高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修2-2.ppt

2 2 2反证法 自主学习新知突破 1 了解反证法是间接证明的一种方法 2 理解反证法的思维过程 并会用反证法证明简单的数学问题 1 问题 A B C三个人 A说B撒谎 B说C撒谎 C说A B都撒谎 则C必定是在撒谎 为什么 提示 假设C没有撒谎 则C真 那么A假且B假 由A假 知B真 这与B假矛盾 那么假设C没有撒谎不成立 则C必定是在撒谎 2 已知正整数a b c满足a2 b2 c2 求证 a b c不可能都是奇数 问题1 你能利用综合法和分析法证明该问题吗 提示1 不能 问题2 a b c不可能都是奇数的反面是什么 提示2 都是奇数 假设原命题 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明 从而证明了 这种证明方法叫做反证法 定义 不成立 假设错误 原命题成立 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与 矛盾 或与 矛盾 或与 公理 定理 事实矛盾等 反证法常见的矛盾类型 已知条件 假设 定义 反证法的实质及注意事项 1 反证法的实质反证法不直接证明命题 而是从原命题的反面入手 合乎逻辑地推出一个矛盾结果 由于两个相互矛盾的判断必有一真一假 由此肯定命题 若p则q 为真 2 注意事项 用反证法证明问题的第一步是 反设 这一步一定要准确 否则后面的过程毫无意义 反证法的 归谬 要合理 1 应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用 结论相反判断 即假设 原命题的条件 公理 定理 定义等 原结论 A B C D 解析 由反证法定义可知 正确 答案 C 2 用反证法证明命题 a b N ab可被5整除 那么a b中至少有一个能被5整除 时 假设的内容应为 A a b都能被5整除B a b都不能被5整除C a b不都能被5整除D a不能被5整除解析 至少有一个 的否定是 一个也没有 即 a b都不能被5整除 答案 B 3 用反证法证明 一个三角形不能有两个直角 有三个步骤 A B C 90 90 C 180 这与三角形内角和为180 矛盾 故假设错误 所以一个三角形不能有两个直角 假设 ABC中有两个直角 不妨设 A 90 B 90 上述步骤的正确顺序为 解析 由反证法的一般步骤可知 正确的顺序应为 答案 合作探究课堂互动 用反证法证明否 肯 定式命题 平面上有四个点 假设无三点共线 证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 思路点拨 1 结论中含有 不 不是 不可能 不存在 等词语的命题 此类问题的反面比较具体 适于应用反证法 2 用反证法证明问题的一般步骤 1 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 2 从这个假设出发 经过推理论证 得出矛盾 3 从矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 用反证法证明唯一性问题 已知a与b是异面直线 求证 过a且平行于b的平面只有一个 思路点拨 这是一个唯一性问题 直接证明较困难 宜用反证法 如图 假设过直线a且平行于直线b的平面有两个 分别为 和 在直线a上取点A 过b和A确定一个平面 且 与 分别交于过点A的直线c d 由b 知b c 同理b d 故c d 这与c d相交于点A矛盾 故假设不成立 原结论成立 用反证法证明唯一性命题的适用类型 1 当证明结论以 有且只有 只有一个 唯一存在 等形式出现的命题时 由于反设结论易于推出矛盾 所以用反证法证明唯一性就非常简单明了 2 用反证法证题时 一定要处理好推出矛盾这一步骤 因为反证法的核心就是从求证的结论反面出发 导出矛盾的结果 因此如何导出矛盾 就成为了关键所在 对于证题步骤 绝不可死记 而要具有全面扎实的基础知识 灵活运用 特别提醒 证明 有且只有一个 的问题 需要证明两个问题 即存在性问题和唯一性问题 2 已知 一点A和平面 求证 经过点A只能有一条直线和平面 垂直 证明 根据点A和平面 的位置关系 分两种情况证明 1 如图 点A在平面 内 假设经过点A至少有平面 的两条垂线AB AC 那么AB AC是两条相交直线 它们确定一个平面 平面 和平面 相交于经过点A的一条直线a 因为AB 平面 AC 平面 a 所以AB a AC a 在平面 内经过点A有两条直线都和直线a垂直 这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾 所以AB BC AC BC 在平面 内经过点A有两条直线都和BC垂直 这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾 综上 经过一点A只能有一条直线和平面 垂直 用反证法证明 至多 至少 存在性问题 已知a b c是互不相等的实数 求证 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a和y cx2 2ax b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点 思路点拨 结论中有词语 至少 宜采用反证法 注意 至少有一个 的否定形式为 一个也没有 所以AB BC AC BC 在平面 内经过点A有两条直线都和BC垂直 这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾 综上 经过一点A只能有一条直线和平面 垂直 1 当命题出现 至多 至少 等形式时 适合用反证法 2 常见的 结论词 与 反设词 用反证法证明命题 a b为整数 若a b不是偶数 则a b都不是偶数 时 应假设为 错解 a b不都是偶数 错因 应用反证法时 假设错误a b不都是偶数包括的情况有 a是偶数 b是奇数 a是奇数 b是偶数 a是奇数 b是奇数 注意否定的结论是不是结论的对立面 a b都不是偶数 指 a b都是奇数 它的反面是 a b不都是奇数 正解 a b不都是奇数