高中数学第七章《数列与数学归纳法》.doc

高中数学第七章数列与数学归纳法第二节等差数列教学目标双向表学习水平学习内容知识技能与方法情感检测方法识记（A）理解（B）简单应用（C）综合应用（D）实际应用（E）兴趣（F）价值（G）定义观察等差数列例子1。通过介绍著名数学家高斯小时候的故事激发学生研究等差数列的热情。2通过实际的等差数列问题引起学生应用数列的兴趣体会通过建立等差数列的数学模型解决实际问题的价值口述回答总结等差数列定义口述回答分析等差数列定义口述回答等差中项等差中项定义口述回答等差中项的特点口述回答等差中项的充要条件证明题递推公式由等差数列定义得出等差数列递推公式口述回答等差数列递推公式应用简答或证明题通项公式复习数列通项公式概念口述回答由等差数列递推公式通过不完全归纳法推导等差数列通项公式口述回答分析等差数列通项公式：知三求一简答题从函数角度理解通项公式口述回答等差数列通项公式应用简答题前N项和公式任意数列前n项和表示方法口述回答举例高斯解决简单等差数列前n项和的方法口述回答用倒序相加法推导等差数列前n项和公式简答题分析等差数列前n项和公式：知三求二简答题从函数角度理解等差数列求和公式口述回答等差数列前n项和公式应用简答题说明：（A）：能再现或回忆数学知识（B）：能正确地认识数学知识的本质特征或联系（C）：能正确地使用单一知识点的能力（D）：能正确并灵活地融合多个知识点的能力（E）：能应用所学的数学知识解决实际问题的能力（建立简单的数学模型）（F）：能激发学生对学习数学的一种心理倾向（G）：能体会学习数学的意义等差数列（4课时）教学设计建议 一、教学内容分析（一）教材分析1、教材的地位和作用：数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习类比的依据。2、教学目标： 1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式及等差数列前 项和的公式，并能运用通项公式及前 项和的公式解决简单的问题. （1）了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断或证明一个数列是等差数列，了解等差中项的概念；（2）能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项；（3）能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题.（4）了解等差数列前 项和的定义，了解倒序相加的原理，理解等差数列前 项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式；（5）用方程思想认识等差数列前 项和的公式，利用公式求 ；等差数列通项公式与前 项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；2.通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式及前项和公式的运用，渗透方程思想3.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.（二）重点难点1重点：（1）等差数列的概念；（2）等差数列的通项公式的推导及应用；（3）等差数列前 项和公式的推导和应用。 2难点：（1）等差数列通项公式及前 项和公式的推导方法；（2）公式的灵活运用。二、教学方法建议（一）学情分析通过高中数学一年的学习，现在的学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以在授课时应注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。（二）教学方法1等差数列的定义及递推公式 （1）等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“的数列叫做等差数列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义师生共同总结得出等差数列的概念：如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调： “从第二项起”满足条件；公差d一定是由后项减前项所得；每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）；在理解概念的基础上，由学生阿将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式，即等差数列的递推公式：或说明：判断或证明一个数列是等差数列用等差数列的定义即递推公式。（2）例题例3和例5即根据等差数列定义及递推公式证明数列为等差数列。2等差中项 三个数a、A、b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，A叫做等差中项，等差中项等于另两项的算术平均数。通过推理论证得出：a、A、b所成的数列中，A是等差中项。三项数的中项是否是另外两项的算术平均数是用来验证三项数是否成等差数列的简捷方法，也是检验有限项数列是否成等差数列的方法之一。3等差数列的通项公式 若一等差数列an 的首项是a1,公差是d,则据其定义可得：a2- a1=d 即： a2=a1+da3 a2=d 即： a3=a2+d = a1+2da4 a3=d 即： a4=a3+d = a1+3d猜想: a40= a1+39d进而归纳出等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d此时指出：这种求通项公式的方法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，强调需要加以证明，这种方法就完善了，为以后的数学归纳法打下伏笔。接着举例说明：若一个等差数列an的首项是，公差是，得出这个数列的通项公式是：an=1+(n-1)2 ， 即an=2n-1 以此来巩固等差数列通项公式运用。同时要求画出该数列图象，由此说明等差数列是关于正整数n一次函数，其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列，使数列的性质显现得更加清楚。例1主要练习对等差数列通项公式的直接使用、“知三求一”，渗透方程的思想，以及基本量的使用。例2和例6练习等差数列及其通项公式在实际生活中的使用，培养学生从实际问题中抽象数学模型的能力。 进一步从一次函数角度（）并结合图像理解等差数列通项公式。4等差数列前n项和公式 本节内容是等差数列前 项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子1+2+3+100=？引入高斯求解本题的方法，让学生从中得到一些启发，思考：对于一般的等差数列是否可以借鉴这种方法？之后在教师的启发之下用倒序相加法推导等差数列求和公式:并加以简单应用；再与等差数列通项公式组成方程组，推导等差数列求和的另一公式：。强调：（1）掌握推导公式的方法：倒序相加法；（2）分析两公式：两个公式中共涉及到5个量，任意知道其中3个可求其余2个，即“知三求二”，渗透方程的思想；（3）分析两公式，能够恰当地选择适当的公式，尤其是第二个公式中注意基本量和d的使用；（4）分析公式，可变形为，从函数角度理解等差数列前n项和公式。例7练习对于等差数列求和公式的使用。例8练习用基本量和d求等差数列前n项和公式，渗透方程思想。例9是通过数列的求和公式求数列的通项公式，使数列的和与项之间建立起关系，即项和关系式。这是本节内容的一个综合应用，同时也可推广到从函数角度理解等差数列的求和公式。等差数列（4课时）教学效果检测课内检测题：一、等差数列及其通项公式（1）1、下列数列中成等差数列的是（ ）A 0,1,3,5,7； B C D2、如果命题甲为：ABC中有一个内角为，命题乙为：ABC的三个内角的度数可以构成等差数列，那么命题甲是命题乙的（ ）A 充分非必要条件； B 必要非充分条件； C 充要条件； D既非充分又非必要条件。3、已知数列是等差数列，如果那么_。4、已知数列是等差数列，如果，那么d=_。5、1与9的等差中项A=_。6、对大气、水土等生产条件有严格国家认证标准的有机食物越来越受到消费者的青睐，某有机谷物的生产地，今年种植有机谷物的面积为1万亩，为适应市场需求，计划每年新增种植面积3千亩，要使种植面积超过3万亩，多少年后才能实现目标？等差数列及其通项公式（2）1、 在等差数列中，（1） 如果那么d=_；（2） 如果，那么_；（3） 如果，那么n=_。2、 如果正整数p、q、l、k满足p+q=l+k,数列是等差数列，那么，试判断这个命题及其逆命题的真假，并说明理由。等差数列及其通项公式（3）1、 已知a、b、c是等差数列，求证：b+c、c+a、a+b是等差数列。2、 已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d,（1） 将数列中的前m项去掉，其余各项依原来的先后次序组成一个新数列，这个新数列是等差数列吗?如果是，它的首项和公差分别是多少？（2） 取出数列中的所有奇数项，依原来的先后次序组成一个新数列，这个新数列是等差数列吗?如果是，它的首项和公差分别是多少？3、 在8与36中间插入6个数，使这8个数成等差数列，求所插入的6个数。4、 一架木梯从下至上共有11级，它们的宽度成等差数列，最下一级宽57厘米，最上一级宽37厘米，求这架木梯中间各级的宽度。二、等差数列前n项和公式1、已知数列是等差数列，它的前n项和为，求。2、已知数列是等差数列，它的前n项和为，求。3、已知，求n。4、已知数列是等差数列，它的前n项和为，求。课后检测题：一、等差数列及其通项公式1、判断下列数列中，那些是等差数列。是等差数列的，请写出等差数列的公差d。（1）1，11，121 （2）1，2，1（3）。 （4）2，2，2。2、已知数列是等差数列，请在下表中填入适当的数：公差d-36-523、根据所写的条件填写下表：dn等差数列51012等差数列-56614、已知数列是等差数列，且，求这个数列的通项公式。5、已知数列是等差数列，且，求与。6、已知数列是等差数列，且设与的等差中项为x，与x的等差中项为y，x与的等差中项为z,求x+y+z。7、分别求下列两题中两数的等差中项：（1）与；（2）与。8、已知数列是等差数列，且，求证：数列是等差数列。9、已知三个数成等差数列，首末两项之积为中间项的5倍，后两项的和为第一项的8倍，求这三个数。10、已知非零实数a、b、c不全相等，如果a、b、c成等差数列，那么能不能构成等差数列？为什么？ 11、已知数列是等差数列，（1）是否成立？为什么？（2）求证：。（3）由第（2）题你可以推广出怎样的结论？12、夏季高山上的温度从山脚起每升高100米降低，已知山脚的温度是，山顶的温度是，求山的相对高度。13、某产品按质量分成10个档次，生产最低档次的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，产量减少3件。如果在某段时间内，最低档的产品可生产60件，那么在相同时间内，生产第几档次的产品可获得最大利润？（最低档次为第1档）14、已知a,b,c,d成等差数列，求证：2a-3b,2b-3c,2c-3d成等差数列。15、如果数列是项数相同的两个等差数列，p,q是常数，那么数列是等差数列吗？为什么？16、已知数列的各项均不为零，且，。求证：数列是等差数列。二、等差数列前n项和公式1、已知等差数列分别满足下列条件，求解相应问题。（1），求。（2），求。（3），求d。（4），求。2、已知等差数列的第6项是5，第3项与第8项的和也是5，求这个数列的前9项和。3、求100以内能被7整除的所有正整数的和。4、某礼堂有18排座位，第1排有26个座位，以后每一排都比前一排多2个座位，这个礼堂共能坐多少人?5、某单位开发了一个受政府扶持的新项目，得到政府无息贷款50万元用于购买设备，已知该设备在使用过程中第一天使用费是101元，第n天使用费是（100+n）元。如果总费用=购置费+使用费，那么使用多少天后，平均每天的费用最低？6、已知等差数列的前15项和为135，求这个数列的第8项。7、已知等差数列的前5项和为0，前10项和为-100，求这个数列的前20项和。8已知数列的前n项和为，求证：数列是等差数列。9、已知数列的前n项和为，判断数列是否是等差数列，并说明理由。选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按ctrl 点击打开)选校网（www.xuanxiao.com）是为高三同学和家长提 供高考选校信息的一个网站。国内目前有2000多所高校，高考过后留给考生和家长选校的时间紧、高校多、专业数量更是庞大，高考选校信息纷繁、复杂，高三 同学在面对高考选校时会不知所措。选校网就是为考生整理高考信息，这里有1517专业介绍，近2000所高校简介、图片、视频信息。选校网，力致成为您最 强有力的选校工具！产品介绍：1.大学搜索：介绍近2000所高校最详细的大学信息，包括招生简章，以及考生最需要的学校招生办公室联系方式及学校地址等.2.高校专业搜索：这里包含了中国1517个专业介绍，考生查询专业一目了然，同时包含了专业就业信息，给考生报考以就业参考。3.图片搜索：这里有11万张全国高校清晰图片，考生查询学校环境、校园风景可以一览无余。4视频搜索：视频搜索包含了6162个视频信息，大学视频、城市视频、访谈视频都会在考生选校时给考生很大帮助。5.问答：对于高考选校信息或者院校还有其他疑问将自己的问题写在这里，你会得到详尽解答。6新闻：高考新闻、大学新闻、报考信息等栏目都是为考生和家长量身定做，和同类新闻网站相比更有针对性。7.千校榜：把高校分成各类，让考生选校时根据类别加以区分，根据排名选择自己喜欢的高校。8选校课堂：这里全部的信息都是以考生选校、选校技巧、经验为核心，让专家为您解答高考选校的经验和技巧。9.阳光大厅：考生经过一年紧张的学习生活心理压力有待缓解和释放，阳光大厅给家长以心灵启示，给考生心里以阳光。10.港澳直通：很多考生都梦想去香港澳门读大学，港澳直通，给考生的梦想一个放飞的地方，港澳直通囊括了港澳大学的所有信息，将一切更直观的呈现给考生。11.选校社区：注册您真是的信息，在这里可以和大家分享您所在城市的到校信息，读到好的选校文章也可以拿到这里，让大家共同品尝，您还可以加入到不同的大学、专业、城市群组，和大家一起讨论这些话题分享信息。选校网，为你整合众多高考选校信息，只为考生、家长能够从中受益。让我们共同为考生的未来，努力！我们在不断完善，以更加符合家长和同学们的需求。陆续我们将推出城市印象频道，让大家了解学校所在城市的详细情况；预报名系统(yubaoming.com)，为您更加准确地根据高考分数填报志愿提供利器.一切，贵在真实。