第三章-可靠性概率分布

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,可靠性工程基础,可靠性的概率分布,学习要求,1.,了解二项分布、泊松分布的含义和计算,2.,掌握指数分布、正态分布、对数正态分布和威布尔分布的特性以及特征值的获取,3.,会查标准正态分布表,主要内容,离散型,随机变量的几种常见分布,两点分布,二项分布,泊松分布,几何分布和负二项分布,超几何分布,连续型,随机变量的几种常见分布,正态分布,截尾正态分布,对数正态分布,指数分布,伽玛分布,威布尔分布,可靠性的概率分布,可靠性工程以产品的,寿命特征,为主要研究对象。产品的寿命特征一般是连续的随机变量，例如产品故障时间和维修时间等。处理这种问题可利用,概率统计方法,，找出它们的概率分布和概率密度函数，有了确定的分布就可以求出该分布特征统计量，如正态分布的均值及标准差。即使不知道具体的分布函数，也可以通过对分布的参数估计求得某些特征量的估计值。这些分布及概率密度函数，不仅描述了,寿命的内在规律,，而且分布的参数还决定了产品的,寿命特征,。因此必须对失效分布作较深入的研究,离散型随机变量的几种常见分布,可靠性抽样试验以及产品质量保证等大量工程实际问题需要用到,离散模型,。主要有,两点分布,二项分布,泊松分布,几何分布与负二项分布,超几何分布,两点分布又称（,0,，,1,）分布,数学模型的随机试验只可能有两种试验结果,两点分布的分布列或分布律也可写成,:,也可表示为,:,两点分布,两点分布,数字特征,:,两点分布可以作为描绘从一批产品中任意抽取,一件,得到的,“,合格品,”,或,“,不合格品,”,的概率分布模型,二项分布又称贝努里分布。二项分布满足以下基本假定：,试验次数,n,是一定的；,每次试验的,结果只有两种,，成功或失败；,每次试验的成功概率和失败概率相同，即,p,和,q,是常数；,所有试验是独立的。,所谓独立试验是指将试验,A,重复做,n,次，若各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都与其他各次试验结果无关，则称这,n,次试验是独立的，并称它们构成一个序列,二项分布,在二项分布中，若一次试验中，,则在,n,次独立地重复试验中，试验,A,发生的概率为,:,上式为二项概率公式。若用,X,表示,在,n,次重复试验中事件,A,发生的次数,，显然，,X,是一个随机变量，,X,的可能取值为,0,1,2,n,，则,随机变量,X,的,分布律,为：,此时，称随机变量,X,服从二项分布,B,（,n,p,）。,当,n=1,时，二项分布简化为两点分布即：,二项分布,随机变量,X,取值不大于,k,的,累积分布函数,为,:,X,的数学期望与方差分别为,:,二项分布用来计算冗余系统的可靠度，也可用于计算一次性使用装置或系统的可靠度估计,比如,汽车上的双管路制动系统,二项分布,在二项分布中，如果 （常数），则二项分布可表示为：,此时，称,随机变量,X,服从参数为,的泊松分布,。泊松分布可认为是当,n,无限大时二项分布的推广。当,n,很大、,p,很小时，可用泊松分布近似代替二项分布。一般地，当,n20,p0.05,时，近似程度较好。,随机变量,X,取值不大于,k,次的累积分布函数为：,X,的期望与方差分别为：,泊松分布,泊松分布，经过适当的处理可成为指数分布。假定：,在互不相交的时间区间内所发生的失效是统计独立的；,单位时间内的平均失效次数为常数，而与所考虑的时间区间无关。,泊松过程有下面两个重要性质,:,(1),设,t,是时间区间的长度，则在此区间内发生失效的次数,X,是一个整数型的随机变量，在此时间区间内，发生,k,次失效的概率服从一个均值为,t,的泊松分布,:,(2),在任意两次相邻的失效之间的时间,T,是独立的连续型的随机变量，服从参数为,的指数分布,:,泊松分布,两次失效的平均时间为,泊松过程适合于建模有较多的元件倾向于失效，而每个元件失效的概率比较小的情况,泊松分布,例：有人打靶，每次命中率均为,0.7,，现,独立射击,5,次，求,恰好命中,2,次,的概率？,解：每次射击有,“,击中,”,和,“,未击中,”,两个可能，设,，,“,恰好有两次几种,”,的情况有,二项分布实例,如果要求命中,不少于,2,次,的概率？,例：一架飞机有三个着陆轮胎，若不多于一个轮胎爆破，飞机便能安全着陆。试验表明，每一千次着陆发生一次轮胎爆破。求飞机安全着陆的概率？,解：,二项分布实例,思考：假如只有两个轮胎，安全着陆的概率？,正态分布,对数正态分布,指数分布,伽玛分布,威布尔分布,连续型随机变量的几种常见分布,指数分布,1.,指数分布,在数学上易处理成直观的曲线,失效率反映了特征参数,单参数分布,最基本最常用的分布,若产品的寿命或某一特征值,t,的,故障密度,为,则称,t,服从参数,的指数分布,指数分布的特征量函数,:,不可靠度（失效）函数,可靠度函数,平均寿命,指数分布,中位寿命,：,r=0.5,特征寿命,：,寿命方差,：,标准差,：,指数分布性质,指数分布性质,指数分布的一个重要性质是,无记忆性,。无记忆性是产品在经过一段时间,t,0,工作之后的剩余寿命仍然具有原来工作寿命相同的分布，而与,t,无关。这个性质说明，,寿命分布为指数分布的产品，过去工作了多久对现在和将来的寿命分布不发生影响,在“浴盆曲线”中，它是属于偶发期这一时段的,指数分布的特点,只含,单一参数,，形式简单,平均寿命、特征寿命、标准离差相等，为,故障率越小，平均寿命越大，但越大，分布越分散,平均寿命大于中位寿命,发动机中有四种故障的寿命概率分布属于指数分布,受,随机性冲击,时产生的故障：故障与使用时间无关，仅与外界超强度的冲击力随机到来和内部潜伏的隐患偶然爆发有关，它们是随机性偶然发生故障，如内燃机超载下工作或过热造成的故障,正常使用下的,突发故障,：常载下往复运动零件损伤，或人为失误造成的故障，或偶然性操作不当,浴盆曲线的,阶段（使用寿命期）,发动机返复多次维修期间所发生的故障可考虑为指数分布故障,例：,内燃机增压器处于使用寿命期中工作，根据以往经验知，寿命服从指数分布，在,100,小时工作内有,1%,发生故障，求可靠度,R,（,2000,），,的使用寿命？,解：先求,F,（,100,）,=0.01,指数分布例题,例：一元件寿命服从指数分布，其,平均寿命,(,),为,2000,小时，求故障率,及求可靠度,R,(100)=?,R,(1000)=?,解：,此元件在,100,小时时的可靠度为,0.95,，而在,1000,小时时的可靠度为,0.60,正态分布,正态分布在机械可靠性设计中大量应用，如材料强度、磨损寿命、齿轮轮齿弯曲、疲劳强度以及难以判断其分布的场合。,属于,递增型故障率,的概率分布。它的分布曲线处于浴盆曲线的,耗损阶段,若产品寿命或某特征值有故障密度,正态分布,正态分布的特征量函数,:,不可靠度,查附表,2,可靠度,故障率,平均寿命,E=,可靠寿命,特征寿命,中位寿命,在柴油机或机械系统中，有些零件故障是由几种相对独立的,微小主导因素迭加,而成的,如气缸、活塞、齿轮和轴类零件,因磨损引起的故障，以及管、阀系统的腐蚀性故障，燃油传给系统沉淀性故障都属正态分布,正态分布,例,：有两种内燃机配套机构，,A,种寿命分布是指数型，其平均寿命为,1000h,；,B,种寿命分布是正态型，其平均寿命为,900h,，标准离差,=400h,，求：在,100,小时使用期内，尽量不发生故障，求哪种设计为好？,解：,A,：,B,：,对数正态分布是,自变量取对数,时，其故障密度函数符合正态分布的一种,偏态性,概率分布。它的故障率,其本属于递增型的，但递增的速度是变化的，先快后慢然后趋于平稳,对数均值，,对数标准离差,对数正态分布,对数正态分布的特征量,不可靠度函数,可靠度函数,故障率函数,平均寿命,E,特征寿命,对数变换可将较大的数,缩小,为较小的数，且愈大的数缩小得愈多，这一特性可以使较为分散的数据通过对数变换相对的集中起来，所以常把,跨几个数量级的数据用对数正态分布去拟合,。,在机械零件及材料的,疲劳寿命,中，对数正态分布应用得较多。,对数正态分布,例：,一般气动弹簧承载,次后要更换，已知服从对数正态分布，系数,=25,=1.4,问：更换弹簧前，故障的可能性多大？,解：内燃机在,次后，气动弹簧的不可靠度,:,即 次更换前，故障的可能性为,7.9%,。,威布尔分布应用比较广泛，常用来描述材料疲劳失效、轴承失效等寿命分布的。,分布包括了产品寿命周期,三个阶段,的失效分布特征。,威布尔分布是,递增型、恒定型、递减型,多种故障概率分布，威布尔分布是从考虑链式强度模型提出来的，当“链条”中“环”的强度低于随机应力时，某一“环”便可能发生断裂，只要某一薄弱环发生故障则会整体失效，因此最弱“环”的寿命即是产品的寿命。,威布尔分布是用三个参数来描述，这三个参数分别是,尺度参数,，,形状参数,m,、,位置参数,，,其概率密度函数为：,威布尔分布,不同,m,值的威布尔分布（,=1,，,=0,）,m=3,m=1/2,m=2,m=1,f(t),t,形状参数,m,的大小决定威布尔分布的,形状,，当,m1,，密度函数曲线呈,单峰型,，且随,m,的减小峰高逐渐降低，当,m=3.5,时，接近,正态分布,；当,m=1,时，密度函数曲线就是,指数分布,的密度函数曲线；当,m1,时，密度函数曲线渐进直线,t=,不同,值的威布尔分布（,=2,，,=0,）,=1/3,=1/2,=2,=1,f(t),t,随着尺度参数,的减小,，曲线由同一原点向右扩展，最大值减小。,不同,值的威布尔分布（,=1,，,=2,）,=0,=0.5,=-0.5,=1,f(t),t,位置参数,的大小反映了密度函数,曲线起始点,的位置在横坐标上的变化,当,m,和,不变，威布尔分布曲线的形状不变。随着,的减小，曲线由同一原点向右扩展，最大值减小。,当,和,不变，,m,变化时，曲线形状随,m,而变化。当,m,值约为,3.5,时，威布尔分布接近,正态分布,。,当,和,m,不变时，威布尔分布曲线的形状和尺度都不变，它的,位置随,的增加而向右,移动。,威布尔分布其它一些特点，,m,1,时，表示磨损失效；,m,=1,时，表示恒定的随机失效，这时,为常数；,m,1,时，表示早期失效。当,m,=1,，,=0,时，为指数分布，式中 为平均寿命,威布尔分布,不可靠度函数,可靠度函数,故障率函数,平均寿命,函数，查表得到,可靠寿命,：,中位寿命,特征寿命,即参数为特征寿命,寿命方差,函数由附表,4,中查出,内燃机设备中，有三种情况属威布尔分布：,串联结构,在较强外应力随机作用下所发生的故障。,如内燃机的水管、油管和常有故障发生的齿轮传动（系）、,链条系统,等零件，故障可考虑威布尔分布。,非串联结构中，由于各零件故障间相互关联密切，有,传播蔓延,而致故障的情况，滚动轴承故障亦属威布尔分布：滚珠轴承表面下的细小裂缝的表面传播引起的疲劳，然后由部分滚珠破裂导致其他滚珠过载所形成的轴承故障。,磨损期出现的故障，由磨损积累，疲劳积累和耗损,积累,，逐渐产生的故障，如活塞、缸体、齿轮箱以及轴承在磨损期出现的故障，很大部分属于威布尔分布,例：,已知某零件的疲劳寿命服从威布尔分布，由以前试验可知，,m=2,=200h,=0h,试求该零件得平均寿命，可靠度为,95%,时的可靠度寿命？,解：,谢谢,