高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件(理).ppt

第四节直线与圆 圆与圆的位置关系 知识梳理 1 直线与圆的位置关系与判断方法 1 几何法 利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系 直线与圆相交 直线与圆相切 直线与圆相离 d r d r d r 2 代数法 联立方程 消去x 或y 得一元二次方程 计算 b2 4ac 0 直线与圆 0 直线与圆 0 直线与圆 相交 相切 相离 2 圆与圆的位置关系设圆O1 x a1 2 y b1 2 r12 r1 0 圆O2 x a2 2 y b2 2 r22 r2 0 d r1 r2 无 d r1 r2 一组 r1 r2 d r1 r2 两组不同的 r1 r2 3 两圆公切线的条数 0 1 2 3 4 4 直线与圆相交弦长公式 特别提醒 1 两圆公共弦 公切线方程当两圆相交 切 时 两圆方程 x2 y2项系数相同 相减便可得公共弦 公切线 所在的直线方程 2 过圆x2 y2 Dx Ey F 0上一点 x0 y0 的切线方程为 x0 x y0y D 小题快练 链接教材练一练1 必修2P133A组T9改编 圆x2 y2 4 0与圆x2 y2 4x 4y 12 0的公共弦所在的直线方程为 解析 由得4x 4y 8 0 即x y 2 0 答案 x y 2 0 2 必修2P132A组T5改编 直线l 3x y 6 0与圆x2 y2 2x 4y 0相交于A B两点 则 AB 解析 由x2 y2 2x 4y 0 得 x 1 2 y 2 2 5 所以该圆的圆心坐标为 1 2 半径r 又圆心 1 2 到直线3x y 6 0的距离为d 由 2 r2 d2 得 AB 2 4 5 10 即 AB 答案 感悟考题试一试3 2015 重庆高考 若点P 1 2 在以坐标原点为圆心的圆上 则该圆在点P处的切线方程为 解析 点P 1 2 在以坐标原点为圆心的圆上 所以半径为r 圆的方程为x2 y2 5 在点P处的切线上任取一点Q x y 则PQ OP 因为 x 1 y 2 1 2 所以 x 1 2 y 2 0 即x 2y 5 0 即该圆在点P处的切线方程为x 2y 5 0 答案 x 2y 5 0 4 2015 湖南高考 若直线3x 4y 5 0与圆x2 y2 r2 r 0 相交于A B两点 且 AOB 120 O为坐标原点 则r 解析 如图 直线3x 4y 5 0与圆x2 y2 r2 r 0 交于A B两点 O为坐标原点 且 AOB 120 则圆心 0 0 到直线3x 4y 5 0的距离为r 即所以r 2 答案 2 5 2016 武汉模拟 已知直线x y a 0与圆心为C的圆x2 y2 2x 4y 4 0相交于A B两点 且AC BC 则实数a的值为 解析 由x2 y2 2x 4y 4 0得 x 1 2 y 2 2 9 所以圆C的圆心坐标为C 1 2 半径为3 由AC BC可知 ABC是直角边长为3的等腰直角三角形 故可得圆心C到直线x y a 0的距离为由点到直线的距离公式可得解得a 0或a 6 答案 0或6 考向一与圆的切线有关的问题 典例1 1 2015 山东高考 一条光线从点 2 3 射出 经y轴反射后与圆 x 3 2 y 2 2 1相切 则反射光线所在直线的斜率为 2 已知圆C经过A 5 2 B 3 2 且圆心C在直线x 3上 求圆C的方程 求过点D 0 1 且与圆C相切的两条切线方程 解题导引 1 由圆心到切线的距离等于半径列方程求斜率 2 可依据题设条件 设圆的标准方程 利用待定系数法 求解圆的方程 可利用圆的切线方程与圆的方程联立 消元后得到一元二次方程 令其判别式等于零 即可求出切线方程 规范解答 1 选D 反射光线过点 2 3 设反射光线所在直线方程为y 3 k x 2 即kx y 2k 3 0 反射光线与圆相切 圆心 3 2 到直线的距离等于半径1 即解得 2 因为圆心C在直线x 3上 所以设圆C的方程为 x 3 2 y b 2 r2 因为圆C经过A 5 2 B 所以解方程组得所以圆C的方程为 x 3 2 y 2 2 4 当斜率不存在时 不存在经过D 0 1 的切线 当斜率存在时 设切线的斜率为k 则切线方程为y kx 1 解方程组得 x 3 2 kx 1 2 4 即 k2 1 x2 2 k 3 x 6 0 因为方程有唯一一个解 所以 4 k 3 2 4 6 k2 1 0 所以5k2 6k 3 0 所以解方程得k 所以切线方程为y 一题多解 解答本例 2 你知道几种解法 解答本例 还有以下解法 因为圆C经过A 5 2 B 所以圆心C在AB的垂直平分线l上 且AB的中点坐标D 因为kAB 所以kl 1 所以直线l方程为因为圆心C在直线x 3上 所以 所以y 所以圆心C 3 2 因为半径r 所以圆C的方程为 x 3 2 y 2 2 4 当斜率不存在时 不存在经过D 0 1 的切线 当斜率存在时 设切线的斜率为k 则切线方程为y kx 1 因为直线与圆相切 所以圆心C 3 2 到直线kx y 1 0的距离等于圆的半径 所以d r 所以所以4k2 4 9k2 6k 1 所以5k2 6k 3 0 所以解方程得k 所以切线方程为y 规律方法 圆的切线方程的求法 1 代数法 设切线方程为y y0 k x x0 与圆的方程组成方程组 消元后得到一个一元二次方程 然后令判别式 0进而求得k 2 几何法 设切线方程为y y0 k x x0 利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d 然后令d r 进而求出k 提醒 若点M x0 y0 在圆x2 y2 r2上 则过M点的圆的切线方程为x0 x y0y r2 变式训练 1 若直线l y kx 1 k 0 与圆C x2 4x y2 2y 3 0相切 则直线l与圆D x 2 2 y2 3的位置关系是 A 相交B 相切C 相离D 不确定 解题指南 先由直线与圆相切求出k值 然后再判断直线与另一个圆的位置关系 解析 选A 因为圆C的标准方程为 x 2 2 y 1 2 2 所以其圆心坐标为 2 1 半径为因为直线l与圆C相切 所以解得k 1 因为k 0 所以k 1 所以直线l的方程为x y 1 0 圆心D 2 0 到直线l的距离所以直线l与圆D相交 2 已知圆O x2 y2 5和点A 1 2 则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 解析 因为点A 1 2 在圆x2 y2 5上 故过点A的圆的切线方程为x 2y 5 令x 0 得y 令y 0 得x 5 故S 答案 加固训练 1 圆 x 1 2 y 2 2 6与直线2x y 5 0的位置关系是 A 相切B 相交但直线不过圆心C 相交过圆心D 相离 解析 选B 由题意知圆心 1 2 到直线2x y 5 0的距离d 且2 1 2 5 0 所以直线与圆相交但不过圆心 2 在直角坐标系xOy中 以原点O为圆心的圆与直线x 4 0相切 则圆O的方程为 A x2 y2 4B x2 y2 3C x2 y2 2D x2 y2 1 解析 选A 依题意 圆O的半径r等于原点O到直线x 4 0的距离 即r 2 得圆O的方程为x2 y2 4 3 已知集合A x y x y为实数 且x2 y2 1 B x y x y为实数 且x y 1 则A B的元素个数为 A 4B 3C 2D 1 解析 选C 方法一 直接法 集合A表示圆 集合B表示一条直线 又圆心 0 0 到直线x y 1的距离d 1 r 所以直线与圆相交 方法二 数形结合法 画图可得 4 过点P 4 1 作圆C x 1 2 y2 1的两条切线 切点分别为A B 则直线AB的方程为 A 3x y 4 0B 3x y 4 0C 4x y 4 0D 4x y 4 0 解析 选B 如图所示 A点的坐标为 1 1 因为AB PC kPC 所以kAB 3 所以直线AB的方程为y 1 3 x 1 即3x y 4 0 考向二圆与圆的位置关系 典例2 已知圆C1 x2 y2 2mx 4y m2 5 0 圆C2 x2 y2 2x 2my m2 3 0 m为何值时 1 圆C1与圆C2外切 2 圆C1与圆C2内含 解题导引 可由两圆的位置关系与两圆的圆心距 半径和 半径差的绝对值之间的关系求解 规范解答 对于圆C1与圆C2的方程 经配方后得C1 x m 2 y 2 2 9 C2 x 1 2 y m 2 4 1 如果C1与C2外切 则有 m 1 2 2 m 2 25 m2 3m 10 0 解得m 5或m 2 所以当m 5或m 2时 圆C1与圆C2外切 2 如果圆C1与圆C2内含 则有 m 1 2 2 m 2 1 m2 3m 2 0 解得 2 m 1 所以当 2 m 1时 圆C1与圆C2内含 母题变式 1 在本例条件下 若两圆内切 求m的值 解析 由已知得化简得m2 3m 2 0 解得m 1或m 2 所以当m 1或m 2时 圆C1与圆C2内切 2 在本例条件下 若两圆相交 求公共弦所在的直线方程 解析 圆C1 x2 y2 2mx 4y m2 5 0 圆C2 x2 y2 2x 2my m2 3 0 由 得2x 2mx 2my 4y 2 0 所以 m 1 x m 2 y 1 0 易错警示 解答本题会出现以下错误 在利用两圆圆心距与两圆半径和 差的绝对值之间的关系时 这几种关系易混淆 从而导致结果错误 规律方法 1 判断两圆位置关系的方法常用几何法 即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系 一般不用代数法 2 两圆公共弦长的求法两圆公共弦长 在其中一圆中 由弦心距d 半弦长半径r所在线段构成直角三角形 利用勾股定理求解 变式训练 2016 郑州模拟 若 O1 x2 y2 5与 O2 x m 2 y2 20 m R 相交于A B两点 且两圆在点A处的切线互相垂直 则线段AB的长度是 解析 由两圆在点A处的切线互相垂直 可知两切线分别过另一圆的圆心 即AO1 AO2 在直角三角形AO1O2中 m2 所以m 5 AB 2 4 答案 4 加固训练 1 圆O1 x2 y2 2x 0和圆O2 x2 y2 4y 0的位置关系是 A 相离B 相交C 外切D 内切 解析 选B 圆O1的圆心坐标为 1 0 半径为r1 1 圆O2的圆心坐标为 0 2 半径r2 2 故两圆的圆心距 O1O2 而r2 r1 1 r1 r2 3 则有r2 r1 O1O2 r1 r2 故两圆相交 2 2016 长沙模拟 若圆C1 x2 y2 1与圆C2 x2 y2 6x 8y m 0外切 则m A 21B 19C 9D 11 解析 选C 圆C2的标准方程为 x 3 2 y 4 2 25 m 又圆C1 x2 y2 1 所以 C1C2 5 又因为两圆外切 所以5 1 解得m 9 3 若圆x2 y2 4与圆x2 y2 2ay 6 0 a 0 的公共弦长为则a 解析 方程x2 y2 2ay 6 0与x2 y2 4 两式相减得 2ay 2 则y 由已知条件即a 1 答案 1 考向三直线与圆的综合问题 考情快递 考题例析 命题方向1 直线与圆的位置关系的最值 范围 弦长问题 典例3 1 2016 承德模拟 若a2 b2 2c2 c 0 则直线ax by c 0被圆x2 y2 1所截得的弦长为 2 2016 长沙模拟 在平面直角坐标系中 点A B分别是x轴和y轴上的动点 若以AB为直径的圆C与直线2x y 4 0相切 则圆C面积的最小值为 解题导引 1 先求圆心到直线的距离 再利用弦长公式求弦长 2 依据题设条件 当点O 圆心 切点三点共线时 圆的半径最小 即圆的面积最小 规范解答 1 选D 因为圆心 0 0 到直线ax by c 0的距离d 因此根据直角三角形的关系 弦长的一半就等于所以弦长为 2 选A 因为 AOB 90 所以点O在圆C上 设直线2x y 4 0与圆C相切于点D 则圆心C与点O间的距离等于它到直线2x y 4 0的距离 所以当且仅当O C D共线时 圆的直径最小为 OD 又 OD 所以圆C的最小半径为所以圆C面积的最小值为 命题方向2 由直线与圆的位置关系确定直线 或圆 的方程问题 典例4 2015 武汉模拟 已知圆的方程是x2 y2 1 则在y轴上截距为的切线方程为 解题导引 可设直线方程的斜截式 利用直线与圆相切可求k的值 规范解答 选C 在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线 故设切线方程为y kx 则 1 所以k 1 故所求切线方程为y x 或y x 技法感悟 1 求直线被圆截得的弦长的常用方法在由弦心距 即圆心到直线的距离 弦长的一半及半径构成的直角三角形中利用勾股定理计算 2 由直线与圆的位置关系确定圆的方程时 常用到的圆的三个性质 1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 2 圆心在任一弦的中垂线上 3 两圆内切或外切时 切点与两圆圆心三点共线 题组通关 1 2016 厦门模拟 已知直线3x 4y 15 0与圆O x2 y2 25交于A B两点 点C在圆O上 且S ABC 8 则满足条件的点C的个数为 A 1个B 2个C 3个D 4个 解析 选C 圆心O到已知直线的距离为d 因此 AB 设点C到直线AB的距离为h 则S ABC 8 h 8 h 2 由于d h 3 2 5 r 圆的半径 因此与直线AB距离为2的两条直线中一条与圆相切 一条与圆相交 故符合条件的点C有三个 2 2016 长春模拟 设集合A x y y B x y y k x b 1 若对任意0 k 1都有A B 则实数b的取值范围是 解析 选C 集合A表示圆O x2 y2 4的上半圆 如图所示 集合B是一条直线 过y 1上的一点 利用斜率为k的临界条件k 1 要想使A B 只需直线在与圆相切和过 2 0 之间 这时可求出b 1 3 3 2016 阜新模拟 过点 1 的直线l将圆 x 2 2 y2 4分成两段弧 当劣弧所对的圆心角最小时 直线l的斜率k 解析 因为 1 2 2 2 3 4 所以点 1 在圆 x 2 2 y2 4的内部 当劣弧所对的圆心角最小时 即直线l交圆的弦长最短 此时圆心 2 0 与点 1 的连线垂直于直线l 因为所以所求直线l的斜率k 答案 4 2016 南宁模拟 直线ax by 1与圆x2 y2 1相交于A B两点 a b是实数 且 AOB是直角三角形 O是坐标原点 则点P a b 与点 0 1 之间的距离的最大值为 解析 由于 AOB为直角三角形 OA OB 1 故应为等腰直角三角形 故圆心到直线AB的距离为即所以2a2 b2 2 1 a 1 P a b 与 0 1 的距离为因为b 所以b 2 所以 b 2 故点P与点 0 1 之间的距离的最大值为答案 加固训练 1 2016 衡水模拟 已知圆x2 y2 2x 2y a 0截直线x y 2 0所得弦的长度为4 则实数a的值是 A 2B 4C 6D 8 解析 选B 由圆的方程x2 y2 2x 2y a 0可得 圆心为 1 1 半径r 圆心到直线x y 2 0的距离为d 由r2 d2 得2 a 2 4 所以a 4 2 2016 洛阳模拟 在平面直角坐标系xOy中 圆C的方程为x2 y2 4x 0 若直线y k x 1 上存在一点P 使过点P所作的圆的两条切线相互垂直 则实数k的取值范围是 解析 圆C的方程可化为 x 2 2 y2 4 先将 圆的两条切线相互垂直 转化为 点P到圆心的距离为 再将 直线上存在点P到圆心的距离为 转化为 圆心到直线的距离小于等于 即答案