高中数学 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.3 平均值不等式（选学）课件 新人教B版选修4-5.ppt

2 3平均值不等式 选学 1 了解算术平均 几何平均 调和平均的概念 2 理解定理的意义及作用 了解定理的推证过程 3 能够灵活应用定理证明求解一些简单问题 1 有关概念 2 定理定理1 算术 几何平均值不等式 简称平均值不等式 2 推论1 设a1 a2 an为n个正数 且a1a2 an 1 则a1 a2 an n 且等号成立 a1 a2 an 1 3 推论2 设C为常数 且a1 a2 an为n个正数 则当a1 a2 an nC时 a1a2 an Cn 且等号成立 a1 a2 an 定理2 定理3 加权平均不等式 做一做1 下列命题是假命题的是 答案 A 做一做2 已知x y z 0 且2x 3y 5z 6 则xyz的最大值为 平均值不等式的应用条件是什么 剖析 一正 不论是三个数的或者n个数的平均值不等式 都要求这三个数或者n个数都是正数 否则不等式是不成立的 二定 包含两类求最值问题 一是已知n个正数的和为定值 即a1 a2 an为定值 求其积a1a2 an的最大值 二是已知乘积a1a2 an为定值 求其和a1 a2 an的最小值 三相等 取等号的条件是a1 a2 an 不能只有其中一部分相等 题型一 题型二 题型三 题型四 利用平均值不等式证明不等式 分析 观察求证式子的结构 通过变形转化为用平均值不等式证明 题型一 题型二 题型三 题型四 反思不等式的证明方法较多 关键是从式子的结构入手进行分析 找到证明不等式的突破口 使其出现平均值不等式的形式 题型一 题型二 题型四 题型三 利用平均值不等式求最值 分析 对于x2 1 5x 视x2与1 5x为两项 其和不可能为定值 应把x2拆为两项x x 故x x 1 5x 这三项同时配系数才能使和为定值 题型一 题型二 题型四 题型三 反思本题采用的方法是拆项 把x2变为x x 再配系数的方法 请思考采用下面的变形错在什么地方 题型一 题型二 题型三 题型四 平均值不等式的应用 例3 某同学在电脑城组装了一台电脑 总费用为3600元 假定在电脑的使用过程中 维修费平均为 第一年200元 第二年400元 第三年600元 依等差数列逐年递增 问 这台电脑使用多少年报废最合算 分析 要求电脑使用多少年报废最合算 实际上是求使用多少年的平均费用最少 这种年平均费用一般由两部分组成 一部分是电脑成本的平均值 另一部分是电脑维修费用的平均值 这样 电脑的最值报废年限 即 年平均消耗费用 年均成本费 年均维修费 电脑最佳报废年限 年均消耗费用最低的年限 因此 需建立年平均费用y与使用年数x的函数关系式 题型一 题型二 题型三 题型四 所以当x 6 年 时 y有最小值 即这台电脑使用6年报废最合算 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点 忽视应用平均值不等式求最值应具备的 一正 二定 三相等 而致错 题型一 题型二 题型三 题型四 1234 1若x y R 且xy 0 x2y 2 则xy x2的最小值是 答案 3 1234 1234 1234 4求证 在表面积一定的长方体中 以正方体的体积最大 证明 设长方体的三条相交于同一顶点的棱长分别为x y z 则长方体的体积为V xyz 表面积A 2xy 2yz 2zx 根据平均值不等式