高考数学复习 第七章 第五节 推理与证明课件 理.ppt

第五节推理与证明 知识点一合情推理与演绎推理 1 推理 1 定义 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程 2 分类 推理一般分为与两类 合情推理 演绎推理 2 合理推理 全部对象 部分对象 一般结论 某些类似 特征 部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 3 演绎推理 1 定义 从 出发 推出 下的结论 我们把这种推理称为演绎推理 2 特点 演绎推理是由 的推理 3 模式 三段论 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 一般性的原理 某个特殊情况 一般到特殊 M是P S是M 知识点二直接证明与间接证明1 直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是 和 1 综合法 一般地 利用已知条件和某些数学定义 定理 公理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 综合法又称为 顺推证法 2 分析法 一般地 从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 这种证明方法叫做分析法 分析法又称为 逆推证法 综合法 分析法 由因导果法 执果索因法 2 间接证明 反证法一般地 假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明 从而证明了 这样的证明方法叫做反证法 不成立 假设错误 原命题成立 知识点三数学归纳法1 数学归纳法的定义 1 当n取第一个值n0时 证明命题成立 2 假设当n k k N k n0 时命题成立 并证明当 时 命题也成立 于是命题对一切n N n n0 命题都成立 这种证明方法叫做数学归纳法 n k 1 2 数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时 其步骤如下 1 当n n0时 验证命题成立 2 假设n k k N k n0 时命题成立 推证 时 命题也成立 从而推出对所有的从n0开始的正整数命题成立 两个步骤体现了递推思想 第一步是递推基础 也叫归纳奠基 第二步是递推的依据 也叫归纳递推 两者缺一不可 n k 1 方法1推理问题1 归纳推理是由部分到整体 由特殊到一般的推理 由归纳推理所得的结论不一定正确 通常归纳的个体数目越多 越具有代表性 那么推广的一般性命题也会越可靠 它是一种发现一般性规律的重要方法 2 类比推理是由特殊到特殊的推理 其一般步骤为 找出两类事物之间的相似性或一致性 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的命题 猜想 3 类比推理的关键是找到合适的类比对象 平面几何中的一些定理 公式 结论等 可以类比到立体几何中 得到类似的结论 点评 解决本题的关键是找出等差数列与等比数列性质的关系 利用类比推理的定义求解 方法2综合法和分析法综合法 分析法是直接证明的两种基本方法 综合法是把整个不等式看做一个整体 通过对欲证不等式的分析 观察 选择恰当不等式作为证题的出发点 其难点在于到底从哪个不等式出发合适 这就要求我们不仅要熟悉 正确运用作为定理性质的不等式 还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用 同时也可用分析法去 执果索因 即从结论出发 逐步缩小范围 进而确定我们所需要的 因 点评 分析法和综合法各有优缺点 实际证题时常常两法兼用 先用分析法探索证明途径 然后再用综合法叙述出来 方法3数学归纳法的应用 1 用数学归纳法证明等式问题是常见题型 其关键点在于弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始值n0是几 2 由n k到n k 1时 除等式两边变化的项外还要充分利用n k时的式子 即充分利用假设 正确写出归纳证明的步骤 从而使问题得以证明 例3 已知 ABC的三边长都是有理数 1 求证 cosA是有理数 2 求证 对任意正整数n cosnA是有理数 解题指导 1 利用余弦定理求得cosA 再根据三边长为有理数可得结论 2 用数学归纳法证明即可 点评 由k到k 1的证明中寻找由k到k 1的变化规律是难点 突破难点的关键是掌握由k到k 1的证明方法 方法4反证法证明数学问题反证法的适用范围 1 否定性命题 2 结论涉及 至多 至少 无限 唯一 等词语的命题 3 命题成立非常明显 直接证明所用的理论太少 且不容易证明 而其逆否命题非常容易证明 4 要讨论的情况很复杂 而反面情况很少 例4 设直线l1 y k1x 1 l2 y k2x 1 其中实数k1 k2满足k1k2 2 0 1 证明 l1与l2相交 2 证明 l1与l2的交点在椭圆2x2 y2 1上 解题指导 1 采用反证法 先假设l1与l2不相交 之后推出矛盾 2 求出交点坐标 代入椭圆方程验证