高考数学一轮总复习 第七章 解析几何 第8讲 轨迹与方程课件(理).ppt

第8讲轨迹与方程 1 已知 ABC的顶点B 0 0 C 5 0 AB边上的中线长 CD 3 则顶点A的轨迹方程为 2 在平面直角坐标系xOy中 已知抛物线关于x轴对称 顶点在原点O 且过点P 2 4 则该抛物线的方程是 3 动点P到点F 2 0 的距离与它到直线x 2 0的距离相等 则点P的轨迹方程为 x 10 2 y2 36 y 0 y2 8x y2 8x 4 设圆C与圆x2 y 3 2 1外切 与直线y 0相切 则 圆C的圆心轨迹为 A 抛物线C 椭圆 B 双曲线D 圆 A 考点1 利用直接法求轨迹方程 例1 如图7 8 1 已知点C的坐标是 2 2 过点C的直线CA与x轴交于点A 过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B 设点M是线段AB的中点 求点M的轨迹方程 图7 8 1 解 方法一 直接法 设点M的坐标为 x0 y0 则点A的坐标为 2x0 0 点B的坐标为 0 2y0 因为直线CA垂直于直线CB 化简 得x0 y0 2 0 所以点M的轨迹方程为x y 2 0 方法二 参数法 若CA x轴 则CB y轴 故A为 2 0 B为 0 2 所以M为 1 1 若CA不垂直x轴 则设直线CA的方程为y 2 k x 2 两式相加 得x0 y0 2 即x0 y0 2 0 x0 1 又 1 1 在直线x0 y0 2 0上 所以点M的轨迹方程为x y 2 0 到点C O的距离相等 故点M在线段OC的垂直平分线上 又线段OC的垂直平分线过OC中点 1 1 斜率k 1 即y 1 x 1 化简 得x y 2 0 所以点M的轨迹方程为x y 2 0 规律方法 求轨迹的步骤是 建系 设点 列式 化简 建系的原则是特殊化 把图形放在最特殊的位置上 这类问题一般需要通过对图形的观察 分析 转化 找出一个关于动点的等量关系 互动探究 1 a 0 b 0 的一个焦点 且双曲线的离心率为2 则该双曲线的方程为 考点2 利用定义法求轨迹方程 图D39 例2 已知圆C1 x 3 2 y2 1和圆C2 x 3 2 y2 9 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切 求动圆圆心M的轨迹方程 解 如图D39 设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B 根据两圆外切的充要条件 得 MC1 AC1 MA MC2 BC2 MB 因为 MA MB 所以 MC2 MC1 BC2 AC1 3 1 2 这表明动点M到两定点C2 C1的距离之差是常数2 规律方法 本题考查了双曲线的定义 可以利用相同方 法解决以下变式 互动探究 2 已知动圆M与圆C1 x 3 2 y2 64内切 与圆C2 x 3 2 y2 4外切 求动圆圆心M的轨迹方程 解 设动圆M的半径为r 根据两圆相切的充要条件 得 MC1 8 r MC2 2 r 所以 MC2 MC1 10 这表明动点M到两定点C2 C1的距离之和是常数10 根据椭圆的定义 动点M的轨迹为椭圆 即2a 10 a 5 又 C1C2 6 2c 则c 3 b2 a2 c2 16 3 已知动圆M过定点A 3 0 并且内切于定圆B x 3 2 y2 64 则动圆圆心M的轨迹方程为 解析 设动圆M半径为r 根据两圆相切的充要条件 得 MB 8 r MA r 所以 MA MB 8 这表明动点M到两定点C2 C1的距离之和是常数8 根据椭圆的定义 动点M的轨迹为椭圆 这里a 4 c 3 则b2 7 设点M的坐标为 x 考点3利用相关点法求轨迹方程例3 已知点A在圆x2 y2 16上移动 点P为连接M 8 0 和点A的线段的中点 求点P的轨迹方程 规律方法 动点P x y 依赖于另一动点Q x0 y0 的变化而变化 并且Q x0 y0 又在某已知曲线上 则可先用x y的代数式表示x0 y0 再将x0 y0代入已知曲线方程得出要求的轨迹方程 这种求轨迹方程的方法叫相关点法 也叫转移法 互动探究 4 设定点M 3 4 动点N在圆x2 y2 4上运动 以OM ON为两边作平行四边形MONP 求点P的轨迹方程 思想与方法 轨迹方程中的分类讨论 例题 2014年广东汕头一模 由人教版选修1 1P35 例3改编 已知动点P x y 与两个定点M 1 0 N 1 0 的连线的斜率之积等于常数 0 1 求动点P的轨迹C的方程 2 试根据 的取值情况讨论轨迹C的形状 解 1 由题设知 PM PN的斜率存在且不为0 2 讨论如下 当 0时 轨迹C为中心在原点 焦点在x轴上的双曲线 除去顶点 当 1 0时 轨迹C为中心在原点 焦点在x轴上的椭圆 除去长轴上的两个端点 当 1时 轨迹C为以原点为圆心 1为半径的圆 除 去点 1 0 1 0 当 1时 轨迹C为中心在原点 焦点在y轴上的椭 圆 除去短轴上的两个端点 互动探究 解 设点M的坐标为 x y 6 设点A B的坐标分别为 5 0 5 0 直线AM BM相交于点M 且它们的斜率之积是 1 求点M的轨迹方程 解 设点M的坐标为 x y 解 设点M的坐标为 x y 能用定义法求轨迹方程可以减少大量的运算 因此对椭圆 双曲线 抛物线的定义要理解透彻 利用参数法求轨迹方程要注意参数的范围 要注意转化的等价性