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,了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置/会推导空间两点间,的距离公式,1对空间直角坐标系，主要考查空间点的坐标的写法及两点间距离的求,法，以填空题形式出现,2空间直角坐标系作为辅助工具，协助求解立体几何中的若干问题,【命题预测】,第5课时 空间直角坐标系,1,对于空间直角坐标系的坐标轴的记忆，可以联系平面直角坐标系的特点进行类比记忆，包括一些公式，都可以采用类比记忆法对于坐标轴可以记忆为,“,横为,x,，,纵为,y,，,z,轴竖立直起来,”,也可以根据课本中介绍的右手直角坐标系的方法进行记忆,2,对于空间的坐标运算可以结合平面坐标中的运算公式，有些公式可以直接把平面坐标的性质扩展到空间内，但是要注意在平面坐标系中与坐标轴垂直的问题，在空间坐标系中通常需要与坐标平面垂直,【应试对策】,3在空间直角坐标系中，直线与平面之间的距离或者求坐标问题都可以使,用平面几何与立体几何的性质加以研究同平面直角坐标系一样，有很多,性质在空间直角坐标系中也成立，例如，,P,1,(,x,1,，,y,1,，,z,1,)和,P,2,(,x,2,，,y,2,，,z,2,)的中,点坐标公式为 .,4在空间直角坐标系中，如果一点的坐标不是确定的，而是满足某种条件，我们可以根据条件建立坐标之间的关系，即建立一个方程，方程和点的运动轨迹可以建立对应关系，这样得到的方程就是空间曲线的方程,5空间两点之间的距离公式，可以使用立体几何的基础知识进行推导由于 空间直角坐标系的建立是由正方体引入的，所以，许多问题都可以结合长方体(或正方体)的性质来解决有些含垂直条件比较多的几何体可以采用补形的方法补成相应的长方体(或正方体)，这样可以简化很多运算，也可以使解决问题的方法更加灵活,在空间直角坐标系中平面的方程、直线的方程,在空间直角坐标系中，平面的方程为,Ax,By,Cz,D,0(,A,、,B,、,C,不同时为,0),直线的方程为,【知识拓展】,1空间直角坐标系,(1),从空间某一个点,O,引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴,：,x,轴,、,y,轴,、,z,轴,，,这样就建立了空间直角坐标系,O,xyz,，,点,O,叫做,，,x,轴,、,y,轴,、,z,轴叫做,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,，,分别称为,xOy,平面,，,平面,，,平面,坐标原点,坐标轴,yOz,zOx,(2)右手直角坐标系,在空间直角坐标系中，让右手拇指指向,x,轴的正方向，食指指向,y,轴的正方向，如果中指指向,z,轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系,(3)点的坐标,对于空间任意一点,A,，作点,A,在三条坐标轴上的射影，即经过点,A,作三个平面分别垂直于,x,轴、,y,轴和,z,轴，它们与,x,轴、,y,轴和,z,轴分别交于,P,，,Q,，,R,.点,P,，,Q,，,R,在相应数轴上的坐标依次为,x,，,y,，,z,，我们把有序实数组(,x,，,y,，,z,)叫做点,A,的,，记为,A,(,x,，,y,，,z,),坐标,(4)中点坐标公式：平面上中点坐标公式可推广到空间，即设,A,(,x,1,，,y,1,，,z,1,)，,B,(,x,2,，,y,2,，,z,2,)，则,AB,的中点为：,P,.,思考：,空间中的点与有序实数组(,x,，,y,，,z,)有怎样的对应关系？,提示：,一一对应的关系,2空间两点间的距离公式,空间中的两点,P,1,(,x,1,，,y,1,，,z,1,)，,P,2,(,x,2,，,y,2,，,z,2,),之间的距离,：,P,1,P,2,特别地,，,空间任意一点,P,(,x,，,y,，,z,),与原点,O,间的距离,：,OP,.,1点(1,0，9)关于原点的对称点为_,答案：,(1,0,9),2点(1，1,3)与点(2，4,6)之间的距离为_,解析：,所求距离为 .,答案：,3点(10,4，2)关于点(0,3，5)的对称点的坐标是_,解析：,设(,x,，,y,，,z,)为所求，则,x,100,4,y,6，2,z,10，所以,x,10，,y,2，,z,8.,答案：,(10,2，8),4已知点,P,在,z,轴上，且满足|,PO,|1(,O,是坐标原点)，则点,P,到点,A,(1,1,1)的,距离是_,解析：,由题意,P,(0,0,1)或,P,(0,0，1)，所以|,PA,|.,答案：,5在,ABC,中，若,A,(1,2,3)，,B,(2，2,3)，,C,，则,AB,边上的中,线,CD,的长度为_,解析：,A,(1,2,3)，,B,(2，2,3)，,D,.,|,CD,|.故,AB,边上的中线长为 .,答案：,(1)确定空间定点,M,的坐标的步骤：,过点,M,分别作垂直于,x,轴、,y,轴和,z,轴的,平面，依次交,x,轴、,y,轴和,z,轴于,P,、,Q,和,R,.,确定,P,、,Q,和,R,在,x,轴、,y,轴和,z,轴上,的坐标,x,、,y,和,z,.,得出点,M,的坐标为(,x,，,y,，,z,),(2)已知,M,点坐标为(,x,，,y,，,z,)确定点,M,位置的步骤：,在,x,轴、,y,轴和,z,轴上依,次取坐标为,x,、,y,和,z,的点,P,、,Q,、,R,.,过点,P,、,Q,、,R,分别作垂直于,x,轴、,y,轴和,z,轴的平面，如果三个平面交于一点，那么这个点就是坐标为(,x,，,y,，,z,)对应,的点,M,.在建立空间直角坐标系求点的坐标时，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的，把直角边放在坐标轴上,【例1】,已知,V,ABCD,为正四棱锥,，,O,为底面中心,，,AB,2，,VO,3，,试建,立空间直角坐标系，并求出各顶点坐标,思路点拨：,由于正四棱锥,V,ABCD,的顶点,V,在底面上的射影为底面的中心,O,，且,O,为正方形,ABCD,的两条对角线,AC,，,BD,的交点，故以,O,为坐标原点，,OB,，,OC,，,OV,所在的直线为,x,轴、,y,轴、,z,轴的正方向建立空间直角坐标系,解：解法一：,建立空间直角坐标系，如图甲所示,，,正方形,ABCD,的边长,AB,2，,AO,OC,OB,OD,.,又,VO,3，,A,(0，0)，,B,(，0,0)，,C,(0，0)，,D,(，0,0)，,V,(0,0,3),解法二：,以底面中心O为坐标原点，建立如图乙所示的空间直角坐标系,，,则,A,(1，1,0)，,B,(1,1,0)，,C,(1,1,0)，,D,(1，1,0)，,V,(0,0,3),变式1：,如右图所示，四棱锥,P,ABCD,的底面是边长为,2,的正方,形，侧棱,PA,底面,ABCD,，,PA,2，,M,、,N,分别为,AD,、,BC,的,中点，试建立适当的坐标系，写出,P,、,A,、,B,、,C,、,D,、,M,、,N,的坐标,解：,以,A,为坐标原点,，,以,AB,所在直线为,x,轴,，,AD,所在直线为,y,轴,，,AP,所在直线为,z,轴建立空间直角坐标系,，,则,A,(0,0,0)、,B,(2,0,0)、,C,(2,2,0)、,D,(0,2,0)、,M,(0,1,0)、,N,(2,1,0)、,P,(0,0,2),利用空间两点之间的距离公式除了可以求距离之外，还可以根据距离公式,求点的坐标或点的坐标满足的方程以及判断三角形的形状求三角形的面积,等,【例2】(1),在,z,轴上求与两点,A,(4,1,7),和,B,(3,5，2),等距离的点,；(2),证明,：,以,A,(4,3,1)，,B,(7,1,2)，,C,(5,2,3),为顶点的,ABC,是等腰三角形,思路点拨：,(1)首先要明白,z,轴上点的坐标的特点，再代入两点之间的距离公,式即可(2)证明三角形是等腰三角形，只需证明其中有两边的长度相等，,也即只需证明其中两点的距离相等,(1),解：,z,轴上的点横坐标和纵坐标都为零，故设所求点为,M,(0,0，,z,)依题,意，有,MA,MB,，,即 ，,两边平方，解得,z,，因此，所求点为,M,.,(2),证明：,由两点间的距离公式，得,AB,，,BC,，,CA,，,由于,BC,CA,，,ABC,是等腰三角形,变式2：(2010广东模拟题),如右图所示，以棱长为,a,的正方体,的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点,P,在正,方体的对角线,AB,上,，,点,Q,在棱,CD,上,(1),当点,P,为对角线,AB,的中点,，,点,Q,在棱,CD,上运动时,，,探究,PQ,的最小值,；,(2),当点,P,在对角线,AB,上运动,，,点,Q,在棱,CD,上运动时,，,探究,PQ,的最小值,解：(1),因为,B,(0,0，,a,)，,A,(,a,，,a,0)，,P,为,AB,的中点,，,所以,P,.,又因为,Q,在,CD,上运动,，,所以可设,Q,(0，,a,，,z,0,)，,其中,z,0,0，,a,，,因此,PQ,，,可知,，,当,z,0,时,，,PQ,取最小值,a,.,(2)显然，当,P,在,AB,上运动时，,P,到坐标平面,xOz,、,yOz,的距离相等，且,P,在第一卦限，所以可设,P,(,t,，,t,，,a,t,)，,t,0，,a,，又,Q,在,CD,上运动，所以可设,Q,(0，,a,，,z,0,)，,z,0,0，,a,，,所以,PQ,，当且仅当,z,0,t,时，,PQ,取最小值,a,.,1常见对称点的坐标规律：在空间直角坐标系中，已知点,P,(,x,，,y,，,z,)，则点,P,：(1)关于原点的对称点是(,x,，,y,，,z,)(2)关于,x,轴的对称点是,(,x,，,y,，,z,)(3)关于,y,轴的对称点是(,x,，,y,，,z,)(4)关于,z,轴的对称点是(,x,，,y,，,z,)(5)关于,xOy,坐标面的对称点是(,x,，,y,，,z,)(6)关于,yOz,坐标面,的对称点是(,x,，,y,，,z,)(7)关于,zOx,坐标面的对称点是(,x,，,y,，,z,),2中点坐标公式：若,A,(,x,1,，,y,1,，,z,1,)，,B,(,x,2,，,y,2,，,z,2,)，则线段,AB,的中点,P,的坐,标为 .,3利用中点坐标公式也可求对称点的坐标,【例3】,求点,A,(1,2，1),关于,x,轴及坐标平面,xOy,的对称点,B,、,C,的坐标,，,以,及,B,、,C,两点间的距离,思路点拨：,通过点,A,向平面,xOy,及,x,轴作垂线,解：,如右图所示,，,过,A,作,AM,xOy,交平面于,M,，,并延长到,C,，,使,CM,AM,，,则,A,与,C,关于坐标平面,xOy,对称且,C,(1,2,1),过,A,作,AN,x,轴于,N,，,并延长到点,B,，,使,NB,AN,，则,A,与,B,关于,x,轴对称且,B,(1，2,1),A,(1,2，1)关于坐标平面,xOy,对称的点,C,坐标为(1,2,1)；,A,(1,2，1)关于,x,轴对称的点,B,坐标为(1，2,1),|,BC,|4.,变式3：,求点,P,(1,2,3),关于坐标平面,、,坐标轴及原点的对称点的坐标,解：(1),关于,xOy,平面的对称点坐标为,(1,2，3),关于,xOz,平面的对称点坐,标为,(1，2,3),关于,yOz,平面的对称点坐标为,(1,2,3),(2),关于,x,轴的对称点坐标为,(1，2，3),关于,y,轴的对称点坐标为,(1,2，3),关于,z,轴的对称点坐标为,(1，2，3),(3),关于坐标原点的对称点坐标为,(1，2，3).,1,建立空间直角坐标系后，可以把空间抽象的推理求值转化为具体的坐标,运算因此正确确定空间直角坐标系内点的坐标，以及由点的坐标正确判,断点的位置成为解题的关键,2在识图和标图时，一是要从直观图的角度来确定点的位置和坐标；二是,要习惯使用右手直角坐标系,【,规律方法总结,】,3特别情况，当,z,1,z,2,0时，点,P,1,(,x,1,，,y,1,，,z,1,)，,P,2,(,x,2,，,y,2,，,z,2,)都在,xOy,平面
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