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高中数学课件 人教版必修一精品ppt 数与形 本是相倚依焉能分作两边飞数无形时少直觉形少数时难入微数形结合百般好隔离分家万事休切莫忘 几何代数统一体永远联系莫分离 华罗庚 第一章 集合与函数 第二章 基本初等函数 第三章 函数的应用 第一节 集合 第一章 集合与函数 二 集合的定义与表示 1 通常 我们把研究的对象称为元素 而某些拥有共同特征的元素所组成的总体叫做集合 并用花括号 括起来 用大写字母带表一个集合 其中的元素用逗号分割 2 集合有三个特征 确定性 互异性和无序性 就是根据这三个特征来判断是否为一个集合 一 请关注我们的生活 会发现 1 高一 9 班的全体学生 A 高一 9 班的学生 2 中国的直辖市 B 中国的直辖市 3 2 4 6 8 10 12 14 C 2 4 6 8 10 12 14 4 我国古代的四大发明 D 火药 印刷术 指南针 造纸术 5 2004年雅典奥运会的比赛项目 E 2008年奥运会的球类项目 如何用数学的语言描述这些对象 集合的含义与表示 讨论1 下列对象能构成集合吗 为什么 1 著名的科学家 2 1 2 2 3这四个数字 3 我们班上的高个子男生 讨论2 集合 a b c d 与 b c d a 是同一个集合吗 三 数集的介绍和集合与元素的关系表示 1 常见数集的表示 N 自然数集 含0 即非负整数集N 或N 正整数集 不含0 Z 整数集Q 有理数集R 实数集 若一个元素m在集合A中 则说m A 读作 元素m属于集合A 否则 称为m A 读作 元素m不属于集合A 1 5N 四 集合的表示方法 1 列举法 就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法 注意 1 元素间要用逗号隔开 2 不管次序放在大括号内 例如 book中的字母组成的集合表示为 o 一次函数y x 3与y 2x 6的图像的交点组成的集合 1 4 1 4 2 描述法 就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法 其一般形式为 注意 1 中间的 不能缺失 2 不要忘记标明x R或者k Z 除非上下文明确表示 x p x 例如 book中的字母的集合表示为 A x x是book中的字母 所有奇数组成的集合 A x R x 2k 1 k Z 所有偶数组成的集合 A x R x 2k k Z 思考 1 比较这三个集合 A x Z x 10 B x R x 10 C x x 10 例题 求由方程x2 1 0的实数解构成的集合 解 1 列举法 1 1 或 1 1 2 描述法 x x2 1 0 x R 或 X X为方程x2 1 0的实数解 2 两个集合相等 如果两个集合的元素完全相同 则它们相等 例 集合A x x为小于5的素数 集合A x R x 1 x 3 0 这两个集合相等吗 根据集合中元素个数的多少 我们将集合分为以下两大类 1 有限集 含有有限个元素的集合称为有限集特别 不含任何元素的集合称为空集 记为 注意 不能表示为 2 无限集 若一个集合不是有限集 则该集合称为无限集 五 集合的分类 练习题 1 直线y x上的点集如何表示 2 方程组的解集如何表示 x y 2x y 1 3 若 1 a 和 a a2 表示同一个集合 则a的值不能为多少 集合间的基本关系 实数有相等关系 大小关系 如5 5 5 7 5 3 等等 类比实数之间的关系 你会想到集合之间的什么关系 观察下面几个例子 你能发现两个集合之间的关系吗 A 1 2 3 B 1 2 3 4 5 设A为新华中学高一 2 班女生的全体组成的集合 B为这个班学生的全体组成的集合 设C x x是两条边相等的三角形 D x x是等腰三角形 一 子集和真子集的概念 1 子集 一般地 对于两个集合A B 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 我们就说这两个集合有包含关系 称集合A为集合B的子集 B A 读作 A包含于B 或者B包含A可以联系数与数之间的 2 真子集 3 空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集 记作 并规定 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 4 补集与全集 设A S 由S中不属于集合A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 记作CSA 即CSA x x S 且x A 如图 阴影部分即CSA 如果集合S包含我们所要研究的各个集合 这时集合S看作一个全集 通常记作U 例题 不等式组的解集为A U R 试求A及CUA 并把它们分别表示在数轴上 1 CUA在U中的补集是什么 2 U Z A x x 2k k Z B x x 2k 1 K Z 则CUA CUB 思考 练习题 重点考察对空集的理解 4 设集合A x 1 x 3 B x x a 0 若A是B的真子集 求实数a的取值范围 5 设A 1 2 B x x A 问A与B有什么关系 并用列举法写出B 7 判断下列表示是否正确 1 a a 2 a a b 3 a b b a 4 1 1 1 0 1 5 0 6 1 1 4 补集与全集 集合与集合的运算 一般地 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合 称为A与B的交集 记作A B 即A B x x A 且x B A B可用右图中的阴影部分来表示 U A B A B 1 交集 其实 交集用通俗的语言来说 就是找两个集中中共同存在的元素 例题 1 A 1 1 2 3 B 1 2 1 C 1 1 2 3 2 1 1 A B C 交集的运算性质 思考题 如何用集合语言描述 2 并集 一般地 由所有属于集合A或者属于集合B的所构成的集合 称为A与B的并集 记作A B 即A B x x A 或x B A B可用右图中的阴影部分来表示 U A B 其实 并集用通俗的语言来说 就是把两个集合的元素合并到一起 所以交集是 求同 并集是存异 例题 设集合A x 1 x 2 集合B x 1 x 3 求A B 解 A B x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 1 1 2 3 并集的运算性质 注意 计算并集和交集的时候尽可能的转化为图像 减少犯错的几率 常用的图像有Venn图 数轴表示法 坐标表示法 尤其是涉及到不等式和坐标点的时候 练习题 1 判断正误 1 若U 四边形 A 梯形 则CUA 平行四边形 2 若U是全集 且A B 则CUA CUB 3 若U 1 2 3 A U 则CUA 2 设集合A 2a 1 2 B 2 3 a2 2a 3 且CBA 5 求实数a的值 3 已知全集U 1 2 3 4 5 非空集A x U x2 5x q 0 求CUA及q的值 第二节 函数 第一章 集合与函数 函数及其表示 一 函数的概念 小明从出生开始 每年过生日的时候都会测量一下自己的身高 其测量数据如下 年龄 岁 身高 cm 从以上两个例子 我们可以把年龄当做一个集合A 身高当做一个集合B 把时间当做一个集合C 把下降高度当做一个集D 那么对于集合A C中的每一个元素 集合B D中都有唯一的一个元素与其相对应 比如 对于A的每一个元素 乘以10再加20 就得到了集合B中的元素 对于集合C中的元素 平方后乘以4 9 就得到集合D中的元素 因此 函数就是表达了两个变量之间变化关系的一个表达式 其准确定义如下 设A B是非空的数集 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合A中的任意一个数x 在集合B中都有唯一确定的数f x 和它对应 那么就称f A B为集合A到集合B的一个函数 function 记作y f x x A 其中 x叫做自变量 x的取值范围A叫做函数的定义域 与x的值相对应的y值叫做函数值 因变量 函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域 而对应的关系f则成为对应法则 则上面两个例子中 对应法则分别是 乘以10再加20 和 平方后乘以4 9 二 映射 通过上面的两个例子 我们说明了什么是函数 上面的两个例子都是研究的数值的情况 那么进一步扩展 如果集合A和集合B不是数值 而是其他类型的集合 则这种对应关系就称为映射 具体定义如下 设A B是两个非空的集合 如果按照某一个确定的对应关系f 使对于集合A中的任何一个元素x 在集合B中都有唯一确定的元素y与之相对应 那么就称对应f A B为集合A到集合B的一个映射 国家 首都 中国 美国 韩国 日本 北京 华盛顿 首尔 东京 因此 函数是映射的一种特殊形式 三 函数的三种表示方法 解析法 图像法 列表法 详见课本P19页 四 开区间 闭区间和半开半闭区间 实数R的区间可以表示为 深入理解函数表示方法的解析法 五 着重强调的几个问题及考试陷阱 1 函数是高中数学乃至大学数学中最为重要的组成部分 大部分的章节都会与函数进行穿插出题 2 不管是映射还是函数 都是唯一确定的对应 即对于A中的元素有且仅有一个B中的元素与其相对应 深入的理解这句话就可以得到 可以多对一 而不能一对多 1 1 2 2 1 4 平方 4 9 2 3 开方 2 3 3 分母不能等于零 二次根号下不能为负数 分子分母的未知数不能随便约 根号不能随便去掉 都是求定义域的典型考点 详见课本例题 4 判定两个函数相同的条件 一是对应法则相同 二是定义域和值域相同 2 下列几种说法中 不正确的有 A 在函数值域中的每一个数 在定义域中都至少有一个数与之对应 B 函数的定义域和值域一定是无限集合 C 定义域和对应关系确定后 函数的值域也就确定 D 若函数的定义域只含有一个元素 则值域也只含有一个元素 E 若函数的值域只含有一个元素 则定义域也只含有一个元素 练习题 4 求下列函数的值域 5 判断下列各组函数是否表示同一函数 函数的基本性质 单调性 那么就说在f x 这个区间上是单调减函数 I称为f x 的单调减区间 x 设函数y f x 的定义域为A 区间IA 如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1 x2 设函数y f x 的定义域为A 区间IA 如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1 x2 那么就说在f x 这个区间上是单调增函数 I称为f x 的单调增区间 当x1 x2时 都有f x1 f x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 单调区间 O x y x1 x2 f x1 f x2 二 函数单调性考察的主要问题 3 证明一个函数具有单调性的证明方法 从定义出发 设定任意的两个x1和x2 且x2 x1 通过计算f x2 f x1 0或者 0恒成立 里面通常都是用因式分解的办法 把f x2 f x1 转化成 x2 x1 的表达式 最后判断f x2 f x1 是大于0还是小于0 2 x1 x2取值的任意性 例1 下图为函数y f x x 4 7 的图像 指出它的单调区间 1 5 3 5 6 4 1 5 3 5 6 7 例2 画出下列函数图像 并写出单调区间 数缺形时少直观 讨论1 根据函数单调性的定义 讨论2 在 0 和 0 上的单调性 例3 判断函数在定义域 1 上的单调性 并给出证明 形少数时难入微 证明 在区间 1 上任取两个值x1和x2 且x1 x2 则 且 所以函数在区间上是增函数 取值 作差 变形 定号 结论 练习题 函数的基本性质 极值 最大值和最小值 一元二次函数 一 定义 一般地 如果y ax2 bx c a b c是常数 a 0 那么 y叫做x的二次函数 由y ax2 bx c 配方 y ax2 bx c y a x h 2 k y a x x1 x x2 二 三种解析式及使用范围 三 一般式中a b c的作用和判断 1 a确定抛物线的开口方向 2 c确定抛物线与y轴的交点位置 3 a b确定对称轴的位置 ab 0 ab 0 ab 0 0 0 0 0 0 0 数缺形时少直观 四 平移问题 对一个已知函数进行平移 如函数的表达式可以统一表示为y f x 则平移后的方程遵循右上减 左下加的原则 具体如下 向右平移k个单位 则平移后的表达式为y f x k 向左平移k个单位 则平移后的表达式为y f x k 向上平移h个单位 则平移后的表达式为y h f x 想下平移h个单位 则平移后的表达式为y h f x 如果在横向和纵向上都有移动 则同时根据上述原则变化y和f x 各变各的 再进行整理 如 向左平移k个单位 向上平移h个单位 则平移后的表达式为y h f x k 注意 1 在替换的时候要替换所有的 尤其是x 替换时候最好带上括号 避免出错 2 平移的先后次序不影响平移结果 即无所谓先向左右 还是先向上下 只要是向坐标轴的正向移动 就用负号 只要是向坐标轴的负向移动就用正号 3 连线 画对称轴 确定顶点 确定与坐标轴的交点及对称点 D 5 当x 1时 y随x的增大而减小 当x 1时 y有最小值为y最小值 2 由图象可知 6 当x1时 y 0 当 3 x 1时 y 0 1 抛物线的顶点坐标是 A 1 3 B 1 3 C 1 8 D 1 8 2 在同一直角坐标系中 抛物线与坐标轴的交点个数是 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 3 已知二次函数 的图象如图所示 则有 a 0 b 0 c 0 a 0 b 0 c 0 C a 0 b 0 c 0 D a 0 b 0 c 0 四 巩固练习 4 二次函数y x2 x 6的图象顶点坐标是 对称轴是 5 抛物线y 2x2 4x与x轴的交点坐标是 6 已知函数y x2 x 4 当函数值y随x的增大而减小时 x的取值范围是 7 二次函数y mx2 3x 2m m2的图象经过原点 则m 8 二次函数的图象如图所示 则在下列各不等式中成立的个数是 abcb 2a b 0 b 4ac 0 9 二次函数f x 满足f 3 x f 3 x 且f x 0有两个实根x1 x2 则x1 x2等于 10 数f x 2x2 mx 3 当x 1 时是减函数 当x 1 时是增函数 则f 2 11 关于x的方程x2 a2 1 x a 2 0的一根比1大 另一根比1小 则有 A 1 a 1 B a 2或a 1 C 2 a 1 D a 1或a 2 12 设x y是关于m的方程m2 2am a 6 0的两个实根 则 x 1 2 y 1 2的最小值是 C A 12 B 18 C 8 D 3413 设函数f x x x bx c 给出下列命题 b 0 c 0时 f x 0只有一个实数根 c 0时 y f x 是奇函数 y f x 的图象关于点 0 c 对称 方程f x 0至多有2个实数根 上述命题中的所有正确命题序号是 函数的基本性质 奇偶性 1 已知函数f x x2 求f 2 f 2 f 1 f 1 及f x 并画出它的图象 解 f 2 2 2 4f 2 4 f 1 1 2 1f 1 1 f x x 2 x2 f 2 f 2 f 1 f 1 f x f x 说明 当自变量任取定义域中的两个相反数时 对应的函数值相等即f x f x 如果对于f x 定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫偶函数 偶函数定义 2 已知f x x3 画出它的图象 并求出f 2 f 2 f 1 f 1 及f x 解 f 2 2 3 8f 2 8 f 1 1 3 1f 1 1 f x x 3 x3 f 2 f 2 f 1 f 1 f x f x 说明 当自变量任取定义域中的两个相反数时 对应的函数值也互为相反数 即f x f x 奇函数定义 如果对于f x 定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫奇函数 对奇函数 偶函数定义的说明 1 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 如 f x x2 x 0 是偶函数吗 2 奇 偶函数定义的逆命题也成立 即 若f x 为偶函数 则f x f x 成立 若f x 为奇函数 则f x f x 成立 3 如果一个函数f x 是奇函数或偶函数 那么我们就说函数f x 具有奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性 解 定义域为R f x x 3 2 x x3 2x x3 2x 即f x f x f x 为奇函数 解 定义域为R f x 2 x 4 3 x 2 2x4 3x2 即f x f x f x 为偶函数 1 f x x3 2x 2 f x 2x4 3x2 2 奇函数的图象关于原点对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数为奇函数 1 偶函数的图象关于y轴对称 反过来 如果一个函数的图象关于y轴对称 那么这个函数为偶函数 注 奇偶函数图象的性质可用于 简化函数图象的画法 判断函数的奇偶性 奇偶函数图象的性质 两个定义 对于f x 定义域内的任意一个x 如果都有f x f x f x 为奇函数 如果都有f x f x f x 为偶函数 两个性质 一个函数为奇函数它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称 2 f x x2 1 3 f x 5 4 f x 0 练习题 5 f x x 1 6 f x x2x 1 3 第二章 基本初等函数 第一节 指数函数 指数与指数幂的运算 根式 探究 a a 0 a a 0 分数指数幂 指数运算法则 结合具体的理解进行记忆 引例1 某种细胞分裂时 由1个分裂成2个 2个分裂成4个 1个这样的细胞分裂x次后 得到的细胞个数y与x的函数关系是什么 分裂次数 1 2 3 4 x细胞个数 2 4 8 16 y由上面的对应关系可知 函数关系是 引例2 某种商品的价格从今年起每年降低15 设原来的价格为1 x年后的价格为y 则y与x的函数关系式为 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数 即 其中x是自变量 函数定义域是R 定义 指数函数及其性质 探究1 为什么要规定a 0 且a 1呢 若a 0 则当x 0时 0 当x0时 无意义 若a0且a 1在规定以后 对于任何xR 都有意义 且 0 因此指数函数的定义域是R 值域是 0 引例 例题讲解 课本P56 57中的例6 例7和例8 课堂练习 课本P58的练习1 2 进一步拓展 进一步拓展 复合函数求单调区间 综合练习 课本P59页习题2 1 第二章 基本初等函数 第二节 对数函数 对数及其运算 前节内容回顾 引导 定义 两种特殊的底 10和e 探究 结论 负数和零没有对数 练习 课本P64页 对数运算法则 探究 换底公式的证明与应用 例题讲解 课堂练习 1 课本P65页 例2 例6 1 课本P68页 对数函数及其性质 我们研究指数函数时 曾讨论过细胞分裂问题 某种细胞分裂时 由1个分裂成2个 2个分裂成4个 1个这样的细胞分裂成x次后 得到细胞个数y是分裂次数x的函数 这个函数可以用指数函数 表示 反过来 1个细胞经过多少次分裂 大约可以等于1万个 10万个 细胞 已知细胞个数y 如何求分裂次数x 得到怎样一个新的函数 1 2 4 y 2x 复习引入 y 2x x N 1 对数函数的定义 2 指数函数与对数函数两者图像之间的关系 对数函数的图像和性质 例1 求下列函数的定义域 1 2 3 反函数 1 定义 2 求法 已知某个函数的表达式 y f x 求其反函数的方法和步骤如下 1 通过表达式y f x 把函数表示成x g y 的形式 2 把求得的x g y 的位置对调 即y g x 的形式 3 注意 只有是严格一一对应的函数才能求其反函数 即存在多对一的情况的函数是没有反函数的 有反函数不一定有单调性 如y 1 x 练习 课本P73 74页 第二章 基本初等函数 第三节 幂函数 幂函数定义 注意 第三章 函数的应用 第一节 函数与方程 要点梳理1 函数的零点 1 函数零点的定义对于函数y f x x D 把使 成立的实数x叫做函数y f x x D 的零点 f x 0 基础知识自主学习 2 几个等价关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与 有交点 函数y f x 有 3 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么函数y f x 在区间 内有零点 即存在c a b 使得 这个 也就是f x 0的根 f a f b 0 a b f c 0 c x轴 零点 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 x1 0 无 一个 两个 3 二分法 1 二分法的定义对于在区间 a b 上连续不断且 的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 2 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤第一步 确定区间 a b 验证 给定精确度 第二步 求区间 a b 的中点x1 f a f b 0 一分为二 零点 f a f b 0 第三步 计算 若 则x1就是函数的零点 若 则令b x1 此时零点x0 a x1 若 则令a x1 此时零点x0 x1 b 第四步 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复第二 三 四步 f x1 f a f x1 0 f x1 f b 0 f x1 0 基础自测1 若函数f x ax b有一个零点为2 则g x bx2 ax的零点是 A 0 2B 0 C 0 D 2 解析由f 2 2a b 0 得b 2a g x 2ax2 ax ax 2x 1 令g x 0 得x 0 x g x 的零点为0 C 2 函数f x 3ax 2a 1在 1 1 上存在一个零点 则a的取值范围是 A B a 1C D 解析f x 3ax 2a 1在 1 1 上存在一个零点 则f 1 f 1 0 即 D 3 函数图象与x轴均有公共点 但不能用二分法求公共点横坐标的是 解析图B不存在包含公共点的闭区间 a b 使函数f a f b 0 B 4 下列函数中在区间 1 2 上一定有零点的是 A f x 3x2 4x 5B f x x3 5x 5C f x mx2 3x 6D f x ex 3x 6解析对选项D f 1 e 30 f 1 f 2 0 D 5 设函数则函数f x 的零点是 解析当x 1时 当x 1时 舍去大于1的根 的零点为 题型一零点的判断 例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点 1 f x x2 3x 18 x 1 8 2 f x log2 x 2 x x 1 3 第 1 问利用零点的存在性定理或直接求出零点 第 2 问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解 思维启迪 题型分类深度剖析 解 1 方法一 f 1 12 3 1 18 200 f 1 f 8 0 故f x x2 3x 18 x 1 8 存在零点 方法二令f x 0 得x2 3x 18 0 x 1 8 x 6 x 3 0 x 6 1 8 x 3 1 8 f x x2 3x 18 x 1 8 有零点 2 方法一 f 1 log23 1 log22 1 0 f 3 log25 3 log28 3 0 f 1 f 3 0 故f x log2 x 2 x x 1 3 存在零点 方法二设y log2 x 2 y x 在同一直角坐标系中画出它们的图象 从图象中可以看出当1 x 3时 两图象有一个交点 因此f x log2 x 2 x x 1 3 存在零点 函数的零点存在性问题常用的办法有三种 一是用定理 二是解方程 三是用图象 值得说明的是 零点存在性定理是充分条件 而并非是必要条件 探究提高 知能迁移1判断下列函数在给定区间上是否存在零点 1 f x x3 1 2 x 0 1 解 1 f x x3 1 x 1 x2 x 1 令f x 0 即 x 1 x2 x 1 0 x 1 f x x3 1有零点 1 2 方法一令f x 0 x 1 而 1 0 1 x 0 1 不存在零点 方法二令y x 在同一平面直角坐标系中 作出它们的图象 从图中可以看出当0 x 1时 两图象没有交点 故x 0 1 没有零点 题型二函数零点个数的判断 例2 求函数y lnx 2x 6的零点个数 该问题转化为求函数y lnx与y 6 2x的图象的交点个数 因此只需画出图 数形结合即可 思维启迪 解在同一坐标系画出y lnx与y 6 2x的图象 由图可知两图象只有一个交点 故函数y lnx 2x 6只有一个零点 若采用基本作图法 画出函数y lnx 2x 6的图象求零点个数 则太冗长 构造新函数y lnx与y 6 2x 用数形结合法求交点 则简洁明快 探究提高 知能迁移2已知函数 a 1 判断f x 0的根的个数 解设f1 x ax a 1 f2 x 则f x 0的解即为f1 x f2 x 的解 即为函数f1 x 与f2 x 图象交点的横坐标 在同一坐标系中 作出函数f1 x ax a 1 与f2 x 的图象 如图所示 两函数图象有且只有一个交点 即方程f x 0有且只有一个根 题型三零点性质的应用 例3 12分 已知函数f x x2 2ex m 1 g x x x 0 1 若g x m有零点 求m的取值范围 2 确定m的取值范围 使得g x f x 0有两个相异实根 1 可结合图象也可解方程求之 2 利用图象求解 思维启迪 解 1 方法一 等号成立的条件是x e 故g x 的值域是 2e 4分因而只需m 2e 则g x m就有零点 6分方法二作出的图象如图 4分可知若使g x m有零点 则只需m 2e 6分 方法三解方程由g x m 得x2 mx e2 0 此方程有大于零的根 4分等价于故m 2e 6分 2 若g x f x 0有两个相异的实根 即g x f x 中函数g x 与f x 的图象有两个不同的交点 作出 x 0 的图象 f x x2 2ex m 1 x e 2 m 1 e2 其对称轴为x e 开口向下 最大值为m 1 e2 10分故当m 1 e2 2e 即m e2 2e 1时 g x 与f x 有两个交点 即g x f x 0有两个相异实根 m的取值范围是 e2 2e 1 12分 此类利用零点求参数的范围的问题 可利用方程 但有时不易甚至不可能解出 而转化为构造两函数图象求解 使得问题简单明了 这也体现了当不是求零点 而是利用零点的个数 或有零点时求参数的范围 一般采用数形结合法求解 探究提高 知能迁移3是否存在这样的实数a 使函数f x x2 3a 2 x a 1在区间 1 3 上与x轴恒有一个零点 且只有一个零点 若存在 求出范围 若不存在 说明理由 解 3a 2 2 4 a 1 0 若实数a满足条件 则只需f 1 f 3 0即可 f 1 f 3 1 3a 2 a 1 9 9a 6 a 1 4 1 a 5a 1 0 所以a 或a 1 检验 1 当f 1 0时 a 1 所以f x x2 x 令f x 0 即x2 x 0 得x 0或x 1 方程在 1 3 上有两根 不合题意 故a 1 2 当f 3 0时 a 解之得x 或x 3 方程在 1 3 上有两根 不合题意 故a 综上所述 a1 1 函数零点的判定常用的方法有 零点存在性定理 数形结合 解方程f x 0 2 研究方程f x g x 的解 实质就是研究G x f x g x 的零点 3 二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法 其实质是通过不断地 取中点 来逐步缩小零点所在的范围 当达到一定的精确度要求时 所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值 方法与技巧 思想方法感悟提高 1 对于函数y f x x D 我们把使f x 0的实数x叫做函数的零点 注意以下几点 1 函数的零点是一个实数 当函数的自变量取这个实数时 其函数值等于零 2 函数的零点也就是函数y f x 的图象与x轴的交点的横坐标 3 一般我们只讨论函数的实数零点 4 函数的零点不是点 是方程f x 0的根 失误与防范 2 对函数零点存在的判断中 必须强调 1 f x 在 a b 上连续 2 f a f b 0 3 在 a b 内存在零点 事实上 这是零点存在的一个充分条件 但不必要 一 选择题1 设f x 3x x2 则在下列区间中 使函数f x 有零点的区间是 A 0 1 B 1 2 C 2 1 D 1 0 解析 f 1 3 1 1 2 f 0 30 02 1 0 f 1 f 0 0 有零点的区间是 1 0 D 定时检测 2 2009 天津理 4 设函数 x 0 则y f x A 在区间 1 e 内均有零点B 在区间 1 e 内均无零点C 在区间内有零点 在区间 1 e 内无零点D 在区间内无零点 在区间 1 e 内有零点 解析因为因此f x 在内无零点 因此f x 在 1 e 内有零点 答案D 3 2009 福建文 11 若函数f x 的零点与g x 4x 2x 2的零点之差的绝对值不超过0 25 则f x 可以是 A f x 4x 1B f x x 1 2C f x ex 1D 解析 g x 4x 2x 2在R上连续且设g x 4x 2x 2的零点为x0 则 又f x 4x 1零点为f x x 1 2零点为x 1 f x ex 1零点为x 0 零点为答案A 4 方程 x2 2x a2 1 a R 的解的个数是 A 1B 2C 3D 4解析 a R a2 1 1 而y x2 2x 的图象如图 y x2 2x 的图象与y a2 1的图象总有两个交点 方程有两解 B 5 方程 x x 1 k 0有三个不相等的实根 则k的取值范围是 A B C D 解析本题研究方程根的个数问题 此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题 其次是直接求出所有的根 本题显然考虑第一种方法 如图 作出函数y x x 1 的图象 由图象知当k 时 函数y k与y x x 1 有3个不同的交点 即方程有3个实根 答案A 6 设f x x3 bx c b 0 1 x 1 且则方程f x 0在 1 1 内 A 可能有3个实数根B 可能有2个实数根C 有唯一的实数根D 没有实数根解析 f x x3 bx c b 0 f x 3x2 b 0 f x 在 1 1 上为增函数 又 f x 在内存在唯一零点 C 二 填空题7 若函数f x x2 ax b的两个零点是2和3 则函数g x bx2 ax 1的零点是 解析 g x 6x2 5x 1的零点为 8 若函数f x x2 ax b的两个零点是 2和3 则不等式af 2x 0的解集是 解析 f x x2 ax b的两个零点是 2 3 2 3是方程x2 ax b 0的两根 由根与系数的关系知 f x x2 x 6 不等式af 2x 0 即 4x2 2x 6 0 2x2 x 3 0 解集为 9 已知y x x 1 x 1 的图象如图所示 今考虑f x x x 1 x 1 0 01 则方程f x 0 有三个实根 当x1时 恰有一实根 则正确结论的编号为 解析 f 2 2 3 1 0 01 5 990 即f 2 f 1 0 由图知f x 0在 1 0 上没有实数根 所以 不正确 又 f 0 5 0 5 0 5 1 5 0 01 0 3650 即f 0 5 f 1 0 所以f x 0 在 0 5 1 上必有一个实根 且f 0 f 0 5 0 f x 0在 0 0 5 上也有一个实根 f x 0在 0 1 上有两个实根 不正确 由f 1 0且f x 在 1 上是增函数 f x 0 f x 0在 1 上没有实根 不正确 并且由此可知 也正确 答案 三 解答题10 已知函数f x 4x m 2x 1有且仅有一个零点 求m的取值范围 并求出该零点 解 f x 4x m 2x 1有且仅有一个零点 即方程 2x 2 m 2x 1 0仅有一个实根 设2x t t 0 则t2 mt 1 0 当 0 即m2 4 0 m 2时 t 1 m 2时 t 1不合题意 舍去 2x 1 x 0符合题意 当 0 即m 2或m 2时 t2 mt 1 0有两正或两负根 即f x 有两个零点或没有零点 这种情况不符合题意 综上可知 m 2时 f x 有唯一零点 该零点为x 0 11 关于x的二次方程x2 m 1 x 1 0在区间 0 2 上有解 求实数m的取值范围 解设f x x2 m 1 x 1 x 0 2 若f x 0在区间 0 2 上有一解 f 0 1 0 则应有f 2 0 又 f 2 22 m 1 2 1 m 若f x 0在区间 0 2 上有两解 则由 可知m 1 12 已知a是实数 函数f x 2ax2 2x 3 a 如果函数y f x 在区间 1 1 上有零点 求a的取值范围 解 1 当a 0时 f x 2x 3 令2x 3 0 得x 1 1 f x 在 1 1 上无零点 故a 0 2 当a 0时 f x 2ax2 2x 3 a的对称轴为 当 1 即0时 须使解得a 1 a的取值范围是 1 3 当a 0时 当0 1 即a 时 须有又a a的取值范围是 当 1 即 a 0时 须有 a的解集为 综上所述 a的取值范围是 返回