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第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 6 1数字滤波器的基本概念6 2模拟滤波器的设计6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器6 4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器6 5数字高通 带通和带阻滤波器的设计 6 1数字滤波器的基本概念 数字滤波器 输入输出均为数字信号 经过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件 优点 与模拟滤波器比 精度高 稳定 体积小 重量轻 灵活 不要求阻抗匹配 能实现模拟滤波器 AF 无法实现的特殊滤波功能 1 数字滤波器的分类2 数字滤波器的技术要求3 数字滤波器设计方法概述 1 数字滤波器的分类 经典滤波器 输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带 通过选频滤波器达到目的 现代滤波器 如维纳滤波器 卡尔曼滤波器 自适应滤波器等最佳滤波器 按随机信号内部的统计分布规律 从干扰中最佳提取信号 数字滤波器的频响函数都以为周期 滤波器的低通频带处于整数倍处 高频频带处于的奇数倍附近 从功能上分类 低通 高通 带通 带阻滤波器 其他较复杂的特性可以由基本滤波器组合 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类 无限脉冲响应 IIR 滤波器 有限脉冲响应 FIR 滤波器 2 数字滤波器的技术要求 通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器 1 数字滤波器的传输函数H ej 其中 幅频特性 信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况相频特性 各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况 低通滤波器的技术要求 选频滤波器 一般要求幅频特性 相频特性一般不要求 但若对输出波形有要求 则需要考虑相频特性的技术指标 如语音合成 波形传输 若对输出波形有严格要求 则需设计线性相位数字滤波器 实用滤波器 通带 不一定完全水平阻带 不一定绝对衰减到零过渡带 通带 阻带之间设置一定宽度的过渡带 2 数字滤波器的幅频特性 H ej 的指标 p 通带截止频率 通带频率范围 0 p S 阻带截止频率 阻带频率范围 s C 3dB截止频率 P 通带最大衰减 S 阻带最小衰减 1 通带内幅度响应误差范围 2 阻带内幅度响应误差范围 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示 p和 s分别定义为 如将 H ej0 归一化为1 上两式则表示成当幅度衰减到 2 2倍时 所对应频率 c 此时 P 3dB 称 c为3dB截止频率 1 通带边界频率2 阻带截止频率 过渡带 一般单调下降 通带内允许的最大衰减 阻带内允许的最小衰减 3dB通带截止频率 3dB时的 边界频率 例 低通滤波器的技术要求 IIR滤波器设计方法借助模拟滤波器设计方法 直接设计法 直接在频域或时域设计 需计算机辅助设计 FIR滤波器设计方法窗函数法频率采样法等波纹逼近法 需计算机辅助设计 线性相位滤波器设计方法FIR滤波器 常用 相位特性严格线性 这是AF无法达到的 IIR滤波器 必须使用全通网络对其非线性相位特性进行相位校正 3 数字滤波器设计方法概述 3 数字滤波器设计方法IIR滤波器设计方法 1 先设计模拟滤波器 AF 的传输函数Ha s 然后按某种变换 将Ha s 转换成数字滤波器的系统函数H z 2 借助计算机辅助设计在频域或时域直接进行设计 FIR滤波器设计方法 1 经常采用的是窗函数设计法和频率采样法 2 用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟 且有若干典型的模拟滤波器可以选择 如 巴特沃斯 Butterworth 滤波器 切比雪夫 Chebyshev 滤波器 椭圆 Kllipse 滤波器 贝塞尔 Bessel 滤波器等这些滤波器都有严格的设计公式 现成的曲线和图表供设计人员使用 6 2模拟滤波器的设计 各种理想模拟滤波器的幅度特性 1 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 1 模拟低通滤波器的设计指标有 p s p s其中 p和 s分别称为通带截止频率和阻带截止频率 p是通带 0 p 中的最大衰减系数 s是阻带 s的最小衰减系数 p和 s一般用dB数表示 对于单调下降的幅度特性 可表示成 Ha j0 2 Ha j0 2 如果 0处幅度已归一化到1 即 Ha j0 1 c称为3dB截止频率 因 2 用模拟滤波器逼近方法设计数字IIR滤波器步骤 给出模拟滤波器的技术指标 设计传输函数Ha s 使其幅度平方函数满足给定指标 p和 s Ha j 2 Ha j Ha j Ha s Ha s S j 确定Ha s 系统Ha s 应是稳定的系统 因此 极点应位于S左半平面内 6 2模拟滤波器的设计 模拟滤波器若干典型滤波器 巴特沃斯 Butterworth 滤波器切比雪夫 Chebyshev 滤波器椭圆 Cauer 滤波器贝塞尔 Bessel 滤波器等 模拟滤波器的分类 按幅频特性 低通 高通 带通 带阻 图6 2 1各种理想滤波器的幅频特性 1 p 通带截止频率2 s 阻带截止频率 1 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标 低通滤波器的幅度特性 3 通带 0 p 内允许的最大衰减 p4 阻带 s内允许的最小衰减 s5 3dB通带截止频率 p 3dB时的 c 6 归一化的 p和 s如果 0处幅度已归一化到1 即 Ha j0 1 对于单调下降的幅度特性 滤波器的技术指标给定后 需要设计一个传输函数Ha s 希望其幅度平方函数满足给定的指标 p和 s 一般滤波器的单位冲激响应为实数 因此 传输函数设计方法 注意 Ha s 必须是稳定的 因此其极点落在s平面的左半平面 6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 1 从模拟滤波器到数字滤波器的设计过程 按照设计要求设计一个模拟低通滤波器 得到模拟低通滤波器的传输函数Ha s 再按一定的转换关系将Ha s 转换成数字低通滤波器的系统函数H Z 关键问题 将s平面上的Ha s 转换成Z平面上的H Z 为了保证转换后的H z 稳定且满足技术要求 对转换关系提出两点要求 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器 仍是因果稳定的 即S平面的左半平面Re s 0必须映射到Z平面单位圆的内部 z 1 2 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响 s平面的虚轴映射z平面的单位圆 相应的频率之间成线性关系 通过对连续函数等间隔采样得到离散序列使 T为采样间隔 它是一种时域上的转换方法 2 脉冲响应不变法的转换原理 核心原理 转换步骤 设模拟滤波器Ha s 只有单阶极点 且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次 将Ha s 用部分分式表示 6 3 1 将Ha s 进行逆拉氏变换得到ha t 6 3 2 si为Ha s 的单阶极点 u t 是单位阶跃函数 设模拟滤波器的传输函数为Ha s 相应的单位冲激响应是ha t 6 3 3 对上式进行Z变换 得到数字滤波器的系统函数H z 6 3 4 对ha t 进行等间隔采样 采样间隔为T 得到 设ha t 的采样信号用表示 1 拉氏变换与Z变换的映射关系 6 3 5 对进行拉氏变换 得到 ha nT 是ha t 在采样点t nT时的幅度值 它与序列h n 的幅度值相等 即h n ha nT 因此得到 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示 6 3 6 标准映射关系 按照 6 3 6 式 得到 因此得到 6 3 10 设 2 s平面与Z平面的映射 那么 0 r 1 0 r 1另外 注意到z esT是一个周期函数 可写成 为任意整数 图6 3 1z esT s平面与z平面之间的映射关系 模拟信号ha t 的傅里叶变换Ha j 和其采样信号的傅里叶变换之间的关系满足 6 3 7 将s j 代入上式 得 由 6 3 5 式和 6 3 8 式得到 6 3 8 6 3 9 表明将模拟信号ha t 的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期 s 2 T延拓后 再按照 6 3 6 式映射关系 映射到z平面上 就得到H z 图6 3 2脉冲响应不变法的频率混叠现象 3 混叠失真 假设没有频率混叠现象 即满足按照 6 3 9 式 并将关系式s j 代入 T 代入得到 令 4 与的关系 那么 此时 极点为 6 3 11 可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节 只有实数乘法 的形式为 6 3 12 3 二阶基本节 一般Ha s 的极点si是一个复数 且以共轭成对的形式出现 在 6 3 1 式中将一对复数共轭极点放在一起 形成一个二阶基本节 如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为 如果模拟滤波器二阶基本节的形式为 极点为 6 3 13 6 3 14 则对应的数字滤波器的二阶基本阶的形式为 6 总结 脉冲响应不变法的优点 1 频率坐标变换是线性的 即 T 如果不考虑频率混叠现象 用这种方法设计的数字滤波器会很好的重现原模拟滤波器的频率特性 2 数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应 时域特性逼近好 脉冲响应不变法的缺点 会产生混叠现象 适合低通 带通滤波器的设计 不适合高通 带阻滤波器的设计 5 例6 3 1已知模拟滤波器的传输函数Ha s 为用脉冲响应不变法将Ha s 转换成数字滤波器的系统函数H z 极点为 那么H z 的极点为 解 首先将Ha s 写成部分分式 转换时 也可以直接按照 6 3 13 6 3 14 式进行转换 首先将Ha s 写成 6 3 13 式的形式 如极点s1 s2 1 j 1 则 按照 6 3 4 式 并经过整理 得到 设T 1s时用H1 z 表示 T 0 1s时用H2 z 表示 则 再按照 6 3 14 式 H z 为 图6 3 3例6 3 1的幅度特性 复习 数字滤波器的幅频响应函数滤波器的指标常常在频域给出 数字滤波器的频响特性函数H ej 一般为复函数 所以通常表示为H ej H ej ej 其中 H ej 称为幅频特性函数 称为相频特性函数 常用的典型滤波器 H ej 是归一化的 即 H ej max 1 对IIR数字滤波器 通常用幅频响应函数 H ej 来描述设计指标 注意 H ej 是以2 为周期的 这是数字滤波器与模拟滤波器的最大区别 只给出主值区 区间上的设计指标描述即可 1和 2分别称为通带波纹幅度和阻带波纹幅度 p为通带边界频率 p为通带最大衰减 dB s为阻带边界频率 s为阻带最小衰减 dB 一般要求 当0 p时 20lg Hej p 当 s 时 s 20lg H ej 当 p 3dB时 记 p为 c 称 c为3dB截止频率 脉冲响应不变法的缺点 频谱混叠 使DF的频响偏离AF的频响特性原因 模拟低通滤波器不是带限于 T 在数字化后产生频谱混叠 再通过标准映射关系 使数字滤波器在 附近形成频谱混叠 解决办法 采用非线性频率压缩方法 将整个频率轴压缩到 T T 再利用z esT转换到Z平面上 脉冲响应不变法的特点 1 优点 1 数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能 2 频率坐标的变换是线性的 3 如果H s 是稳定的 映射后得到的H Z 也是稳定的2 缺点 有频谱周期延拓效应 只能用于带限的频响特性高频衰减越大 频响的混淆效应越小 3 解决的办法 1 增加一保护滤波器 滤掉高于折叠频率的频带会增加设计的复杂性和滤波器阶数 2 克服标准映射关系的多值对应关系设想变换分为两步 第一步 将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里 第二步 通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去 由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系 消除多值性 也就消除了混叠现象 6 4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 1 双线性变换法的基本原理 S平面的整个j 轴被压缩到S1平面的2 T一段 6 4 3 6 4 4 图6 4 1双线性变换法的映射关系 2 模拟频率 和数字频率 之间的关系 令s j z ej s平面上 与z平面上的 成非线性关系 在零频率附近 接近于线性关系 进一步增加时 增长变得缓慢 终止于折叠频率处 所以双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象 3 双线性变换法的缺点 与 成非线性关系 导致 1 数字滤波器的频响曲线不能保真地模仿模拟滤波器的曲线形状 发生畸变 例如 一个模拟微分器 它的幅度与频率是直线关系 但通过双线性变换后 就不可能得到数字微分器 2 线性相位模拟滤波器经双线性变换后 得到的数字滤波器为非线性相位 3 要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的 故双线性变换只能用于设计低通 高通 带通 带阻等选频滤波器 目前仍是使用得最普遍 最有成效的一种设计工具 原因 大多数滤波器都具有分段常数的频响特性 它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性 在阻带部分要求逼近一个衰减为 的常数特性 这种特性的滤波器通过双线性变换后 虽然频率发生了非线性变化 但其幅频特性仍保持分段常数的特性 4 预畸变校正 模拟滤波器H s 双线性变换后 得到的H z 在通带与阻带内都仍保持与原模拟滤波器相同的起伏特性 只是截止频率 以及起伏的峰点 谷点频率等临界频率点发生了非线性变化 即畸变 校正方法 将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变 然后通过双线性变换后正好映射到所需要的频率上 利用关系式 将所要设计的数字滤波器临界频率点变换成对应的模拟域频率临界频率点 设计模拟滤波器 再通过双线性变换 即可得到所需的数字滤波器 5 计算H z 双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单 由于s与z之间的简单代数关系 所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数 置换过程 频响 例6 4 1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图示的RC低通滤波器转换成数字滤波器 利用脉冲响应不变法转换 数字滤波器的系统函数H1 z 为 解 首先写出该滤波器的传输函数Ha s 为 利用双线性变换法转换 数字滤波器的系统函数H2 z 为 H1 z 和H2 z 的网络结构分别如图6 4 5 a b 所示 图6 4 5例6 4 1图 H1 z 和H2 z 的网络结构 a H1 z b H2 z 数字滤波器H1 z 和H2 z 的幅频特性 如果采用双线性变换法 边界频率的转换关系为 6 利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤 1 确定数字低通滤波器的技术指标 通带截止频率 p 通带衰减 p 阻带截止频率 s 阻带衰减 s 2 将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标 3 按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器 4 将模拟滤波器Ha s 从s平面转换到z平面 得到数字低通滤波器系统函数H z 如果采用脉冲响应不变法 边界频率的转换关系为 7 T的选择 脉冲响应不变法 如采用脉冲响应不变法 为避免产生频率混叠现象 要求所设计的模拟低通滤波器带限于之间 由于实际滤波器都有一定宽度过渡带 可选择T满足公式 若先给定数字低通的技术指标时 由于数字滤波器传输函数以2 为周期 最高频率在 处 因此 按照线性关系 那么一定满足 这样T可以任选 双线性变换法 不存在频率混叠现象 尤其对于设计片断常数滤波器 T可任选 1 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器 数字低通的技术指标为 p 0 2 rad p 1dB s 0 3 rad s 15dB 模拟低通的技术指标为T 1s p 0 2 rad s p 1dB s 0 3 rad s s 15dB 例6 4 2设计低通数字滤波器 要求在通带内频率低于0 2 rad时 容许幅度误差在1dB以内 在频率0 3 到 之间的阻带衰减大于15dB 指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器 试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器 解 设计巴特沃斯低通滤波器 先计算阶数N及3dB截止频率 c 取N 6 为求3dB截止频率 c 将 p和 p代入得到 c 0 7032rad s 显然此值满足通带技术要求 同时给阻带衰减留一定余量 这对防止频率混叠有一定好处 为去归一化 将p s c代入Ha p 中 得到实际的传输函数Ha s 根据阶数N 6 查表6 2 1 得到归一化传输函数为 用脉冲响应不变法将Ha s 转换成H z 首先将Ha s 进行部分分式 并按照 6 3 11 式 6 3 12 式 或者 6 3 13 式和 6 3 14 式 得到 图6 4 7例6 4 2图 用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性 2 用双线性变换法设计数字低通滤波器 数字低通技术指标仍为 p 0 2 rad p 1dB s 0 3 rad s 15dB 模拟低通的技术指标为 设计巴特沃斯低通滤波器 阶数N计算如下 取N 6 为求 c 将 s和 s代入 6 2 18 式中 得到 c 0 7662rad s 这样阻带技术指标满足要求 通带指标已经超过 根据N 6 查表6 2 1得到的归一化传输函数Ha p 与脉冲响应不变法得到的相同 为去归一化 将p s c代入Ha p 得实际的Ha s 用双线性变换法将Ha s 转换成数字滤波器H z 图6 4 8例6 4 2图 用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性 2 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标 转换公式为 6 5数字高通 带通和带阻滤波器的设计 具体设计步骤如下 1 确定所需类型数字滤波器的技术指标 3 将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标 具体转换公式参考本章6 2节 4 设计模拟低通滤波器 5 将模拟低通通过频率变换 转换成所需类型的模拟滤波器 6 采用双线性变换法 将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器 例6 5 1设计一个数字高通滤波器 要求通带截止频率 p 0 8 rad 通带衰减不大于3dB 阻带截止频率 s 0 44 rad 阻带衰减不小于15dB 希望采用巴特沃斯型滤波器 解 1 数字高通的技术指标为 p 0 8 rad p 3dB s 0 44 rad s 15dB 2 模拟高通的技术指标计算如下 令T 1 则有 3 模拟低通滤波器的技术指标计算如下 将 p和 s对3dB截止频率 c归一化 这里 c p 4 设计归一化模拟低通滤波器G p 模拟低通滤波器的阶数N计算如下 为去归一化 将p s c代入上式得到 5 将模拟低通转换成模拟高通 将上式中G s 的变量换成1 s 得到模拟高通Ha s 查表6 2 1 得到归一化模拟低通传输函数G p 为 6 用双线性变换法将模拟高通H s 转换成数字高通H z 实际上 5 6 两步可合并成一步 即 例6 5 2设计一个数字带通滤波器 通带范围为0 3 rad到0 4 rad 通带内最大衰减为3dB 0 2 rad以下和0 5 rad以上为阻带 阻带内最小衰减为18dB 采用巴特沃斯型模拟低通滤波器 解 1 数字带通滤波器技术指标为通带上截止频率 u 0 4 rad通带下截止频率 l 0 3 rad 阻带上截止频率 s2 0 5 rad阻带下截止频率 s1 0 2 rad通带内最大衰减 p 3dB 阻带内最小衰减 s 18dB 2 模拟带通滤波器技术指标如下 设T 1 则有 通带中心频率 带宽 将以上边界频率对带宽B归一化 得到 u 3 348 l 2 348 s2 4 608 s1 1 498 0 2 804 3 模拟归一化低通滤波器技术指标 归一化阻带截止频率 归一化通带截止频率 p 1 p 3dB s 18dB 4 设计模拟低通滤波器 查表6 2 1 得到归一化低通传输函数G p 5 将归一化模拟低通转换成模拟带通 6 通过双线性变换法将Ha s 转换成数字带通滤波器H z 下面将 5 6 两步合成一步计算 将上式代入 5 中的转换公式 得 将上面的p等式代入G p 中 得 例6 5 3设计一个数字带阻滤波器 通带下限频率 l 0 19 阻带下截止频率 s1 0 198 阻带上截止频率 s2 0 202 通带上限频率 u 0 21 阻带最小衰减 s 13dB l和 u处衰减 p 3dB 采用巴特沃斯型 解 1 数字带阻滤波器技术指标 l 0 19 rad u 0 21 rad p 3dB s1 0 198 rad s2 0 202 rad s 13dB 2 模拟带阻滤波器的技术指标 设T 1 则有 阻带中心频率平方为 20 l u 0 421阻带带宽为B u l 0 07rad s 将以上边界频率对B归一化 l 8 786 u 9 786 s1 9 186 s2 9 386 20 l u 85 98 3 模拟归一化低通滤波器的技术指标 按照 6 2 48 式 有 p 1 p 3dB 4 设计模拟低通滤波器 5 将G p 转换成模拟阻带滤波器Ha s 6 将Ha s 通过双线性变换 得到数字阻带滤波器H z 6 6IIR数字滤波器的直接设计法 1 零极点累试法 2 在确定零极点位置时要注意 极点必须位于z平面单位圆内 保证数字滤波器因果稳定 复数零极点必须共轭成对 保证系统函数有理式的系数是实的 1 定义 根据幅度特性先确定零极点位置 再按照确定的零极点写出系统函数 画出其幅度特性 并与希望的进行比较 如不满足要求 可通过移动零极点位置或增加 减少 零极点 进行修正 这种修正是多次的 因此称为零极点累试法 图6 6 1例6 6 1图 a 零极点分布 b 幅度特性 6 6 1 Hd ej 是希望设计的滤波器频响 如果在 0 区间取N点数字频率 i i 1 2 N 在这N点频率上 比较 Hd ej 和 H ej 写出两者的幅度平方误差E为 6 6 2 2 在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数字滤波器 设IIR滤波器由K个二阶网络级联而成 系统函数用H z 表示 A是常数 ai bi ci di是待求的系数 中共有 4K 1 个待定的系数 求它们的原则是使E最小 6 6 3 下面我们研究采用 6 6 1 式网络结构 如何求出 4K 1 系数 按照 6 6 2 式 E是 4K 1 个未知数的函数 用下式表示 表示4K个系数组成的系数向量 为推导公式方便 令 为选择A使E最小 令 6 6 4 设 k是 的第k个分量 ak或bk或ck或dk 6 6 5 因为 式中H i表示对Hi函数共轭 6 6 6 将上式具体写成对ak bk ck dk的偏导 得到 6 6 7 同理求得 6 6 8 6 6 9 6 6 10 由于系统函数是一个有理函数 极 零点均以共轭成对的形式存在 对于极点z1 一定有下面关系 6 6 11 图6 6 2例6 6 2图 a 要求的幅度特性 b k 1 2时的幅度特性 例6 6 2设计低通数字滤波器 其幅度特性如图6 6 2 a 所示 截止频率 s 0 1 rad 解 考虑到通带和过渡带的重要 在0 0 2 区间 每隔0 01 取一点 i值 在0 2 区间每隔0 1 取一点 i值 并增加一点过渡带 在 0 1 处 Hd ej 0 51 0 0 0 01 0 02 0 09 0 5 0 1 0 0 0 11 0 12 0 19 0 0 0 2 0 3 N 29 取k 1 系统函数为 待求的参数是A a1 b1 c1 d1 设初始值 0000 25 T经90次迭代 求得E 1 2611 系统函数零 极点位置为零点0 67834430 j0 73474418 极点0 75677793 j1 3213916为使滤波器因果稳定 将极点按其倒数搬入单位圆内 再进行62次优化迭代 求得结果为零点0 82191163 j0 56961501 极点0 89176390 j0 19181084 Ag 0 11733978 E 0 56731 误差函数用下式表示 6 6 12 6 6 13 3 在时域直接设计IIR数字滤波器 设滤波器是因果性的 系统函数为 a0 1 未知系数ai和bi共有N M 1个 取h n 的一段 0 n p 1 使其充分逼近hd n 用此原则求解M N 1个系数 将 6 6 13 式改写为 令p M N 1 则 6 6 14 h 0 b0h 0 a1 h 1 b1h 0 a2 h 1 a1 h 2 b2 6 6 15 6 6 16 令上面等式两边z的同幂次项的系数相等 可得到N M 1个方程 上式表明h n 是系数ai bi的非线性函数 考虑到i M时 bi 0 一般表达式为 设x n 为给定的输入信号 yd n 是相应的希望的输出信号 x n 和yd n 长度分别为M和N 实际滤波器的输出用y n 表示 下面我们按照y n 和yd n 的最小均方误差求解滤波器的最佳解 设均方误差用E表示 6 6 17 6 6 18 为选择h n 使E最小 令 x n 0 n M1 yd n 0 n N 1 由 6 6 18 式得到 6 6 20 例6 6 2设计数字滤波器 要求在给定输入x n 3 1 的情况下 输出yd n 1 0 25 0 1 0 01 0 解 设h n 长度为p 4 按照 6 6 20 式 得 列出方程 10h 0 3h 1 3 253h 0 10h 1 3h 2 0 853h 1 10h 2 3h 3 0 313h 2 9h 3 0 03 解联立方程 得h n 0 3333 0 0278 0 0426 0 0109将h n 以及M 1 N 2代入 6 6 15 6 6 16 式中 得a1 0 1824 a2 0 1126b0 0 3333 b1 0 0330滤波器的系统函数为 相应的差分方程为y n 0 3333x n 0 0330 x n1 0 1824y n1 0 1126y n2 当x n 3 1时 输出y n 为y n 0 9999 0 2499 0 1 0 0099 0 0095 0 0006 0 0012 将y n 与给定yd n 比较 y n 的前五项与yd n 的前五项很相近 y n 在五项以后幅度值很小 作业 P1934 5 6