高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆课件 文.ppt

第九章平面解析几何 9 5椭圆 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 高频小考点 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 椭圆的概念平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于F1F2 的点的轨迹叫做 两个定点F1 F2叫做椭圆的 两焦点间的距离叫做椭圆的 集合P M MF1 MF2 2a F1F2 2c 其中a 0 c 0 且a c为常数 1 若 则集合P为椭圆 2 若 则集合P为线段 3 若 则集合P为空集 椭圆 焦点 a c a c a c 焦距 知识梳理 1 答案 2 椭圆的标准方程和几何性质 2a 2b 2c a2 b2 c2 答案 点P x0 y0 和椭圆的关系 知识拓展 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内与两个定点F1 F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 2 椭圆上一点P与两焦点F1 F2构成 PF1F2的周长为2a 2c 其中a为椭圆的长半轴长 c为椭圆的半焦距 3 椭圆的离心率e越大 椭圆就越圆 4 方程mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 表示的曲线是椭圆 思考辨析 答案 答案 解析当焦点在x轴上时 10 m m 2 0 10 m m 2 4 m 4 当焦点在y轴上时 m 2 10 m 0 m 2 10 m 4 m 8 4或8 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析由题意知25 m2 16 解得m2 9 又m 0 所以m 3 3 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 4 如果方程x2 ky2 2表示焦点在y轴上的椭圆 那么实数k的取值范围是 又k 0 所以0 k 1 0 1 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 返回 解析设P x y 由题意知c2 a2 b2 5 4 1 所以c 1 则F1 1 0 F2 1 0 由题意可得点P到x轴的距离为1 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1如图所示 一圆形纸片的圆心为O F是圆内一定点 M是圆周上一动点 把纸片折叠使M与F重合 然后抹平纸片 折痕为CD 设CD与OM交于点P 则点P的轨迹是 解析由条件知PM PF PO PF PO PM OM R OF P点的轨迹是以O F为焦点的椭圆 命题点1椭圆定义的应用 椭圆 题型一椭圆的定义及标准方程 解析答案 例2 1 已知椭圆以坐标轴为对称轴 且长轴是短轴的3倍 并且过点P 3 0 则椭圆的方程为 命题点2利用待定系数法求椭圆方程 解析答案 解析答案 解析设椭圆方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0且m n 椭圆经过点P1 P2 点P1 P2的坐标适合椭圆方程 解析答案 思维升华 思维升华 1 求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法 利用椭圆的定义定形状时 一定要注意常数2a F1F2这一条件 2 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法 具体过程是先定形 再定量 即首先确定焦点所在位置 然后再根据条件建立关于a b的方程组 如果焦点位置不确定 要考虑是否有两解 有时为了解题方便 也可把椭圆方程设为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 的形式 1 已知圆 x 2 2 y2 36的圆心为M 设A为圆上任一点 且点N 2 0 线段AN的垂直平分线交MA于点P 则动点P的轨迹是 解析点P在线段AN的垂直平分线上 故PA PN 又AM是圆的半径 PM PN PM PA AM 6 MN 由椭圆定义知 P的轨迹是椭圆 椭圆 跟踪训练1 解析答案 解析答案 由c2 a2 b2可得b2 4 解析答案 c2 16 且c2 a2 b2 故a2 b2 16 其焦点在y轴上 且c2 25 9 16 解析答案 由 得b2 4 a2 20 解析答案 解析设点B的坐标为 x0 y0 解析答案 题型二椭圆的几何性质 2 解析答案 解析答案 思维升华 由题意知M为线段QF的中点 且OM FQ 又O为线段F1F的中点 F1Q OM F1Q QF F1Q 2OM 解析答案 思维升华 解析答案 思维升华 思维升华 思维升华 1 利用椭圆几何性质的注意点及技巧 注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围 或者最大值 最小值时 经常用到椭圆标准方程中x y的范围 离心率的范围等不等关系 利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时 要结合图形进行分析 当涉及顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的内在联系 2 求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时 一般是依据题设得出一个关于a b c的等式或不等式 利用a2 b2 c2消去b 即可求得离心率或离心率的范围 解析在双曲线中m2 n2 c2 跟踪训练2 解析答案 解析答案 命题点1由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质 解析答案 题型三直线与椭圆的综合问题 设椭圆的半焦距为c 由已知PF1 PF2 解由椭圆的定义 解析答案 解如图 连结F1Q 由PF1 PQ PQ PF1 得 解析答案 由椭圆的定义 PF1 PF2 2a QF1 QF2 2a 进而PF1 PQ QF1 4a 解析答案 命题点2由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质 解析答案 2 过F的直线与椭圆交于A B两点 线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P C 若PC 2AB 求直线AB的方程 解析答案 思维升华 当AB与x轴不垂直时 设直线AB的方程为y k x 1 A x1 y1 B x2 y2 将AB的方程代入椭圆方程 得 1 2k2 x2 4k2x 2 k2 1 0 解析答案 若k 0 则线段AB的垂直平分线为y轴 与左准线平行 不合题意 思维升华 解得k 1 此时直线AB的方程为y x 1或y x 1 思维升华 思维升华 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题 其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立 消元 化简 然后应用根与系数的关系建立方程 解决相关问题 涉及弦中点的问题时用 点差法 解决 往往会更简单 2015 北京 已知椭圆C x2 3y2 3 过点D 1 0 且不过点E 2 1 的直线与椭圆C交于A B两点 直线AE与直线x 3交于点M 1 求椭圆C的离心率 跟踪训练3 解析答案 2 若AB垂直于x轴 求直线BM的斜率 解因为AB过点D 1 0 且垂直于x轴 所以可设A 1 y1 B 1 y1 直线AE的方程为y 1 1 y1 x 2 令x 3 得M 3 2 y1 解析答案 3 试判断直线BM与直线DE的位置关系 并说明理由 解析答案 解直线BM与直线DE平行 证明如下 当直线AB的斜率不存在时 由 2 可知kBM 1 解析答案 解析答案 所以kBM 1 kDE 所以BM DE 综上可知 直线BM与直线DE平行 返回 高频小考点 8 高考中求椭圆的离心率问题 高频小考点 解析答案 AF BF 4 AF AF0 4 a 2 解析如图 设左焦点为F0 连结F0A F0B 则四边形AFBF0为平行四边形 解析答案 温馨提醒 返回 解析答案 温馨提醒 3b4 4a2c2 解析答案 温馨提醒 温馨提醒 温馨提醒 离心率是椭圆的重要几何性质 是高考重点考查的一个知识点 这类问题一般有两类 一类是根据一定的条件求椭圆的离心率 另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围 无论是哪类问题 其难点都是建立关于a b c的关系式 等式或不等式 并且最后要把其中的b用a c表达 转化为关于离心率e的关系式 这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法 返回 思想方法感悟提高 1 椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性 正确理解 掌握定义是关键 应注意定义中的常数大于F1F2 避免了动点轨迹是线段或不存在的情况 方法与技巧 3 讨论椭圆的几何性质时 离心率问题是重点 求离心率的常用方法有以下两种 2 列出关于a b c的齐次方程 或不等式 然后根据b2 a2 c2 消去b 转化成关于e的方程 或不等式 求解 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 PF2 6 PF1 2a PF2 10 6 4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A B两点 且AB 3 3 已知F1 1 0 F2 1 0 是椭圆C的两个焦点 过F2且垂直于x的直线与椭圆C交于A B两点 且AB 3 则C的方程为 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析当 PF1F2为直角时 根据椭圆的对称性知 这样的点P有2个 同理当 PF2F1为直角时 这样的点P有2个 当P点为椭圆的短轴端点时 F1PF2最大 且为直角 此时这样的点P有2个 故符合要求的点P有6个 6 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析圆M的方程可化为 x m 2 y2 3 m2 则由题意得m2 3 4 即m2 1 m 0 m 1 则圆心M的坐标为 1 0 由题意知直线l的方程为x c 又 直线l与圆M相切 c 1 a2 3 1 a 2 答案2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由题意知椭圆的两个焦点F1 F2分别是两圆的圆心 且PF1 PF2 10 从而PM PN的最小值为PF1 PF2 1 2 7 7 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为点C在椭圆上 所以由椭圆定义知CA CB 2a 而AB 2c 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又x2 0 a2 2c2 a2 3c2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以a c 1 又因为椭圆C的右准线为x 4 代入上式解得a 2 c 1 所以b2 3 解由题意知 直线l的方程为y 2 x a 即2x y 2a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 将直线l绕点A旋转 它与椭圆C相交于另一点P 当B F P三点共线时 试确定直线l的斜率 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 设点C的坐标为 0 b N为线段AC的中点 证明 MN AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由 1 的计算结果可知a2 5b2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由题意可设P c y0 c为半焦距 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由OP OF OF 知 PFF FPO OF P OPF 解析答案 所以 PFF OF P FPO OPF 180 知 FPO OPF 90 即FP PF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由椭圆定义 得PF PF 2a 4 8 12 从而a 6 得a2 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析设椭圆上一点P的坐标为 x y 即x2 3 y2 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解设椭圆的焦距为2c 则F1 c 0 F2 c 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若F1C AB 求椭圆离心率e的值 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解因为B 0 b F2 c 0 在直线AB上 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又AC垂直于x轴 由椭圆的对称性 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又b2 a2 c2 整理得a2 5c2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解得a2 4 b2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 求 ABQ面积的最大值 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解设A x1 y1 B x2 y2 将y kx m代入椭圆E的方程 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 16 0 由 0 可得m2 4 16k2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为直线y kx m与y轴交点的坐标为 0 m 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 将y kx m代入椭圆C的方程 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 0 由 0 可得m2 1 4k2 由 可知0 t 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由 知 ABQ面积为3S 返回