《理学几何概型》PPT课件.ppt

几何概型 复习提问 1 古典概型的两个特点 1 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 2 每个基本事件出现的可能性相等 2 计算古典概型的公式 那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢 幸运大转盘 取一根长度为3m的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大 从3m的绳子上的任意一点剪断 基本事件 问题情境1 问题情境2 图中每一块方砖除颜色外完全相同 小猫分别在卧室和书房中自由地走来走去 并随意停留在某块方砖上 在哪个房间里 小猫停留在黑砖上的概率大 卧室 书房 问题情境3 有一杯1升的水 其中含有1个细菌 用一个小杯从这杯水中取出0 1升 求小杯水中含有这个细菌的概率 定义 我们将具有以下两个特点的模型称为几何概率模型 简称为几何概型 1 试验中所有可能出现的基本事件有无限多个 2 每个基本事件出现的可能性相等 P A A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 古典概型概率计算公式 几何概型概率计算公式 把绳子三等分 于是当剪断位置处在中间一段上时 事件A发生 由于中间一段的长度等于1m 问题情境1 取一根长度为3m的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大 记 剪得两段绳长都不小于1m 为事件A 问题2 下图是卧室和书房地板的示意图 图中每一块方砖除颜色外完全相同 小猫分别在卧室和书房中自由地走来走去 并随意停留在某块方砖上 在哪个房间里 小猫停留在黑砖上的概率大 卧室 书房 问题 图中有两个转盘 甲乙两人玩转盘游戏 规定当指针指向黄色区域时 甲获胜 否则乙获胜 在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少 2 甲获胜的概率与所在扇形区域的圆弧的长度有关 而与区域的位置无关 在转转盘时 指针指向圆弧上哪一点都是等可能的 不管这些区域是相邻 还是不相邻 甲获胜的概率是不变的 甲获胜的概率与扇形区域所占比例大小有关 与图形的大小无关 问题 甲获胜的概率与区域的位置有关吗 与图形的大小有关吗 甲获胜的可能性是由什么决定的 1 2 3 例有一杯1升的水 其中含有1个细菌 用一个小杯从这杯水中取出0 1升 求小杯水中含有这个细菌的概率 分析 细菌在这升水中的分布可以看作是随机的 取得0 1升水可作为事件的区域 解 取出0 1升中 含有这个细菌 这一事件记为A 则 问题情境3 定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型简称几何概型 几何概型 几何概型的公式 几何概型的特点 试验中所有可能出现的基本事件有无限个每个基本事件出现的可能性相等 古典概型与几何概型的区别 相同 两者基本事件发生的可能性都是相等的 不同 古典概型要求基本事件有有限个 几何概型要求基本事件有无限多个 古典概型的特点 a 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 b 每个基本事件出现的可能性相等 例某人午觉醒来 发现表停了 他打开收音机 想听电台报时 求他等待的时间不多于10分钟的概率 解 设A 等待的时间不多于10分钟 事件A恰好是打开收音机的时刻位于 50 60 时间段内 因此由几何概型的求概率公式得P A 60 50 60 1 6 等待报时的时间不超过10分钟 的概率为1 6 例2 一海豚在水池中自由游弋 水池为长30m 宽为20m的长方形 求此海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率 射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环 从外向内为白色 黑色 蓝色 红色 靶心是金色 金色靶心叫 黄心 奥运会的比赛靶面直径为122cm 靶心直径为12 2cm 运动员在70m外射箭 假设每箭都能中靶 那么射中黄心的概率是多少 练习 假设车站每隔10分钟发一班车 随机到达车站 问等车时间不超过3分钟的概率 单人乘车问题 随堂练习 变式 一条河上有一条渡口 每隔一个小时有一趟渡船 河的上游还有一座桥 某人到这个渡口等候渡船 他准备等候20分钟 如果20分钟渡船不到 他就要绕到上游从桥上过河 问他乘船过河的概率有多大 如果渡船到达后都要停留10分钟 那么他乘船过河的概率有多大 随堂练习 角度问题 一个路口的红绿灯 红灯的时间为30秒 黄灯的时间为5秒 绿灯的时间为40秒 当你到达路口时 看见下列三种情况的概率各是多少 1 红灯 2 黄灯 3 不是红灯 练习 收获与体会 用几何概型解决实际问题的方法 1 选择适当的观察角度 转化为几何概型 2 把基本事件转化为与之对应区域的长度 面积 体积 3 把随机事件A转化为与之对应区域的长度 面积 体积 4 利用几何概率公式计算 例3假设你家订了一份报纸 送报人可能在早上6 30 7 30之间把报纸送到你家 你父亲离开家去工作的时间在早上7 00 8 00之间 问你父亲在离开家前能得到报纸 称为事件A 的概率是多少 对于复杂的实际问题 解题的关键是要建立模型 找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域 把问题转化为几何概率问题 利用几何概率公式求解 解 以7点为坐标原点 小时为单位 x y分别表示两人到达的时间 x y 构成边长为60的正方形S 显然这是一个几何概率问题 两人相约于7时到8时在公园见面 先到者等候20分钟就可离去 求两人能够见面的概率 他们能见面应满足 x y 20 因此 会面问题 那末 两人会面的充要条件为 甲 乙两人相约在0到T这段时间内 在预定地点会面 先到的人等候另一个人 经过时间t t T 后离去 设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的 且两人到达的时刻互不牵连 求甲 乙两人能会面的概率 一般会面问题 解 故所求的概率为 若以x y表示平面上点的坐标 则有 练习 甲 乙二人约定在12点到5点之间在某地会面 先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的 且二人互不影响 求二人能会面的概率 例4甲 乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车 又这段时间内有四班公共汽车它们的开车时刻分别为1 15 1 30 1 45 2 00 如果它们约定见车就乘 求甲 乙同乘一车的概率 假定甲 乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的 且每人在1时到2时的任何时刻到达车站是等可能的 双人乘车问题 见车就乘的概率为 设x y分别为甲 乙两人到达的时刻 则有 解 古典概型 几何概型 联系 区别 求解方法 基本事件个数的有限性 基本事件发生的等可能性 基本事件发生的等可能性 基本事件个数的无限性 列举法 几何测度法 Goodbye