三大抽样分布及常用统计量的分布.ppt

数理统计中常用的分布除正态分布外 还有三个非常有用的连续型分布 即 数理统计的三大分布 都是连续型 它们都与正态分布有密切的联系 在本章中特别要求掌握对正态分布 2分布 t分布 F分布的一些结论的熟练运用 它们是后面各章的基础 第四节三大抽样分布及常用统计量的分布 卡方 分布 定义1 设总体 是的一个样本 则统计量 的概率密度函数为 则称统计量服从自由度为n的分布 记作 其图形随自由度的不同而有所改变 分布密度函数的图形 注 自由度是指独立随机变量的个数 性质1 2分布的数学期望与方差 设 2 2 n 则E 2 n D 2 2n 性质2 2分布的可加性 设 则 定理1设 X1 X2 Xn 为取自正态总体X N 2 的样本 则 证明 由已知 有 Xi N 2 且X1 X2 Xn相互独立 则 由定义1 得 定理3 设 X1 X2 Xn 为来自正态总体X N 2 的样本 则 1 样本均值与样本方差S2相互独立 4 1 式的自由度为什么是n 1 从表面上看 但实际上它们不是独立的 它们之间有一种线性约束关系 0 这表明 当这个n个正态随机变量中有n 1个取值给定时 剩下的一个的取值就跟着唯一确定了 故在这n项平方和中只有n 1项是独立的 所以 4 1 式的自由度是n 1 定理3 设 X1 X2 Xn 为来自正态总体X N 2 的样本 则 1 样本均值与样本方差S2相互独立 与以下补充性质的结论比较 性质设 X1 X2 Xn 为取自正态总体X N 2 的样本 则 其几何意义见图5 5所示 其中f x 是 2 分布的概率密度 显然 在自由度n取定以后 的值只与 有关 2分布的 上侧分位点 例如 当n 21 0 05时 由附表3 P254 可查得 二 t分布 定义3 设随机变量X N 0 1 Y 2 n 且X与Y相互独立 则称统计量 服从自由度为n的t分布 记作 t分布的概率密度函数为 T t n 其图形如图5 6所示 P106 其形状类似标准正态分布的概率密度的图形 当n较大时 t分布近似于标准正态分布 定理4 设 X1 X2 Xn 为来自正态总体X N 2 的样本 则统计量 证 由定义3得 定理5 设 X1 X2 Xn1 和 Y1 Y2 Yn2 分别是来自正态总体N 1 2 和N 2 2 的样本 且它们相互独立 则统计量 其中 分别为两总体的样本方差 t分布的 上侧分位点 对于给定的 0 1 称满足条件 的点t n 为t分布的 上分位点 其几何意义见图5 7 t分布的 双侧分位点 由于t分布的对称性 称满足条件 的数t 2 n 为t分布的 双侧分位点 其几何意义如图5 8所示 在附表4 P256 中给出了t分布的临界值表 例如 当n 15 0 05时 查t分布表得 t0 05 15 t0 05 2 15 1 753 2 131 其中t0 05 2 15 由P t 15 t0 025 15 0 025查得 但当n 45时 如无详细表格可查 可以用标准正态分布代替t分布查t n 的值 即 t n u n 45 一般的t分布临界值表中 详列至n 30 当n 30就用标准正态分布N 0 1 来近似 三 F分布 服从第一自由度为n1 第二自由度为n2的F分布 概率密度函数 其中 其图形见图5 9 P108 F分布的上侧 分位点 对于给定的 0 1 称满足条件 的数F n1 n2 为F分布的上侧 分位点 其几何意义如图5 7所示 其中f y 是F分布的概率密度 F分布的上侧 分位点 F n1 n2 的值可由F分布表查得 附表5 6 7 P258 P266 分 0 1 0 05 0 01给出了F分布的上 分位数 当时n1 2 n2 18时 有 F0 01 2 18 6 01 在附表5 6 7中所列的 值都比较小 当 较大时 可用下面公式 查表时应先找到相应的 值的表 例如 0 166 定理5 4 为正态总体的样本容量和样本方差 设为正态总体的样本容量和样本方差 且两个样本相互独立 则统计量 证明 由已知条件知 且相互独立 由F分布的定义有 小结几种常用分布的定义 正态总体样本均值的分布 设总体 是的一个样本 则样本均值服从正态分布 U 分布 分布 定义设总体 是的一个样本 则称统计量服从自由度为n的分布 记作 自由度是指独立随机变量的个数 n个相互独立的标准正态分布之平方和服从自由度为n的分布 t 分布 定义5 4 设随机变量X N 0 1 Y 2 n 且X与Y相互独立 则称统计量 服从自由度为n的t分布或学生氏分布 记作 T t n t 分布的密度函数的图形相似于标准正态分布的密度函数 当n较大时 t分布近似于标准正态分布 F分布 服从第一自由度为n1 第二自由度为n2的F分布 例1设总体X N 0 1 X1 X2 Xn为简单随机样本 试问下列统计量各服从什么分布 解 1 因为Xi N 0 1 i 1 2 n 所以 X1 X2 N 0 2 故 t 2 例1设总体X N 0 1 X1 X2 Xn为简单随机样本 试问下列统计量各服从什么分布 续解 2 因为X1 N 0 1 故 t n 1 例1设总体X N 0 1 X1 X2 Xn为简单随机样本 试问下列统计量各服从什么分布 续解 3 因为 所以 F 3 n 3 例2若T t n 问T2服从什么分布 解 因为T t n 可以认为 其中U N 0 1 V 2 n U2 2 1 F 1 n 例3设总体X N 42 X1 X2 X10是n 10简单随机样本 S2为样本方差 已知P S2 0 1 求 解 因为n 10 n 1 9 2 42 所以 2 9 又 P S2 0 1 所以 14 684 故 14 684x 26 105