高一必修四(推导公式).doc

推导公式：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中，R为外接圆半径) 由正弦定理有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 所以 a=2R*sinA b=2R*sinB c=2R*sinC 加起来a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入 (a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA对数的性质及推导 用表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数 *表示乘号，/表示除号 定义式： 若an=b(a0且a1) 则n=log(a)(b) 基本性质： 1.a(log(a)(b)=b 2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4.log(a)(Mn)=nlog(a)(M) 推导 1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的n=log(a)(b)带入an=b) 2.MN=M*N 由基本性质1(换掉M和N) alog(a)(MN)=alog(a)(M)*alog(a)(N) 由指数的性质 alog(a)(MN)=alog(a)(M)+log(a)(N) 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N) 3.与2类似处理 MN=M/N 由基本性质1(换掉M和N) alog(a)(M/N)=alog(a)(M)/alog(a)(N) 由指数的性质 alog(a)(M/N)=alog(a)(M)-log(a)(N) 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N) 4.与2类似处理 Mn=Mn 由基本性质1(换掉M) alog(a)(Mn)=alog(a)(M)n 由指数的性质 alog(a)(Mn)=alog(a)(M)*n 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(Mn)=nlog(a)(M) 其他性质： 性质一：换底公式 log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a) 推导如下 N=alog(a)(N) a=blog(b)(a) 综合两式可得 N=blog(b)(a)log(a)(N)=blog(a)(N)*log(b)(a) 又因为N=blog(b)(N) 所以 blog(b)(N)=blog(a)(N)*log(b)(a) 所以 log(b)(N)=log(a)(N)*log(b)(a)这步不明白或有疑问看上面的 所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a) 性质二：（不知道什么名字） log(an)(bm)=m/n*log(a)(b) 推导如下 由换底公式lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底 log(an)(bm)=ln(an)/ln(bn) 由基本性质4可得 log(an)(bm)=n*ln(a)/m*ln(b)=(m/n)*ln(a)/ln(b) 再由换底公式 log(an)(bm)=m/n*log(a)(b) -（性质及推导完） 公式三: log(a)(b)=1/log(b)(a) 证明如下: 由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)-取以b为底的对数,log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)*log(b)(a)=1平方关系： sin2()+cos2()=1 tan2()+1=sec2() cot2()+1=csc2() 商的关系： tan=sin/coscot=cos/sin 倒数关系： tancot=1 sincsc=1 cossec=1万能公式： sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二： 设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三： 任意角与-的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系： sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot 公式六： /2及3/2与的三角函数值之间的关系： sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sintan（3/2）cot cot（3/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan (以上kZ) 一般的最常用公式有: Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB) 平方关系： sin2()+cos2()=1 tan2()+1=sec2() cot2()+1=csc2() 积的关系： sin=tan*cos cos=cot*sin tan=sin*sec cot=cos*csc sec=tan*csc csc=sec*cot 倒数关系： tancot=1 sincsc=1 cossec=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数： cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 辅助角公式： Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中 sint=B/(A2+B2)(1/2) cost=A/(A2+B2)(1/2) 倍角公式： sin(2)=2sincos=2/(tan+cot) cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() tan(2)=2tan/1-tan2() 三倍角公式： sin(3)=3sin-4sin3() cos(3)=4cos3()-3cos 半角公式： sin(/2)=(1-cos)/2) cos(/2)=(1+cos)/2) tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 降幂公式 sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2()=(1+cos(2)/2=vercos(2)/2 tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2) 万能公式： sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2) 积化和差公式： sincos=(1/2)sin(+)+sin(-) cossin=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2)cos(+)+cos(-) sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-) 和差化积公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 其他： sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 部分高等内容 高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)： sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i) cosx=e(ix)+e(-ix)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix) 泰勒展开有无穷级数，ez=exp(z)1z/1！z2/2！z3/3！z4/4！zn/n！ 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 三角函数作为微分方程的解： 对于微分方程组y=-y;y=y，有通解Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 特殊三角函数值 a030456090 sina01/22/23/21 cosa13/22/21/20 tana03/313None cotaNone313/30 三角函数的计算 幂级数 c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.=cnxn(n=0.) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.=cn(x-a)n(n=0.) 它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,.cn.及a都是常数,这种级数称为幂级数. 泰勒展开式(幂级数展开法): f(x)=f(a)+f(a)/1!*(x-a)+f(a)/2!*(x-a)2+.f(n)(a)/n!*(x-a)n+. 实用幂级数： ex=1+x+x2/2!+x3/3!+.+xn/n!+. ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-.(-1)k-1*xk/k+.(|x|1) sinx=x-x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-x) cosx=1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-x) arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+.(|x|1) arccosx=-(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+.)(|x|1) arctanx=x-x3/3+x5/5-.(x1) sinhx=x+x3/3!+x5/5!+.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-x) coshx=1+x2/2!+x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-x) arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-.(|x|1) arctanhx=x+x3/3+x5/5+.(|x|1) - 傅立叶级数(三角级数) f(x)=a0/2+(n=0.)(ancosnx+bnsinnx) a0=1/(.-)(f(x)dx an=1/(.-)(f(x)cosnx)dx bn=1/(.-)(f(x)sinnx)dx 注意：正切也可以表示为“Tg”如：TanA=TgA Sin2a=2SinaCosa Cos2a=Cosa2-Sina2 =1-2Sina2 =2Cosa2-1 Tan2a=2Tana/1-Tana2