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第9讲消元法在解题中的应用方法精要在一些较复杂的题目中，若含有两个或两个以上的未知数时，为了保证先求出其中的一种数量，往往要通过对某些数量的比较，设法先消去一个或几个未知量，从而把一道数量关系复杂的题目变成简单的题目解出来，这种解题方法就是消元法用消元法解题时注意以下几点：1把条件写成几个等式，并排列在一起进行比较，如果有一种量的数相同，就很容易把这种量消去2如果两种量的数都不相同，可以用一个数去乘等式的两边，使其中的一个量的数相同然后消去这个量3解答后，可以把结果代入条件列出的每一个等式中计算，检验是否符合题意题型一消元法在平面向量中的应用例1设a，b，c，d，e，且2ab，cbd,2e3b4d，求证：点C是线段AE的中点破题切入点本题涉及到的向量比较多，观察结论，根据结论的要求，只需证明c(ae)，因此，只要不断消元，即可得到向量c，a，e的关系证明因为2ab，cbd，所以b2a，dc2a，代入2e3b4d，可得2e32a4(c2a)，整理得c(ae)，所以点C是线段AE的中点题型二消元法在解析几何中的应用例2已知双曲线1(a1，b0)的焦距为2c，离心率为e，若点(1,0)与(1,0)到直线1的距离之和Sc，则e的取值范围是_破题切入点根据已知的不等式找a，c所满足的不等式，转化为关于离心率e的不等式，通过这个不等式解得双曲线的离心率的范围答案，解析Sc，2c25ab，即4c425a2(c2a2)，即4c425a2c225a40，即4e425e2250，解得e25，即e.总结提高消元思想是中学数学的重要思想方法之一，它既可以显性的表现为具体的技能，如降幂、减少变量的个数等，又指导着思维的方向，如对题设或结论的简化意识等，在解题的动态思维过程中，如能紧扣消元的数学思想，重视消元法的应用，就会尝到柳暗花明又一村带来的乐趣1已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0，且a1)，若g(2)a，则f(2)的值为_答案解析因为f(x)g(x)axax2，则f(x)g(x)axax2，联立可得g(x)2，又因为g(2)a，故a2.因为f(2)g(2)a2a22，g(2)a，则f(2)a2a22a222222.2(2013浙江改编)已知R，sin 2cos ，则tan 2的值为_答案解析因为sin 2cos ，又sin2cos21，联立解得或故tan ，或tan 3，代入可得tan 2，或tan 2.3设m1，在约束条件下，目标函数zxmy的最大值小于2，则m的取值范围为_答案(1,1)解析画出可行域，或分别解方程组得到三个区域端点(0,0)，(，)，(，)，当且仅当直线zxmy过点(，)时，z取到最大值zb0)的离心率e，右焦点为F(c,0)，方程ax22bxc0的两个实根分别是x1和x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为_答案解析因为e，所以a2c，由a2b2c2，得，x1x2，x1x2，点P(x1，x2)到原点(0,0)的距离d.5过抛物线y28x的焦点F作倾斜角为135的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为_答案16解析抛物线y28x的焦点F的坐标为(2,0)，直线AB的倾斜角为135，故直线AB的方程为yx2代入抛物线方程y28x，得x212x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长AB|x1x2|16.6抛物线y24x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(1,0)，则的最小值是_答案解析由题意知x0，则焦点F(1,0)，PFx1，PA，当x0时，1；当x0时，10，b0)的离心率e2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，则k1k2的值为_答案3解析由题意知e2，则b23a2，双曲线方程可化为3x2y23a2，设A(m，n)，M(x，y)，则B(m，n)，k1k23.8已知圆C1 ：x2y22x2y20和圆C2：x2y24x4y10，则过两圆交点的公共弦所在直线方程为_答案2x2y10解析联立两圆的方程，消去二次项即得公共弦所在直线的方程2x2y10.9设x，yR，且xy0，则(x2)(4y2)的最小值为_答案9解析(x2)(4y2)54x2y2529，当且仅当x2y2时等号成立10设a，b，c，d，m，n，p，q是不同时为零的实数，如果manbpcqd0，且(mn)2(pq)20.求证：A，B，C，D共线或ABCD.证明因为(mn)2(pq)20，m，n，p，q是不同时为零的实数，mn，pq，代入manbpcqd0得n(ba)q(dc)nq，n0，(否则m，p，q均为零)，即A，B，C，D共线或ABCD.11.如图，已知抛物线C：y22px(p0)上横坐标为3的一点，与其焦点的距离为4.(1)求p的值；(2)设动直线yxb(b3)与抛物线C相交于A、B两点，问在直线l：y2上是否存在与b的取值无关的定点M，使得AMB被直线l平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解(1)由已知得|3|4，p0，p2.(2)令A(x1，y1)，B(x2，y2)，设存在点M(a,2)满足条件，由已知得kAMkBM，即有0，x1，x2；整理得y1y2(y1y2)4a(y1y2)2(yy)16a0；由得y24y4b0，即y1y24，y1y24b，则4b(4)4a(4)2(4)28b16a0，a1，因此存在点M(1,2)，而当b3时线段AB在点M(1，2)的左上方，满足题意12已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M(1，)(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由题意得解得a24，b23.故椭圆C的方程为1.(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为yk1(x2)1，代入椭圆C的方程得，(34k)x28k1(2k11)x16k16k180.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以8k1(2k11)24(34k)(16k16k18)32(6k13)0，所以k1.又x1x2，x1x2，因为2，即(x12)(x22)(y11)(y21)，所以(x12)(x22)(1k)2.即x1x22(x1x2)4(1k).所以24(1k)，解得k1.因为k1，所以k1.于是存在直线l1满足条件，其方程为yx.
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