matlab应用：多项式、插值与数据拟合.ppt

第五章多项式 插值与数据拟合 多项式MATLAB命令插值Lagrange插值Hermite插值Runge现象和分段插值分段插值样条插值的MATLAB表示数据拟合多项式拟合函数线性组合的曲线拟合方法最小二乘曲线拟合B样条函数及其MATLAB表示 5 1关于多项式MATLAB命令 一个多项式的幂级数形式可表示为 也可表为嵌套形式或因子形式N阶多项式n个根 其中包含重根和复根 若多项式所有系数均为实数 则全部复根都将以共轭对的形式出现 幂系数 在MATLAB里 多项式用行向量表示 其元素为多项式的系数 并从左至右按降幂排列 例 被表示为 p 2145 poly2sym p ans 2 x 3 x 2 4 x 5Roots 多项式的零点可用命令roots求的 例 r roots p 得到r 0 2500 1 5612i0 2500 1 5612i 1 0000所有零点由一个列向量给出 Poly 由零点可得原始多项式的各系数 但可能相差一个常数倍 例 poly r ans 1 00000 50002 00002 5000注意 若存在重根 这种转换可能会降低精度 例 r roots 1 615 2015 61 r 1 0042 0 0025i1 0042 0 0025i1 0000 0 0049i1 0000 0 0049i0 9958 0 0024i0 9958 0 0024i舍入误差的影响 与计算精度有关 polyval 可用命令polyval计算多项式的值 例 计算y 2 5 c 3 7 2 1 1 xi 2 5 yi polyval c xi yi 23 8125如果xi是含有多个横坐标值的数组 则yi也为与xi长度相同的向量 c 3 7 2 1 1 xi 2 5 3 yi polyval c xi yi 23 812576 0000 polyfit 给定n 1个点将可以唯一确定一个n阶多项式 利用命令polyfit可容易确定多项式的系数 例 x 1 1 2 3 3 9 5 1 y 3 887 4 276 4 651 2 117 a polyfit x y length x 1 a 0 20151 4385 2 74775 4370 poly2sym a ans 403 2000 x 3 2877 2000 x 2 27477 10000 x 5437 1000多项式为Polyfit的第三个参数是多项式的阶数 多项式积分 功能 求多项式积分调用格式 py poly itg p p 被积多项式的系数py 求积后多项式的系数poly itg mfunctionpy poly itg p n length p py p n 1 1 1 0 不包括最后一项积分常数 多项式微分 Polyder 求多项式一阶导数的系数 调用格式为 b polyder c c为多项式y的系数 b是微分后的系数 其值为 两个多项式的和与差 命令poly add 求两个多项式的和 其调用格式为 c poly add a b 多项式a减去b 可表示为 c poly add a b 功能 两个多项式相加调用格式 b poly add p1 p2 b 求和后的系数数组poly add mfunctionp3 poly add p1 p2 n1 length p1 n2 length p2 ifn1 n2p3 p1 p2 endifn1 n2p3 p1 zeros 1 n1 n2 p2 endifn1 n2p3 zeros 1 n2 n1 p1 p2 end m阶多项式与n阶多项式的乘积是d m n阶的多项式 计算系数的MATLAB命令是 c conv a b 多项式除多项式的除法满足 其中是商 是除法的余数 多项式和可由命令deconv算出 例 q r deconv a b 例 a 2 5 6 1 9 b 3 90 18 c conv a b c 6 195432 4539 792 162 q r deconv c b q 2 56 19r 0000000 poly2sym c ans 6 x 6 195 x 5 432 x 4 453 x 3 9 x 2 792 x 162 5 2插值5 2 1Lagrange插值 方法介绍对给定的n个插值点及对应的函数值 利用构造的n 1次Lagrange插值多项式 则对插值区间内任意x的函数值y可通过下式求的 MATLAB实现 functiony lagrange x0 y0 x ii 1 length x0 y zeros size x fori iiij find ii i y1 1 forj 1 length ij y1 y1 x x0 ij j endy y y1 y0 i prod x0 i x0 ij end算例 给出f x ln x 的数值表 用Lagrange计算ln 0 54 的近似值 x 0 4 0 1 0 8 y 0 916291 0 693147 0 510826 0 356675 0 223144 lagrange x y 0 54 0 55 0 78 ans 0 6161 0 5978 0 2484 精确解 0 616143 5 2 2Hermite插值 方法介绍不少实际问题不但要求在节点上函数值相等 而且要求导数值也相等 甚至要求高阶导数值也相等 满足这一要求的插值多项式就是Hermite插值多项式 下面只讨论函数值与一阶导数值个数相等且已知的情况 已知n个插值点及对应的函数值和一阶导数值 则对插值区间内任意x的函数值y的Hermite插值公式 MATLAB实现 hermite mfunctiony hermite x0 y0 y1 x n length x0 m length x fork 1 myy 0 0 fori 1 nh 1 0 a 0 0 forj 1 nifj ih h x k x0 j x0 i x0 j 2 a 1 x0 i x0 j a endendyy yy h x0 i x k 2 a y0 i y1 i y0 i endy k yy end 算例 对给定数据 试构造Hermite多项式求出sin0 34的近似值 x0 0 3 0 32 0 35 y0 0 29552 0 31457 0 34290 y1 0 95534 0 94924 0 93937 y hermite x0 y0 y1 0 34 y 0 3335 sin 0 34 与精确值比较ans 0 3335 x 0 3 0 005 0 35 y hermite x0 y0 y1 x plot x y y2 sin x holdon plot x y2 r 5 2 3Runge现象 问题的提出 根据区间 a b 上给出的节点做插值多项式p x 的近似值 一般总认为p x 的次数越高则逼近f x 的精度就越好 但事实并非如此 反例 在区间 5 5 上的各阶导数存在 但在此区间上取n个节点所构成的Lagrange插值多项式在全区间内并非都收敛 取n 10 用Lagrange插值法进行插值计算 x 5 1 5 y 1 1 x 2 x0 5 0 1 5 y0 lagrange x y x0 y1 1 1 x0 2 绘制图形 plot x0 y0 r 插值曲线 holdon plot x0 y1 b 原曲线为解决Rung问题 引入分段插值 算法分析 所谓分段插值就是通过插值点用折线或低次曲线连接起来逼近原曲线 MATLAB实现可调用内部函数 命令1interp1功能 一维数据插值 表格查找 该命令对数据点之间计算内插值 它找出一元函数f x 在中间点的数值 其中函数f x 由所给数据决定 格式1yi interp1 x Y xi 返回插值向量yi 每一元素对应于参量xi 同时由向量x与Y的内插值决定 参量x指定数据Y的点 若Y为一矩阵 则按Y的每列计算 算例对于t beta alpha分别有两组数据与之对应 用分段线性插值法计算当t 321 440 571时beta alpha的值 5 2 4分段插值 temp 300 400 500 600 beta 1000 3 33 2 50 2 00 1 67 alpha 10000 0 2128 0 3605 0 5324 0 7190 ti 321 400 571 propty interp1 temp beta alpha ti propty interp1 temp beta alpha ti linear ti propty ans 1 0e 003 0 32103 15572 43820 40002 50003 60500 57101 76576 6489 3列 t 以及对应的beta alpha 格式2yi interp1 Y xi 假定x 1 N 其中N为向量Y的长度 或者为矩阵Y的行数 格式3yi interp1 x Y xi method 用指定的算法计算插值 nearest 最近邻点插值 直接完成计算 linear 线性插值 缺省方式 直接完成计算 spline 三次样条函数插值 cubic 分段三次Hermite插值 其它 如 v5cubic 对于超出x范围的xi的分量 使用方法 nearest linear v5cubic 的插值算法 相应地将返回NaN 对其他的方法 interp1将对超出的分量执行外插值算法 yi interp1 x Y xi method extrap yi interp1 x Y xi method extrapval 确定超出x范围的xi中的分量的外插值extrapval 其值通常取NaN或0 算例 year 1900 10 2010 product 75 995 91 972 105 711 123 203 131 669 150 697 179 323 203 212 226 505 249 633 256 344 267 893 p1995 interp1 year product 1995 p1995 252 9885 x 1900 1 2010 y interp1 year product x cubic plot year product o x y 例 已知的数据点来自函数根据生成的数据进行插值处理 得出较平滑的曲线直接生成数据 x 0 12 1 y x 2 3 x 5 exp 5 x sin x plot x y x y o 调用interp1 函数 x1 0 02 1 y0 x1 2 3 x1 5 exp 5 x1 sin x1 y1 interp1 x y x1 y2 interp1 x y x1 cubic y3 interp1 x y x1 spline y4 interp1 x y x1 nearest plot x1 y1 y2 y3 y4 x y o x1 y0 误差分析 max abs y0 1 49 y2 1 49 max abs y0 y3 max abs y0 y4 ans 0 01770 00860 1598 x0 1 2 0 10 10 y0 1 1 25 x0 2 x 1 01 1 y lagrange x0 y0 x Lagrange插值 ya 1 1 25 x 2 plot x ya x y 例 Lagrange及Hermite 没有标明是三次 需要知道导数 插值是多项式插值 y1 interp1 x0 y0 x cubic y2 interp1 x0 y0 x spline plot x ya x y1 x y2 命令2interp2功能二维数据内插值 表格查找 格式1ZI interp2 X Y Z XI YI 返回矩阵ZI 其元素包含对应于参量XI与YI 可以是向量 或同型矩阵 的元素 参量X与Y必须是单调的 且相同的划分格式 就像由命令meshgrid生成的一样 若Xi与Yi中有在X与Y范围之外的点 则相应地返回NaN 格式2ZI interp2 Z XI YI 缺省地 X 1 n Y 1 m 其中 m n size Z 再按第一种情形进行计算 格式3ZI interp2 X Y Z XI YI method 用指定的算法method计算二维插值 linear 双线性插值算法 缺省算法 nearest 最临近插值 spline 三次样条插值 cubic 双三次插值 算例 years 1950 10 1990 service 10 10 30 wage 150 697199 592187 625179 323195 072250 287203 212179 092322 767226 505153 706426 730249 633120 281598 243 w interp2 service years wage 15 1975 w 190 6288 例 x y meshgrid 3 6 3 2 4 2 z x 2 2 x exp x 2 y 2 x y surf x y z axis 3 3 2 2 0 7 1 5 选较密的插值点 用默认的线性插值算法进行插值 x1 y1 meshgrid 3 2 3 2 2 2 z1 interp2 x y z x1 y1 surf x1 y1 z1 axis 3 3 2 2 0 7 1 5 立方和样条插值 z1 interp2 x y z x1 y1 cubic z2 interp2 x y z x1 y1 spline surf x1 y1 z1 axis 3 3 2 2 0 7 1 5 figure surf x1 y1 z2 axis 3 3 2 2 0 7 1 5 算法误差的比较 z x1 2 2 x1 exp x1 2 y1 2 x1 y1 surf x1 y1 abs z z1 axis 3 3 2 2 0 0 08 figure surf x1 y1 abs z z2 axis 3 3 2 2 0 0 025 二维一般分布数据的插值 功能 可对非网格数据进行插值格式 z griddata x0 y0 z0 x y method v4 MATLAB4 0提供的插值算法 公认效果较好 linear 双线性插值算法 缺省算法 nearest 最临近插值 spline 三次样条插值 cubic 双三次插值 例 在x为 3 3 y为 2 2 矩形区域随机选择一组坐标 用 v4 与 cubic 插值法进行处理 并对误差进行比较 x 3 6 rand 200 1 y 2 4 rand 200 1 z x 2 2 x exp x 2 y 2 x y x1 y1 meshgrid 3 2 3 2 2 2 z1 griddata x y z x1 y1 cubic surf x1 y1 z1 axis 3 3 2 2 0 7 1 5 z2 griddata x y z x1 y1 v4 figure surf x1 y1 z2 axis 3 3 2 2 0 7 1 5 误差分析 z0 x1 2 2 x1 exp x1 2 y1 2 x1 y1 surf x1 y1 abs z0 z1 axis 3 3 2 2 0 0 15 figure surf x1 y1 abs z0 z2 axis 3 3 2 2 0 0 15 例 在x为 3 3 y为 2 2 矩形区域随机选择一组坐标中 对分布不均匀数据 进行插值分析 x 3 6 rand 200 1 y 2 4 rand 200 1 z x 2 2 x exp x 2 y 2 x y 生成已知数据 plot x y x 样本点的二维分布 figure plot3 x y z x axis 3 3 2 2 0 7 1 5 grid 去除在 1 1 2 点为圆心 以0 5为半径的圆内的点 x 3 6 rand 200 1 y 2 4 rand 200 1 重新生成样本点 z x 2 2 x exp x 2 y 2 x y ii find x 1 2 y 0 5 2 0 5 2 找出满足条件的点坐标 x x ii y y ii z z ii plot x y x t 0 1 2 pi 2 pi x0 1 0 5 cos t y0 0 5 0 5 sin t line x0 y0 在图形上叠印该圆 可见 圆内样本点均已剔除 用新样本点拟合出曲面 x1 y1 meshgrid 3 2 3 2 2 2 z1 griddata x y z x1 y1 v4 surf x1 y1 z1 axis 3 3 2 2 0 7 1 5 误差分析 z0 x1 2 2 x1 exp x1 2 y1 2 x1 y1 surf x1 y1 abs z0 z1 axis 3 3 2 2 0 0 1 contour x1 y1 abs z0 z1 30 holdon plot x y x line x0 y0 误差的二维等高线图 命令3interp3三维网格生成用meshgrid 函数 调用格式 x y z meshgrid x1 y1 z1 其中x1 y1 z1为这三维所需要的分割形式 应以向量形式给出 返回x y z为网格的数据生成 均为三维数组 griddata3 三维非网格形式的插值拟合命令4interpnn维网格生成用ndgrid 函数 调用格式 x1 x2 xn ndgrid v1 v2 vn griddatan n维非网格形式的插值拟合interp3 interpn 调用格式同interp2 函数一致 griddata3 griddatan 调用格式同griddata 函数一致 例 通过函数生成一些网格型样本点 试根据样本点进行拟合 并给出拟合误差 x y z meshgrid 1 0 2 1 x0 y0 z0 meshgrid 1 0 05 1 V exp x 2 z y 2 x z 2 y cos x 2 y z z 2 y x V0 exp x0 2 z0 y0 2 x0 z0 2 y0 cos x0 2 y0 z0 z0 2 y0 x0 V1 interp3 x y z V x0 y0 z0 spline err V1 V0 max err ans 0 0419 5 2 5样条插值的MATLAB表示 定义一个三次样条函数类 S csapi x y 其中x x1 x2 xn y y1 y2 yn 为样本点 S返回样条函数对象的插值结果 包括子区间点 各区间点三次多项式系数等 可用fnplt 绘制出插值结果 其调用格式 fnplt S 对给定的向量xp 可用fnval 函数计算 其调用格式 yp fnval S xp 其中得出的yp是xp上各点的插值结果 例 x0 0 0 4 1 2 pi y0 sin x0 sp csapi x0 y0 fnplt sp holdon sp form pp breaks 00 4000123 1416 coefs 4x4double pieces 4order 4dim 1 ezplot sin t 0 pi plot x0 y0 o sp coefsans 0 16270 00760 99650 0 1627 0 18760 92450 38940 0244 0 48040 52380 84150 0244 0 4071 0 36370 9093 返回的是各相邻区间内的拟合多项式的系数 在 0 4000 1 区间内 插值多项式可以表示为 例 点 用三次样条插值的方法对这些数据进行拟合 x 0 12 1 y x 2 3 x 5 exp 5 x sin x sp csapi x y fnplt sp c sp breaks 1 4 sp breaks 2 5 sp coefs 1 4 sp breaks 5 8 sp breaks 6 9 sp coefs 5 8 c Columns1through700 120024 7396 19 35884 515100 48000 12000 240024 7396 10 45260 93770 30580 60000 24000 36004 5071 1 5463 0 50220 31050 72000 36000 48001 91390 0762 0 67860 23580 8400 Columns8through120 6000 0 24040 7652 0 57760 15880 7200 0 47740 6787 0 40430 10010 8400 0 45590 5068 0 26210 06050 9600 0 45590 3427 0 16010 0356 格式S csapi x1 x2 xn z 处理多个自变量的网格数据三次样条插值类 x0 3 6 3 y0 2 4 2 x y ndgrid x0 y0 注意这里只能用ndgrid 否则生成的z矩阵顺序有问题 z x 2 2 x exp x 2 y 2 x y sp csapi x0 y0 z fnplt sp 例 函数spline功能三次样条数据插值格式yy spline x y xx 例 对离散分布在y exp x sin x 函数曲线上的数据点进行样条插值计算 x 024581212 817 219 920 y exp x sin x xx 0 25 20 yy spline x y xx plot x y o xx yy 5 2 6基于样条插值的数值微积分运算 基于样条插值的数值微分运算格式 Sd fnder S k 该函数可以求取S的k阶导数 格式 Sd fnder S k1 kn 可以求取多变量函数的偏导数 5 3 4B样条函数及其MATLAB表示 格式S spapi k x y 例 x0 0 0 4 1 2 pi y0 sin x0 ezplot sin t 0 pi holdon sp1 csapi x0 y0 fnplt sp1 三次分段多项式样条插值 sp2 spapi 5 x0 y0 fnplt sp2 5次B样条插值 y sin t 和 x 0 12 1 y x 2 3 x 5 exp 5 x sin x ezplot x 2 3 x 5 exp 5 x sin x 0 1 holdon sp1 csapi x y fnplt sp1 sp2 spapi 5 x y fnplt sp2 例 symsx f x 2 3 x 5 exp 5 x sin x ezplot diff f 0 1 holdon x 0 12 1 y x 2 3 x 5 exp 5 x sin x sp1 csapi x y 建立三次样条函数 dsp1 fnder sp1 1 fnplt dsp1 绘制样条图 sp2 spapi 5 x y 5阶次B样条 dsp2 fnder sp2 1 fnplt dsp2 axis 0 1 0 8 5 例 拟合曲面 x0 3 3 3 y0 2 2 2 x y ndgrid x0 y0 z x 2 2 x exp x 2 y 2 x y sp spapi 5 5 x0 y0 z B样条 dspxy fnder sp 1 1 fnplt dspxy 生成样条图 理论方法 symsxy z x 2 2 x exp x 2 y 2 x y ezsurf diff diff z x y 33 22 对符号变量表达式做三维表面图 基于样条插值的数值积分运算格式 f fnint S 其中S为样条函数 例 考虑中较稀疏的样本点 用样条积分的方式求出定积分及积分函数 x 0 0 4 12 pi y sin x sp1 csapi x y a fnint sp1 1 建立三次样条函数并积分 xx fnval a 0 pi xx 2 xx 1 ans 2 0191 sp2 spapi 5 x y b fnint sp2 1 xx fnval b 0 pi xx 2 xx 1 ans 1 9999绘制曲线 ezplot cos t 2 0 pi holdon 不定积分可上下平移 fnplt a fnplt b 5 3数据拟合 用插值的方法对一函数进行近似 要求所得到的插值多项式经过已知插值节点 在n比较大的情况下 插值多项式往往是高次多项式 这也就容易出现振荡现象 龙格现象 即虽然在插值节点上没有误差 但在插值节点之外插值误差变得很大 从 整体 上看 插值逼近效果将变得 很差 所谓数据拟合是求一个简单的函数 例如是一个低次多项式 不要求通过已知的这些点 而是要求在整体上 尽量好 的逼近原函数 这时 在每个已知点上就会有误差 数据拟合就是从整体上使误差 尽量的小一些 5 3 1多项式拟合 n次多项式 曲线与数据点的残差为 残差的平方和为 为使其最小化 可令R关于的偏导数为零 即 或或矩阵形式 多项式拟合MATLAB命令 polyfit格式 p polyfit x y n x0 0 1 1 y0 x0 2 3 x0 5 exp 5 x0 sin x0 p3 polyfit x0 y0 3 vpa poly2sym p3 10 可以如下显示多项式ans 2 839962923 x 3 4 789842696 x 2 1 943211631 x 5975248921e 1 例 绘制拟合曲线 x 0 01 1 ya x 2 3 x 5 exp 5 x sin x y1 polyval p3 x plot x y1 x ya x0 y0 o 蓝线为拟合后得到的曲线 就不同的次数进行拟合 p4 polyfit x0 y0 4 y2 polyval p4 x p5 polyfit x0 y0 5 y3 polyval p5 x p8 polyfit x0 y0 8 y4 polyval p8 x plot x ya x0 y0 o x y2 x y3 x y4 拟合最高次数为8的多项式 vpa poly2sym p8 5 ans 8 2586 x 8 43 566 x 7 101 98 x 6 140 22 x 5 125 29 x 4 74 450 x 3 27 672 x 2 4 9869 x 42037e 6Taylor幂级数展开 symsx y x 2 3 x 5 exp 5 x sin x vpa taylor y 9 5 ans 5 x 28 x 2 77 667 x 3 142 x 4 192 17 x 5 204 96 x 6 179 13 x 7 131 67 x 8多项式表示数据模型是不唯一的 即是两个多项式函数完全不同 在某一区域内其曲线可能特别近似 多项式拟合的效果并不一定总是很精确的 x0 1 2 0 10 10 y0 1 1 25 x0 2 x 1 01 1 ya 1 1 25 x 2 p3 polyfit x0 y0 3 y1 polyval p3 x p5 polyfit x0 y0 5 y2 polyval p5 x p8 polyfit x0 y0 8 y3 polyval p8 x p10 polyfit x0 y0 10 y4 polyval p10 x plot x ya x y1 x y2 x y3 x y4 例 用Taylor幂级数展开效果将更差 symsx y 1 1 25 x 2 p taylor y x 10 p 1 25 x 2 625 x 4 15625 x 6 390625 x 8多项式拟合效果 x1 1 0 01 1 ya 1 1 25 x1 2 y1 subs p x x1 plot x1 ya x1 y1 5 3 2函数线性组合的曲线拟合方法 该方程的最小二乘解为 其中 例 知道函数原型 只是若干系数待定 x 0 0 2 0 4 0 7 0 9 0 92 0 99 1 2 1 4 1 48 1 5 y 2 88 2 2576 1 9683 1 9258 2 0862 2 109 2 1979 2 5409 2 9627 3 155 3 2052 A ones size x exp 3 x cos 2 x exp 4 x x 2 c A y c1 c c1 1 22002 3397 0 67970 8700 图形显示 x0 0 0 01 1 5 A1 ones size x0 exp 3 x0 cos 2 x0 exp 4 x0 x0 2 y1 A1 c plot x0 y1 x y x 数据分析 x 1 1052 1 2214 1 3499 1 4918 1 6487 1 8221 2 0138 2 2255 2 4596 2 7183 3 6693 y 0 6795 0 6006 0 5309 0 4693 0 4148 0 3666 0 3241 0 2864 0 2532 0 2238 0 1546 plot x y x y 例 不知道函数原型 分别对x y进行对数变换 x1 log x y1 log y plot x1 y1 A x1 ones size x1 c A y1 c 1 2339 0 2630 exp c 2 ans 0 7687 x 0 0 1 1 y x 2 3 x 5 exp 5 x sin x n 8 A fori 1 n 1 A i x n 1 i end c A y vpa poly2sym c 5 ans 8 2586 x 8 43 566 x 7 101 98 x 6 140 22 x 5 125 29 x 4 74 450 x 3 27 672 x 2 4 9869 x 42037e 6 例 5 3 3最小二乘曲线拟合 格式 a jm lsqcurvefit Fun a0 x y 例 x 0 1 10 y 0 12 exp 0 213 x 0 54 exp 0 17 x sin 1 23 x f inline a 1 exp a 2 x a 3 exp a 4 x sin a 5 x a x xx res lsqcurvefit f 1 1 1 1 1 x y xx resOptimizationterminatedsuccessfully RelativefunctionvaluechangingbylessthanOPTIONS TolFunans 0 11970 21250 54040 17021 2300res 7 1637e 007 修改最优化选项 ff optimset ff TolFun 1e 20 ff TolX 1e 15 修改精度限制 xx res lsqcurvefit f 1 1 1 1 1 x y ff xx res 变量界Optimizationterminatedsuccessfully RelativefunctionvaluechangingbylessthanOPTIONS TolFunans 0 12000 21300 54000 17001 2300res 9 5035e 021 绘制曲线 x1 0 0 01 10 y1 f xx x1 plot x1 y1 x y o 例 x 0 1 0 1 1 y 2 3201 2 6470 2 9707 3 2885 3 6008 3 9090 4 2147 4 5191 4 8232 5 1275 functiony c8f3 a x y a 1 x a 2 x 2 exp a 3 x a 4 a lsqcurvefit c8f3 1 2 2 3 x y a Maximumnumberoffunctionevaluationsexceeded increaseoptions MaxFunEvalsans 2 45752 45571 44372 0720 绘制曲线 y1 c8f3 a x plot x y x y1 o 5 3 4B样条函数及其MATLAB表示 格式S spapi k x y 例 x0 0 0 4 1 2 pi y0 sin x0 ezplot sin t 0 pi holdon sp1 csapi x0 y0 fnplt sp1 三次分段多项式样条插值 sp2 spapi 5 x0 y0 fnplt sp2 5次B样条插值 y sin t 和 x 0 12 1 y x 2 3 x 5 exp 5 x sin x ezplot x 2 3 x 5 exp 5 x sin x 0 1 holdon sp1 csapi x y fnplt sp1 sp2 spapi 5 x y fnplt sp2 谢谢