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勾股定理及其逆定理复习典型例题1. 勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2=c2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长:a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。2. 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。3. 如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形(1)首先确定最大边(如:C,但不要认为最大边一定是C)(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则ABC是以C为直角的三角形。(若c2a2+b2则ABC是以C为钝角的三角形,若c2a2+b2则ABC是以C为锐角三角形)二、例题分析例1、若直角三角形两直角边的比是3:4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。解:设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得:(3x)2+(4x)2=202化简得x2=16;直角三角形的面积=3x4x=6x2=96注:直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(组)求解。例2、等边三角形的边长为2,求它的面积。解:如图,等边ABC,作ADBC于D则:BD=BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等)BD=1在直角三角形ABD中AB2=AD2+BD2,即:AD2=AB2BD2=41=3AD=SABC=BCAD=注:等边三角形面积公式:若等边三角形边长为a,则其面积为a例3、直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。解:设此直角三角形两直角边分别是x,y,根据题意得:由(1)得:x+y=7,(x+y)2=49,x2+2xy+y2=49 (3)(3)(2),得:xy=12直角三角形的面积是xy=12=6(cm2)例4、在锐角ABC中,已知其两边a=1,b=3,求第三边的变化范围。分析:显然第三边bacb+a,但这只是能保证三条边能组成一个三角形,却不能保证它一定是一个锐角三角形,为此,先求ABC为直角三角形时第三边的值。解:设第三边为c,并设ABC是直角三角形 当第三边是斜边时,c2=b2+a2,c= 当第三边不是斜边时,则斜边一定是b,b2=a2+c2,c=2(即)ABC为锐角三角形所以点A应当绕着点B旋转,使ABC成为锐角(如图),但当移动到点A2位置时ACB成为直角。故点A应当在A1和A2间移动,此时2AC注:此题易忽视或中一种情况,因为假设中并没有明确第三边是否直角边,所以有两种情况要考虑。例5、以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( )A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形:b2=c2a2=(ca)(c+a)来判断。例如:对于选择支D,82(40+39)(4039),以8,39,40为边长不能组成直角三角形。答案:A例6、四边形ABCD中,B=90,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。解:连结ACB=90,AB=3,BC=4AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)AC=5AC2+CD2=169,AD2=169AC2+CD2=AD2ACD=90(勾股定理逆定理)S四边形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=36本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。例7、若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n。分析:首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解:此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得:(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2化简得:n2=4n=2,但当n=2时,n+1=10,n=2三、练习题1、等腰三角形的两边长为4和2,则底边上的高是_,面积是_。2、一个直角三角形的三边长为连续偶数,则它的各边长为_。3、一个直角三角形一条直角边为16cm,它所对的角为60,则斜边上的高为_。4、四个三角形的边长分别是3,4,5 4,7,87,24,253,4,5其中是直角三角形的是( )A、B、C、D、5、如果线段a、b、c能组成直角三角形,则它们的比可以是( )A、1:2:4B、!:3:5C、3:4:7D、5:12:136、已知:如图,四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,B=90,求证:A+C=180。7、已知直角三角形中,两边的长为3、4,求第三边长。8、ABC中,C=90,a=5,cb=1,求b,c的长。9、如图:ABC中,AD是角平分线,AD=BD,AB=2AC。求证:ACB是直角三角形。三、练习题解答1、,2、6,8,103、8cm4、D5、D6、本题类似于例6,需连结AC证出ACD也是直角三角形,从而1+2=90,3+4=90,DAB+DCB=1807、解:设第三边长为x, 当第三边是斜边时:x2=32+42=25,即x=5 当第三边不是斜边时,则斜边长为4:x2=4232,即x=8、此题类似于例3解:根据题意得:9、证明:作DEAB于EAD=BD,DEAB2AE=AB(等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合) DEA=90(垂直的定义)又AB=2ACAE=ACAD是角平分线1=2在ACD和AED中ACDAED(SAS)C=AED=90(全等三角形对应角相等)ACB是直角三角形
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