在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点若直线l过椭圆C的右焦点F，求OPQ的面积；求证：OPOQ20已知函数f（x）=ax3+bx2+（ba）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f（x）（1）当时，若存在x3，1使得f（x）0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f（x）在（1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y3=0，关于x的方程在1，t（t1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围2016-2017学年天津一中高三（山个）第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集U=xN|x6，A=1，3，5，B=4，5，6，则（UA）B等于（）A0，2B5C1，3D4，6【考点】交、并、补集的混合运算【分析】化简集合U，根据集合的补集的定义求出CUA，再根据两个集合的交集的定义求出（CUA）B【解答】解：全集U=xN|x6=0，1，2，3，4，5，6 ，A=1，3，5，B=4，5，6，CUA=0，2，4，6，（CUA）B0，2，4，64，5，6=4，6故选D24张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】列举出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可【解答】解：从1，2，3，4中随机取出两个不同的数的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6个，其中和为偶数的有（1，3），（2，4）共2个，由古典概型的概率公式可知，从1，2，3，4中随机取出两个不同的数，则其和为偶数的概率为故答案为：3“a=1”是“函数f（x）=|xa|在区间1，+）上为增函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】函数f（x）=|xa|的图象是关于x=a对称的折线，在a，+）上为增函数，由题意1，+）a，+），可求a的范围【解答】解：若“a=1”，则函数f（x）=|xa|=|x1|在区间1，+）上为增函数；而若f（x）=|xa|在区间1，+）上为增函数，则a1，所以“a=1”是“函数f（x）=|xa|在区间1，+）上为增函数”的充分不必要条件，故选A4某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A4B5C6D7【考点】程序框图【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，即可得出结论【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是 否继续循环 S k循环前/0 0第一圈 是 1 1第二圈 是 3 2第三圈 是 11 3第四圈 是 2059 4第五圈 否最终输出结果k=4故选：A5已知双曲线C1：=1（a0，b0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）ABx2=yCx2=8yDx2=16y【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程【解答】解：双曲线C1：的离心率为2所以，即： =4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8抛物线C2的方程为x2=16y故选D6已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a1|）f（），则a的取值范围是（）A（，）B（，）（，+）C（，）D（，+）【考点】函数单调性的性质【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+）递减，故只需令2|a1|即可【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，f（x）在（0，+）上单调递减2|a1|0，f（）=f（），2|a1|=2|a1|，解得故选：C7函数f（x）=sin（2x+）（|）的图象向左平移个单位后关于原点对称，求函数f（x）在0，上的最小值为（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数的最值【分析】由条件根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得+=k，kz，由此根据|求得的值【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）（|）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin2（x+）+=sin（2x+）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+=k，kz，=，f（x）=sin（2x），由题意x0，得2x，sin（2x），1函数y=sin（2x）在区间0，的最小值为故选：A8已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=（|xa2|+|x2a2|3a2），若xR，f（x1）f（x），则实数a的取值范围为（）A，B，C，D，【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用【分析】把x0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x0时的函数的最大值，由对xR，都有f（x1）f（x），可得2a2（4a2）1，求解该不等式得答案【解答】解：当x0时，f（x）=，由f（x）=x3a2，x2a2，得f（x）a2；当a2x2a2时，f（x）=a2；由f（x）=x，0xa2，得f（x）a2当x0时，函数f（x）为奇函数，当x0时，对xR，都有f（x1）f（x），2a2（4a2）1，解得：故实数a的取值范围是故选：B二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9已知a，bR，i是虚数单位，若（1+i）（1bi）=a，则的值为2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程，解得a，b的值，进而可得答案【解答】解：（1+i）（1bi）=1+b+（1b）i=a，a，bR，解得：，=2，故答案为：210若曲线y=ax+lnx在点（1，a）处的切线方程为y=2x+b，则b=1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，再由切线方程得到斜率，解方程求得a=1，再代入切线方程，得到b【解答】解：y=ax+lnx的导数为y=a+，则在点（1，a）处的切线斜率为a+1，由于在点（1，a）处的切线方程为y=2x+b，则有a+1=2，即a=1，则1=2+b，解得b=1故答案为：111一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为16cm3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，其中左侧面、后侧面与底面垂直利用体积计算公式即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，其中左侧面、后侧面与底面垂直该几何体的体积=16cm2故答案为：1612圆心在直线x2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A（2，0）、B（4，0），则圆C的方程为（x+3）2+（y2）2=5【考点】圆的标准方程【分析】先由条件求得圆心的坐标为C（3，2），半径r=|AC|=，从而得到圆C的方程【解答】解析：直线AB的中垂线方程为x=3，代入直线x2y+7=0，得y=2，故圆心的坐标为C（3，2），再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=，圆C的方程为 （x+3）2+（y2）2=5，故答案为 （x+3）2+（y2）2=513在ABC中，BAC=90，AB=1，AC=2， =， =，DE的延长线交CA的延长线于点F，则的值为【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意建立如图所示的平面直角坐标系，结合已知求出D、F的坐标，进一步求得、的坐标，则答案可求【解答】解：如图，分别以AC、AB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），C（2，0），B（0，1），=，E（0，），又=，得D（），设F（m，0），则，由，得，即m=，则=故答案为：14已知mR，函数f（x）=，g（x）=x22x+2m1，若函数y=f（g（x）m有6个零点，则实数m的取值范围是（0，）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】令g（x）=t，由题意画出函数y=f（t）的图象，利用y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点，可知要使函数y=f（g（x）m有6个零点，则t=x22x+2m1中每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，求出y=f（t）与y=m交点横坐标的最小值，由其绝对值大于2m2，结合0m3求得实数m的取值范围【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示，令g（x）=t，y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点，当有3个零点，则0m3，从左到右交点的横坐标依次t1t2t3，由于函数y=f（g（x）m有6个零点，t=x22x+2m1，则每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，函数t=x22x+2m1对称轴x=1，则t的最小值为12+2m1=2m2，由图可知，2t1+1=m，则，由于t1是交点横坐标中最小的，满足，又0m3，联立得0实数m的取值范围是（0，）故答案为：（0，）三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15已知ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c cosB=2ab（I）求C；（）若cosB=，求cosA的值【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（I）已知等式利用正弦定理化简，把sinA=sin（B+C）代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理求出cosC的值，即可确定出C的度数；（）由cosB的值，求出sinB的值，cosA变形为cos（B+C），利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值【解答】解：（I）由正弦定理得2sinCcosB=2sinAsinB，即2sinCcosB=2sin（C+B）sinB，2sinCcosB=2sinCcosB+2cosCsinBsinB，即2cosCsinBsinB=0，sinB0，2cosC=0，即cosC=，0C，C=；（）cosB=，0C，sinB=，cosA=cos（B+C）=（cosBcosCsinBsinC）=+=16某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产1桶甲产品需耗A原料3千克，B原料1千克，生产1桶乙产品需耗A原料1千克，B原料3千克每生产一桶甲产品的利润为400元，每生产一桶乙产品的利润为300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A、B原料都不超过12千克设公司计划每天生产x桶甲产品和y桶乙产品（）用x，y列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中用阴影表示相应的平面区域；（）该公司每天需生产甲产品和乙产品各多少桶时才使所得利润最大，最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用【分析】（）根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件；（）利用线性规划的知识进行求解即可得到目标函数利润的最大值【解答】解：（）设每天生产甲产品x桶，乙产品y桶，则x，y满足条件的数学关系式为该二元一次不等式组表示的平面区域（可行域）如图（）设利润总额为z元，则目标函数为：z=400x+300y 如图，作直线l：400x+300y=0，即4x+3y=0当直线y=x+经过可行域上的点A时，截距最大，即z最大解方程组得，即A（3，3），代入目标函数得zmax=2100 答：该公司每天需生产甲产品3桶，乙产品3桶才使所得利润最大，最大利润为2100元17如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，ABCD，DAB=60，AB=AD=2CD，侧面PAD底面ABCD，且PAD为等腰直角三角形，APD=90，M为AP的中点（）求证：ADPB；（）求证：DM平面PCB；（）求PB与平面ABCD所成角的大小【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【分析】（）取AD的中点G，连结PG，GB，BD，推导出PGAD，BGAD，从而AD平面PBG，由此能证明ADPB （）取PB的中点N，连结MN，CN，推导出四边形MNCD是平行四边形，由此能证明DM平面PCB （）推导出PG底面ABCD，则PBG为PB与平面ABCD所成的角，由此能求出PB与平面ABCD所成的角【解答】（本小题满分13分）证明：（）取AD的中点G，连结PG，GB，BDPAD为等腰直角三角形，且APD=90，PA=PD，PGADAB=AD，且DAB=60，ABD是等边三角形BGAD又PGBG=G，AD平面PBGADPB （）取PB的中点N，连结MN，CNM，N分别是PA，PB的中点，MNAB，MN=AB又ABCD，CD=，MNCD，MN=CD四边形MNCD是平行四边形DMCN又CN平面PCB，DM平面PCB，DM平面PCB 解：（）侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCD=AD，又PGAD，PG底面ABCDPBG为PB与平面ABCD所成的角设CD=a，则PG=a，BG=在RtPBG中，tanPBG=，PBG=30PB与平面ABCD所成的角为3018设Sn为数列an的前n项和，且对任意nN*时，点（an，Sn）都在函数f（x）=的图象上（）求数列an的通项公式；（）设bn=，求数列bn的前n项和Tn的最大值【考点】等比数列的前n项和；数列的函数特性【分析】（）由题意得，再由和等比数列的定义，求出数列an的通项公式；（）由（）和等比数列的前n项和公式化简bn，再由等差数列的定义证明出数列bn是等差数列，再由求出n的范围，根据n取正整数和等差数列的前n项和公式，确定、并求出Tn的最大值【解答】解：（）因为点（an，Sn）都在函数的图象上所以，当n=1时，当n2时，所以，an是公比为，首项为的等比数列，；（）因为an是公比为，首项为的等比数列，所以，数列bn是以为首项，公差为的等差数列，且单调递减由，所以，即，n=6，数列bn的前n项和的最大值为19在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1（ab0）的离心率为，点（2，1）在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点若直线l过椭圆C的右焦点F，求OPQ的面积；求证：OPOQ【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出椭圆的几何量，即可得到椭圆方程（2）椭圆C的右焦点设切线方程为，利用点到直线的距离公式，求出K得到直线方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，得到PQ，然后求解三角形的面积（i）若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为或利用，推出OPOQ（ii）若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+m，通过，将直线PQ方程代入椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，结合m2=2k2+2，推出结果【解答】解：（1）由题意，得，解得a2=6，b2=3所以椭圆的方程为（2）椭圆C的右焦点设切线方程为，即，所以，解得，所以切线方程为由方程组解得或，所以因为O到直线PQ的距离为，所以OPQ的面积为综上所述，OPQ的面积为（i）若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为或当时，因为，所以OPOQ当时，同理可得OPOQ（ii）若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+m，即kxy+m=0因为直线与圆相切，所以，即m2=2k2+2将直线PQ方程代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m26=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，因为=将m2=2k2+2代入上式可得，所以OPOQ综上所述，OPOQ20已知函数f（x）=ax3+bx2+（ba）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f（x）（1）当时，若存在x3，1使得f（x）0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f（x）在（1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y3=0，关于x的方程在1，t（t1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合【分析】（1）当时，f（x）=，由二次函数的性质，分类讨论可得答案；（2）因为f（x）=3ax2+2bx+（ba），所以f（0）=ba，f（1）=2ab，再由a，b不同时为零，所以，故结论成立；（3）将“关于x的方程在1，t（t1）上有且只有一个实数根”转化为“函数f（x）与的交点”问题解决，先求函数f（x）因为f（x）=ax3+bx2+（ba）x为奇函数，可解得b=0，所以f（x）=ax3ax，再由“f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y3=0”解得a，从而得到f（x），再求导，由，知f（x上是増函数，在上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解【解答】解：（1）当时，f（x）=，其对称轴为直线x=b，当，解得，当，b无解，所以b的取值范围为；（2）因为f（x）=3ax2+2bx+（ba），f（0）=ba，f（1）=2ab，由于a，b不同时为零，所以，故结论成立（3）因为f（x）=ax3+bx2+（ba）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax3ax，又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y3=0所以a=1，即f（x）=x3x因为所以f（x）在上是増函数，在上是减函数，由f（x）=0解得x=1，x=0，如图所示，当时，即，解得；当时，或，解得；当时，或，即，解得；当时，或或，故当时，或，解可得t=，当时，无解所以t的取值范围是或或t=2017年1月31日