数学在生活中的足迹教案.doc

数学与建筑（2课时）教学目标：1、数学与建筑的联系。 2、神秘的金字塔。 3、秘鲁古迹马丘比丘教学方式：教师主讲，学生讨论教学重点：1、数学对建筑的重要作用。教学难点： 2、金字塔中隐含的数学问题。教学过程：课前准备：分小组利用书籍、报刊、网络收集数学与建筑有关的资料。一、数学与建筑的联系富勒、网格球顶和巴基球21世纪的建筑充填空间的立体拱曲线数学建筑与双曲抛物面箱子的破坏力学是数学科学的乐园，因为我们在这里获得数学的果实。伦纳多达芬奇几千年来，数学一直是用于设计和建造的一个很宝贵的工具。它一直是建筑设计思想的一种来源，也是建筑师用来得以排除建筑上的试错技术的手段。下表可能看来内容丰富，其实不过是多少世纪以来曾经用在建筑上的数学概念的一部分：角锥棱柱黄金矩形视错觉立方体多面体网格球顶三角形毕达哥拉斯定理正方形，矩形平行四边形圆，半圆球，半球多边形角对称抛物线悬链线双曲抛物面比例弧重心螺线螺旋线椭圆镶嵌图案透视二、神秘的金字塔埃及是世界上历史最悠久的文明古国之一。金字塔是古埃及文明的代表作，是埃及国家的象征，是埃及人民的骄傲。 金字塔，阿拉伯文意为方锥体，它是一种方底，尖顶的石砌建筑物，是古代埃及埋葬国王、王后或王室其他成员的陵墓。它既不是金子做的，也不是我们通常所见的宝塔形。是由于它规模宏大，从四面看都呈等腰三角形，很像汉语中的金字，故中文形象地把它译为金字塔。埃及迄今发现的金字塔共约八十座，其中最大的是以高耸巍峨而居古代世界七大奇观之首的胡夫大金字塔。下面介绍一下最具神秘色彩的胡夫大金字塔。在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中它一直是世界上最高的建筑物。据一位名叫彼得的英国考古学者估计，胡夫大金字塔大约由230万块石块砌成，外层石块约115000块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大，而大的甚至超过15吨。假如把这些石块凿成平均一立方英尺的小块，把它们沿赤道排成一行，其长度相当于赤道周长的三分之二。据古希腊历史学家希罗多德的估算，修建胡夫金字塔一共用了年时间，每年用工万人金字塔一方面体现了古埃及人民的智慧与创造力，另一方面也成为法老专制统治的见证胡夫金字塔位于埃及首都开罗西南约公里吉萨高地的胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇迹”之一。在埃及境内已发现的座金字塔中，吉萨高地的祖孙三代金字塔胡夫金字塔、海夫拉金字塔和门卡乌拉金字塔是最古老的金字塔。 胡夫金字塔建于埃及第四王朝第二位法老胡夫统治时期（约公元前年），被认为是胡夫为自己修建的陵墓。在古埃及，每位法老从登基之日起，即着手为自己修筑陵墓，以求死后超度为神。胡夫大金字塔的个斜面正对东、南、西、北四方，误差不超过圆弧的分，底边原长米（为362.31库比特古埃及一种度量单位，这个数字与一年中的天数相近。）由于塔外层石灰石脱落，现在底边减短为米，倾角为度分。塔原高米，因顶端剥落，现高米，相当于一座层摩天大楼，塔底面呈正方形。整个金字塔建筑在一块巨大的凸形岩石上，占地约52900平方米，体积约260万立方米。其塔高度的平方，约为21520米，而其侧面积为21481平方米，这两个数字几乎相等。它的四边正对着东南西北四个方向，误差不超过0.5度。在朝向正北的塔的正面入口通路的延长线，放一盆水代替镜子用，那么北极星便可以映到水盆上面来。延伸胡夫大金字塔底面正方形的纵平分线至无穷则为地球的子午线；穿过胡夫大金字塔的子午线，正好把地球上的陆地和海洋分成均匀的两半，而且塔的重心正好坐落在各大陆引力的中心。把大金字塔底面正方形的对角线延长，恰好能将尼罗河口三角洲包括在内，而延伸正方形的纵平分线，则正好把尼罗河口三角洲平分。大金字塔到底凝结着古埃及人多少知识和智慧，至今仍然是远没有完全解开的谜。大金字塔之谜不断吸引着成千上万的热心人在探索。三、秘鲁古迹马丘比丘马丘比丘的全部建筑都是印加传统风格的：磨光的规则形状的墙，以及美妙的接缝技巧，墙上石块和石块之间的缝隙连匕首都无法放进去，让人简直无法理解印加人是究竟如何把他们拼接在一起的。让人注意的是，虽然印加人了解圆形（太阳神Inti就是用它表现的），却并不把它运用在建筑中。建筑用的庞大数量石块究竟是如何搬运的至今是个谜。还有，虽然印加人不使用圆形，但却利用了斜坡。据信他们让成千上万的工人推着石块爬上斜坡。可惜的是印加人并未掌握文字的技巧而没有留下任何描述文字。整个遗迹由约140个建筑物组成，包括庙宇、避难所、公园和居住区。这里还建有超过100处阶梯每个通常由一整块巨大的花岗岩凿成。还有大量的水池，互相间由穿凿石头制成的沟渠和下水道联系，通往原先的灌溉系统。至今没人明白印加文明能够把重大20吨的巨石搬上马丘比丘的山顶。四课后作业数学与建筑还有其他什么联系？数学与音乐（2课时）教学目标：1、数学家与音乐。 2、数学与音乐的关系。教学方式：教师主讲，学生讨论教学重点：数学与音乐的内在联系。教学难点：数学与音乐的内在联系。教学过程：课前准备：分小组利用书籍、报刊、网络收集数学与音乐有关的资料。一、数学家与音乐上帝之所以存在，是因为数学是相容的；而魔鬼之所以存在，是因为我们不能证明数学是相容的。Andre Weil（魏依/韦伊）一个很有意思的事情，很多很多的数学家和物理学家都特别的喜欢音乐，一个很出名的例子就是Einstein（爱因斯坦）。譬如说E.Artin（阿廷），一个上个世纪影响最大的带数学家之一，据说钢琴的弹奏水平极高，尤其是特别的严格，好像他做的代数一样；譬如Courant（库朗/柯朗），和Artin（阿廷）比起来路子要野蛮一些，水平也要低些，不过热情毫不逊色，还经常邀请Artin到家里演奏一番；再譬如说J.Nash（纳什）,这个人大家比较熟悉，刚刚演的“A Beautiful Mind（美丽心灵）”说得就是他，他原来就喜欢绕着Princeton（普林斯顿大学）的Fine Hall游荡，并且嘴里吹着口哨，后来一个得了Feilds（菲尔兹奖）奖也得了Wolf（沃尔夫奖）讲的人数学家J.Milnor（米尔诺）还说，他第一次听巴赫的音乐就是通过当时Nash（纳什）的口哨声。更有甚者，譬如Dieudonne（迪厄多内），这个法国Bourbaki（布尔巴基）的人，不但喜欢弹琴，更是能记住很多很多的乐谱，据说上千页的乐谱他也能背诵。曾经一次，Dieudonne和P.Cartier去音乐会，他指着手里的节目单说：“乐队的演奏漏了一个音符”再譬如说Fox（福克斯），一个美国的拓扑学家，在60年代的时候提到这个名字就相当于提到了低维拓扑这个方向，他本人的小提琴的演奏水平也相当专业。这个人比较喜欢故弄玄虚，据说，在一次音乐会上，Kodaira（邦彦）和他一起，不料这次的演奏时不时的停顿，而且有声音的时间要少于没有声音的。二、数学与音乐的关系 西方音乐，在其发生之初便与数学有着不容忽视的血缘关系。这种血缘关系可以上溯到毕达哥拉斯时代，毕达哥拉斯认为“数”是世界万物的本源、根基。即使现有的音阶序列五度音程或八度音程也更多是出于推理而不完全是人耳分辨的纯粹“自然”的结果。这使得键盘乐器同人声与弦乐器之间总存在着难以弥合的音差，给调音带来麻烦，然后不得不迁就钢琴，因为钢琴统领着一切乐器，是乐器之王，其形体也是个庞然大物。键盘乐器每个音之间的音差，不是人耳自然分辨的结果，而是一种数学计算和推理。被小提琴大师梅纽因万分佩服的巴赫的赋格曲和平均律音阶，正是西方严肃音乐中所有基本逻辑和数学般严密的音响推理的集中体现。巴赫的48首十二平均律钢琴曲，实际上是数学计算得出的数据所显示的声音和谐，音乐的和谐与美感体现是的数字的和谐与美感。这种数学的或数字的关系，到勋伯格发展到了极端化12音体系也由听音乐产生美感转变为看乐谱看到美感，因而勋伯格的音乐也就排斥了普通人。十二平均律的计算成果并不是西方人的发明，我国明代学者朱载堉早在16世纪就已经完成十二平均律的理论和计算，这在当时处于世界领先水平。朱载堉用81档的大算盘开平方、开立方，在黄钟正律和黄钟倍律之间求出了11个数：黄钟正律（c）1000000应钟倍律（b）1.059463无射倍律（a）1.122462南吕倍律（a）1.189207夷则倍律（g）1.259921林钟倍律（g）1.334839蕤宾倍律（f）1.414213仲吕倍律（f）1.498307姑洗倍律（e）1.587401夹钟倍律（d）1.681792太簇倍律（d）1.781797大吕倍律（c）1.887748黄钟倍律（c）2000000朱载堉所称的“倍律”比正律低八度。所列的数字表示振动体（弦）的长度。他把各律的数字一直计算到25位，如平均律半音的“频率倍数”是1.059463094359295264561825，计算之精确令人惊叹。这个数据与今日的十二平均律完全相同，只不过现代律学表示率高不再用长度，而是改成频率。17世纪中叶，法国音乐理论家梅尔生于1636年基本完成了这一理论，所以李约瑟认为，是朱载堉的成就启发了欧洲律学家。之后从18世纪起，西方开始把十二平均律用于音乐创作。而朱载堉用毕生心血撰写的律学新说、律吕精义、乐舞全谱等进献朝廷，万历皇帝谕交礼部“宣付史馆，以备稽考”，结果束之高阁四课后作业这两节课你学到了什么，有什么心得体会？黄金分割（1课时）教学目标：了解黄金分割的概念。教学方式：教师主讲，学生讨论教学重点：什么是黄金比例。教学难点：如何得到黄金比例。教学过程：在我们的生活中处处有数学，而历史悠久的可说是黄金比例了。它可追溯到古代雅典的巴特农神庙，它之所以显得那么和谐，是因为这个建筑符合黄金比例，还有唐朝石匠巧妙利用黄金比例做大头佛像的故事，再加上北京的紫荆城里的宏伟的建筑也融合了黄金比例，不只古代的建筑，就连现在的建筑也与黄金比例有一定关联，由此可见黄金比例的历史和作用。什么是黄金比例？那就得先从黃金分割谈起。假如C 为 AB 线段上的一点，而且 ，那么我们就说 C 点把线段 AB 黃金分割了，如图。如果 C 点把线段 AB 黃金分割，那么这个比值是多少呢？这个比值就是，我们叫它做黄金比值（Golden Ratio）。报纸、书本的长度和宽度之比往往接近这个比值，大概是因为在这个比例之下，它们看起来很顺眼，很和谐吧！建筑等方面也常利用这个比值来引起美的感觉，这就叫做黃金律。如何才可以把一线段 AB 黃金分割呢？引直线 BD 垂直于 AB，令 BD = AB，连接AD，并在 AD 上取 E 点使 DE = BD，再在 AB 上取 C 点使 AC = AE，则 C 点就把 AB 黃金分割了。最早，人们发现长宽之比为1：0.618的矩形很协调，因此古代的建筑大师和雕塑家们就巧妙地利用黄金分割比创造出了雄伟壮观的建筑杰作和令人倾倒的艺术珍品：公元前3000年建造的胡夫大金字塔，其原高度与底部边长约为1:1.6，公元前五世纪建造的庄严肃穆的雅典巴特农神殿(Parthenon at Athens)，其正面高度与宽度之比约为1:1.6。此外，留意的同学会发现，我国的故宫建筑中也有不少这种黄金比例的存在。四课后作业 找几个黄金分割在生活中应用的例子生活中的黄金比例（2课时）教学目标：了解黄金比例在生活中的应用。教学方式： 教师主讲，学生讨论教学重点：黄金比例如何应用在生活中。教学难点：如何用黄金比例解释紫禁城和巴特农神庙。教学过程：1、紫禁城当人们沉醉于紫禁城璀璨的建筑时，一位老人用一把皮尺，把辉煌的宫殿变成一组枯燥的数字。这位名叫傅熹年的建筑史学家，把紫禁城的院落面积和宫殿位置进行了测量。他测出太和门庭院的深度为130米，宽度为200米，其长宽比为：130比200065，与0618的黄金分割率十分接近。从紫禁城最重要的宫殿-太和殿上，暂时还没有找到与黄金分割有关的证据。但是如果我们把太和殿放在中轴线上从大明门到景山这个尺度上衡量时，情况就会发生变化。中国古代建筑的传统审美观点是庭院中心。从大明门到景山的距离是25公里，而从大明门到太和殿的庭院中心是15045公里，两者的比值为15045比250618，正好与黄金分割率等同。这组数据让我们突然悟出了明代设计者为什么把大明门放在距离紫禁城如此遥远的地方，甚至不惜拆除元大都的南面城墙。以前我们总是直觉地认为这是为了延长宫殿的序幕，使进入宫殿的人产生一种期待值。但是，数字却成为建筑的位置的详细注脚。没有证据表明这种美的比率在中国古代宫殿中的运用是受到了西方建筑的影响，只能说明人类对美的追求有着共通的成分，验证了黄金分割率的天然合理性。 2、巴特农神庙 雅典的巴特农神庙(Parthenon at Athens) 壮观、宏伟，被认为是古希腊最伟大的建筑之一。有人认为它之所以显得那么和谐，是因为这个建筑符合黄金比例。这是巴特农神庙的黄金分割图。下图中所有蓝线与紅线之比都是黃金比例。为什么这样造形简单的建筑物中会出现如此多的黃金比例呢？如果 B、D 分別为 AC 之两个黃金分割，则 D、B 分別为 AB 及 DC 之黃金分割。因为，又 AD = AC DC如此一来，两个分割点却造就了四个黃金比例，这也就是黃金分割神奇的地方。四课后作业 如何用黄金比例解释紫禁城和巴特农神庙。黄金分割的重要作用（2课时）教学目标：1、了解黄金比例的发现历史，作用及证明方法。 2、知道黄金比例在生活中的具体应用。教学方式： 教师主讲，学生讨论教学重点：1、黄金比例的发现。教学难点：2、黄金比例的作用。教学过程：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现： 1/0.618=1.618 (1-0.618)/0.618=0.618 这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。 一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。 由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18 。 黄金分割点约等于0618：1 是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点。线段上有两个这样的点。 利用线段上的两黄金分割点，可作出正五角星，正五边形。 生活应用有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是0.618；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28，这恰好是把圆周分成1:0.618的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数学0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。 数字0.618更为数学家所关注，它的出现，不仅解决了许多数学难题(如：十等分、五等分圆周；求18度、36度角的正弦、余弦值等)，而且还使优选法成为可能。优选法是一种求最优化问题的方法。如在炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢材的强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在10002000克之间，为了求得最恰当的加入量，需要在1000克与2000克这个区间中进行试验。通常是取区间的中点(即1500克)作试验。然后将试验结果分别与1000克和2000克时的实验结果作比较，从中选取强度较高的两点作为新的区间，再取新区间的中点做试验，再比较端点，依次下去，直到取得最理想的结果。这种实验法称为对分法。但这种方法并不是最快的实验方法，如果将实验点取在区间的0.618处，那么实验的次数将大大减少。这种取区间的0.618处作为试验点的方法就是一维的优选法，也称0.618法。实践证明，对于一个因素的问题，用“0.618法”做16次试验就可以完成“对分法”做2500次试验所达到的效果。因此大画家达芬奇把0.618称为黄金数。0.618与战略战役0.618，一个极为迷人而神秘的数字，而且它还有着一个很动听的名字黄金分割律，它是古希腊著名哲学家、数学家毕达哥拉斯于2500多年前发现的。古往今来，这个数字一直被后人奉为科学和美学的金科玉律。在艺术史上，几乎所有的杰出作品都不谋而合地验证了这一著名的黄金分割律，无论是古希腊帕特农神庙，还是中国古代的兵马俑，它们的垂直线与水平线之间竟然完全符合1比0.618的比例。0.618与武器装备在冷兵器时代，虽然人们还根本不知道黄金分割率这个概念，但人们在制造宝剑、大刀、长矛等武器时，黄金分割率的法则也早已处处体现了出来，因为按这样的比例制造出来的兵器，用起来会更加得心应手。 当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，它的枪把和枪身的长度比例很不科学合理，很不方便于抓握和瞄准。到了1918年，一个名叫阿尔文约克的美远征军下士，对这种步枪进行了改造，改进后的枪型枪身和枪把的比例恰恰符合0.618的比例。 0.618与战术布阵在我国历史上很早发生的一些战争中，就无不遵循着0.618的规律。春秋战国时期，晋厉公率军伐郑，与援郑之楚军决战于鄢陵。厉公听从楚叛臣苗贲皇的建议，把楚之右军作为主攻点，因此以中军之一部进攻楚军之左军；以另一部进攻楚军之中军，集上军、下军、新军及公族之卒，攻击楚之右军。其主要攻击点的选择，恰在黄金分割点上。 把黄金分割律在战争中体现得最为出色的军事行动，还应首推成吉思汗所指挥的一系列战事。数百年来，人们对成吉思汗的蒙古骑兵，为什么能像飓风扫落叶般地席卷欧亚大陆颇感费解，因为仅用游牧民族的彪悍勇猛、残忍诡谲、善于骑射以及骑兵的机动性这些理由，都还不足以对此做出令人完全信服的解释。或许还有别的更为重要的原因？仔细研究之下，果然又从中发现了黄金分割律的伟大作用。蒙古骑兵的战斗队形与西方传统的方阵大不相同，在它的5排制阵形中，人盔马甲的重骑兵和快捷灵动轻骑兵的比例为2:3，这又是一个黄金分割！你不能不佩服那位马背军事家的天才妙悟，被这样的天才统帅统领的大军，不纵横四海、所向披靡，那才怪呢。 马其顿与波斯的阿贝拉之战，是欧洲人将0.618用于战争中的一个比较成功的范例。在这次战役中，马其顿的亚历山大大帝把他的军队的攻击点，选在了波斯大流士国王的军队的左翼和中央结合部。巧的是，这个部位正好也是整个战线的“黄金点”，所以尽管波斯大军多于亚历山大的兵马数十倍，但凭借自己的战略智慧，亚历山大把波斯大军打得溃不成军。这一战争的深刻影响直到今天仍清晰可见， 在海湾战争中，多国部队就是采用了类似的布阵法打败了伊拉克军队。 拿破仑大帝败于黄金分割线？ 0.618不仅在武器和一时一地的战场布阵上体现出来，而且在区域广阔、时间跨度长的宏观的战争中，也无不得到充分地展现。 一代枭雄的的拿破仑大帝可能怎么也不会想到，他的命运会与0.618紧紧地联系在一起。1812年6月，正是莫斯科一年中气候最为凉爽宜人的夏季，在未能消灭俄军有生力量的博罗金诺战役后，拿破仑于此时率领着他的大军进入了莫斯科。这时的他可是踌躇满志、不可一世。他并未意识到，天才和运气此时也正从他身上一点点地消失，他一生事业的顶峰和转折点正在同时到来。后来，法军便在大雪纷扬、寒风呼啸中灰溜溜地撤离了莫斯科。三个月的胜利进军加上两个月的盛极而衰，从时间轴上看，法兰西皇帝透过熊熊烈焰俯瞰莫斯科城时，脚下正好就踩着黄金分割线。 1941年6月22日，纳粹德国启动了针对苏联的“巴巴罗萨”计划，实行闪电战，在极短的时间里，就迅速占领了的苏联广袤的领土，并继续向该国的纵深推进。在长达两年多的时间里，德军一直保持着进攻的势头，直到1943年8月，“巴巴罗萨”行动结束，德军从此转入守势，再也没能力对苏军发起一次可以称之为战役行动的进攻。被所有战争史学家公认为苏联卫国战争转折点的斯大林格勒战役，就发生在战争爆发后的第17个月，正是德军由盛而衰的26个月时间轴线的黄金分割点。 我们常常听说有“黄金分割”这个词，“黄金分割”当然不是指的怎样分割黄金，这是一个比喻的说法，就是说分割的比例像黄金一样珍贵。那么这个比例是多少呢？是0.618。人们把这个比例的分割点，叫做黄金分割点，把0.618叫做黄金数。并且人们认为如果符合这一比例的话，就会显得更美、更好看、更协调。在生活中，对“黄金分割”有着很多的应用。最完美的人体：肚脐到脚底的距离/头顶到脚底的距离=0.618，最漂亮的脸庞：眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.618四课后作业 黄金分割的重要应用有哪些？