高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课件新人教B版.ppt

2 3 3向量数量积的坐标运算与度量公式 1 掌握向量数量积的坐标表示 会进行平面向量数量积的坐标运算 2 能利用平面向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关长度 角度 垂直 正投影等实际问题 1 2 3 1 向量的数量积 内积 的坐标运算已知a a1 a2 b b1 b2 则a b a1b1 a2b2 知识拓展非零向量a x1 y1 与b x2 y2 的夹角 的范围与坐标运算的数量积的关系是 1 为锐角或零角 x1x2 y1y2 0 2 为直角 x1x2 y1y2 0 3 为钝角或平角 x1x2 y1y2 0 1 2 3 答案 C 答案 1 1 2 3 2 向量垂直的坐标表示已知a a1 a2 b b1 b2 则a b a1b1 a2b2 0 名师点拨解决两个向量垂直时 在表达方式上有一定的技巧 如a m n 与b k n m 总是垂直的 当两个向量的长度相等时 k取 1 做一做2 已知a 2 5 b 3 且a b 则 解析 a b a b 0 1 2 3 归纳总结1 由向量的长度公式可以发现 引入向量的直角坐标 建立了向量与解析几何的联系 2 由两个向量的夹角的余弦的表达式可以发现向量的数量积与三角函数的联系 利用向量可以解决有关三角问题 1 2 3 做一做3 1 已知A 1 2 B 2 3 C 2 5 则 ABC为 A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 无法判断 答案 B 1 2 3 答案 A 做一做3 3 已知a 3 x a 5 则x 解析 由 a 2 9 x2 25 解得x 4 答案 4 用向量的数量积的坐标运算来分析 a b c a b c 不恒成立剖析设a x1 y1 b x2 y2 c x3 y3 则a b x1x2 y1y2 b c x3x2 y3y2 a b c x1x2 y1y2 x3 y3 x1x2x3 y1y2x3 x1x2y3 y1y2y3 a b c x1 y1 x3x2 y3y2 x1x3x2 x1y2y3 x2x3y1 y1y2y3 假设 a b c a b c 成立 则有 x1x2x3 y1y2x3 x1x2y3 y1y2y3 x1x3x2 x1y2y3 x2x3y1 y1y2y3 x1x2x3 y1y2x3 x1x3x2 x1y2y3 x1x2y3 y1y2y3 x2x3y1 y1y2y3 y1y2x3 x1y2y3 x1x2y3 x2x3y1 y2 y1x3 x1y3 0 x2 x1y3 x3y1 0 b是任意向量 x2和y2是任意实数 y1x3 x1y3 0 a c 这与a c是任意向量 即a c不一定共线 相矛盾 假设不成立 a b c a b c 不恒成立 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思已知向量的坐标 我们便直接用公式来计算数量积 模和夹角等问题 若向量的坐标是未知的 一般考虑用定义和运算律进行转化 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 1 已知向量a 1 2 2a b 3 1 则a b等于 A 2B 3C 4D 5 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 1 由于a 1 2 2a b 3 1 所以b 1 3 于是a b 1 1 2 3 5 2 如图 以A为原点 AB AD所在直线分别为x轴 y轴 则D 0 1 C 1 1 B 1 0 设E x 0 0 x 1 答案 1 D 2 11 题型一 题型二 题型三 题型四 分析要对 ABC的三个内角分别讨论 并利用坐标反映垂直关系 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1 若a x1 y1 b x2 y2 则向量a与b垂直 a b 0 x1x2 y1y2 0 2 向量垂直的坐标表示x1x2 y1y2 0与向量共线的坐标表示x1y2 x2y1 0很容易混淆 应仔细比较并熟记 当难以区分时 要从意义上鉴别 垂直是a b 0 而共线是方向相同或相反 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 已知a 3 2 b 1 0 向量 a b与a 2b垂直 则实数 的值为 解析 a 3 2 b 1 0 a b 3 1 2 a 2b 3 2 2 1 0 1 2 由 a b a 2b 知4 3 1 0 答案 A 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 已知三个点A 2 1 B 3 2 D 1 4 1 求证 AB AD 2 要使四边形ABCD为矩形 求点C的坐标 并求矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边赋予向量 然后把几何图形中的夹角 垂直 长度等问题都统一为向量的坐标运算即可 最后再回归到原始几何图形中进行说明 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 如图 在平面直角坐标系xOy中有一 ABC 其中AB AC 3 BC 6 M为AC边上靠近A点的一个三等分点 试问线段BM 端点除外 上是否存在一点P 使得PC BM 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 错因分析a b 0 a与b的夹角为钝角或平角 因此上述解法中需要对结论进行检验 把a与b的夹角为平角的情况舍去才能得出正确的答案 答案 A 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练4 若a 3 2 b m 6 且a与b的夹角为锐角 则实数m的取值范围是 解析 由a b 3m 12 0 得m 4 又当a与b共线时有3 6 2 m 解得m 9 这时b 3a a与b同向 夹角为0 因此m的取值范围是m 4 且m 9 答案 m 4 且m 9 1 2 3 4 5 6 答案 C 1 2 3 4 5 6 2 设m n是两个非零向量 且m x1 y1 n x2 y2 则以下等式中与m n等价的个数为 A 1B 2C 3D 4解析 显然正确 对 两边平方 化简 得m n 0 因此也是正确的 故选D 答案 D 1 2 3 4 5 6 3 已知向量a 2 1 b 2 3 则向量a在向量b方向上的射影的数量为 C 0D 1答案 B 1 2 3 4 5 6 4 已知a 1 2 b 1 1 c b ka 若c a 则c 解析 根据a和b的坐标 求c的坐标 再利用垂直建立关于k的方程 求出k后可得向量c 1 2 3 4 5 6 答案 5 4 1 2 3 4 5 6 0 180 60 a b 1 2 a 1 2 a b与a为相反向量 a与c的夹角为120