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第七章有限长数字滤波器的设计 7 1引言一 IIRDF的特点1 DF的设计依托AF的设计 有图表可查 方便简单 2 相位的非线性H z 的频响 其中 是幅度函数 是相位函数 通常 与不是呈线性的 这是IIRDF 无限长响应滤波器 的一大缺点 因此限制了它的应用 如图象处理 数据传输都要求信道具有线性相位特性 3 用全通网络进行相位校正 可以得线性特性 1 单位抽样响应h n 是有限长的 因此FIRDF一定是稳定的 2 经延时 h n 总可变成因果序列 所以FIRDF总可以由因果系统实现 3 h n 为有限长 可以用FFT实现FIRDF 4 FIR的系统函数是Z 1的多项式 故IIR的方法不适用 5 FIR的相位特性可以是线性的 因此 它有更广泛的应用 非线性的FIR一般不作研究 6 H z 为全零点结构 有N 1个零点 N 1个极点在z 0处 二 FIRDF的特点 7 2线性相位FIRDF的特点一 线性相位的条件如果FIRDF的单位抽样响应h n 为实数 而且满足偶对称h n h N 1 n 或满足奇对称H n h N 1 n 其对称中心在处 则滤波器就具有准确的线性相位 N又分为偶数和奇数两种情况 所以有4种线性相位FIRDF 如下所述 1 N为奇数的偶对称例如N 11 对称中心为 2 N为偶数时的偶对称例如N 10 对称中心为 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 N为奇数时的奇对称例如 N 11 对称中心为 n 5 6 7 8 9 10 4 N为偶数时的奇对称例如 N 10 对称中心为4 5 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二 线性相位的特点 为幅度函数 是一个纯实数 是相位函数 线性相位是指是的函数 即如果 1 h n 为偶对称情况 也就是 下面分为奇 偶对称两种情况讨论 上式两边同时加H z 再用2去除得 所以 这时的幅度函数和相位函数如下所示 幅度函数为相位函数为 显然与呈正比 是严格的线性相位 0 2 h n 为奇对称的情况 上式两边同时加H z 再用2去除得 所以 其幅度函数和相位函数分别为 可见 其相位特性是线性相位 而且还产生一个900相移 这样就使得通过filter的所有频率都相移900 因此称它为正交变换网络 相移900的信号与原信号为正交的 0 对于以上两类线性相位滤波器 又分为N取偶数和奇数的情况 下面分别讨论四种不同情况下的幅度特性 1 N为奇数 h n 为偶对称的情况 三 幅度函数的特点 可见 对呈现偶对称 2 N为偶数 h n 为偶对称的情况 1 b 0 0 2 3 4 3 N为奇数 h n 为奇对称的情况 讨论 1 可见 时 对呈奇对称 2 c 0 0 3 4 只能作带通滤波器 4 N为偶数 h n 为奇对称的情况 可见 时 对呈奇对称 而对呈偶对称 在 0处有一个特征零点 可作高通滤波器和带通滤波器 四种线性相位FIRDF的特性 四 系统函数H Z 的零点分布情况1 零点的分布原则 所以 如果是零点 则也一定是H Z 的零点 h n 为实数时 H Z 的零点必成共轭对出现 即也一定是H Z 的零点 也一定是H Z 的零点 2 零点的位置 1 既不在实轴上 也不在单位圆上 则零点是互为倒数的两组共轭对 可知h n 长度为5 满足偶对称关系 2 不在实轴上 但在单位圆上 共轭对的倒数就是它们本身 如 3 在实轴上 不在单位圆上 实数零点 没复共轭 只有倒数 例如 0 1 号相当于 i 零点在负实轴上 号相当于 i 0零点在正实轴上 4 既在实轴上也在单位圆上 此时 只有一个零点 且有两种可能 或位于Z 1 或位于Z 1 N为偶数时的偶对称为其零点 N为偶数奇对称H 0 0 有Z 1零点 N为奇数奇对称有零点Z 1 和Z 1 了解了线性相位FIR滤波器的各种特性 便可根据实际需要选择合适类型的FIR滤波器 同时设计时要遵循有关的约束条件 任何长度为N的线性相位FIRDF H z 都可分解为以上四种形式的级联组合 一 设计方法1 设计思想先给定理想滤波器的频响Hd ej 所要求设计一个FIR的滤波器的频响为H ej 使H ej 在一定精度内逼近Hd ej 7 3窗函数设计法 2 设计过程设计是在时域进行的 先用傅氏反变换求出理想滤波器的单位抽样响应hd n 然后加时间窗w n 对hd n 截断 以求得FIRDF的单位取样响应h n 例如 低通滤波器 Hd ej 是矩形的 则h n 一定是无限长的且是非因果的 1 理想LF的单位抽样响应hd n 理想低通滤波器的频响Hd ej 为 二 窗函数对频响的影响 因为频响的相位 所以hd n 是偶对称 其对称中心为 这是因为n 时 即为其最大 故 为其对称中心 hd n 又是无限长的非因果序列 加窗就是实行乘操作 而矩形窗就是截断数据 这相当于通过窗口RN n 看hd n 称RN n 为窗口函数 其他n值 2 加矩形窗WR n RN n 因h n 是偶对称的 长度为N 所以其对称中心应为 所以h n 可写作 3 h n 的频率响应h n 的频响H ej 可通过离散傅式变换H ej F h n 求得 为了便于与hd n 的频率响应Hd ej 相比较 利用卷积定理 1 对于矩形窗的频响 其中 为幅度函数 为相位函数 2 对于理想LF的频响 其中 为幅度函数 为相位函数 3 h n 的频响 其中 为幅度函数 为相位函数 可见窗函数频率响应函数对实际滤波器的幅度函数起关键影响 4 窗函数频响产生的影响从几个特殊频率点的卷积过程就可看出其影响 0 2 时 正好与的一半相重叠 这时有 3 时 的主瓣全部在的通带内 这时应出现正的肩峰 4 时 主瓣全部在通带外 出现负的肩峰 5 当时 随增加 左边旁瓣的起伏部分扫过通带 卷积也随着的旁瓣在通带内的面积变化而变化 故将围绕着零值而波动 6 当时 的右边旁瓣将进入的通带 右边旁瓣的起伏造成值围绕值而波动 5 加窗后对理想矩形频率几点结论 1 加窗后 使频响产生一过渡带 其宽度正好等于窗的频响的主瓣宽度 2 在处出现肩峰 肩峰两侧形成起伏振荡 其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度 而振荡的多少则取决于旁瓣的多少 3 吉布斯 Gibbs 效应因为窗函数的频响的幅度函数为这是一个很特殊的函数 分析表明 当改变N时仅能改变的绝对值的大小和主瓣的宽度 旁瓣的宽度 但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例 也就是说 不会改变归一化频响的肩峰的相对值 对于矩形窗最大相对肩峰为8 95 不管N怎样改变 最大肩峰总是8 95 这种现象称作吉布斯效应 这种效应直接影响滤波器的性能 即 通带中的波动影响滤波器通带的平稳性 阻带中的波动影响阻带最小衰减不满足技术要求 设计滤波器一般要求过渡带要窄 阻带衰减要大 上图为N 8时 WR ej 的幅度特性 当N增加时 幅度特性的 主瓣 2 N间的区域 宽度减小 对于矩形窗来说 当N增加时 主瓣和旁瓣的幅度峰值都要增加 还保持每一波瓣下的面积恒定不变 所以每一波瓣的宽度随N增加而减小 呈振荡方式变化 振荡更快 增加N是否可减小吉布斯效应 N增加 主瓣幅度会增加 但旁瓣幅度也会增加 而主瓣和旁瓣幅度相对值不变 N 时 sin x x 单位冲激函数 此时H 才会逼近Hd 但这相当于窗的宽度为无限长 等于不加窗口截断 故没有实际意义 结论 N增大时 H 的波动幅度没有多大改善 但H 过渡带变窄 4 N 所以加大N并不是减小吉布斯效应的有效方法 要减小吉布斯效应只能从窗函数的形状上找解决方法 但这总是以牺牲主瓣宽度来达到 即使滤波器过渡带加宽 1 基本概念 1 窗谱 窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱 2 对窗函数要求a 希望窗谱主瓣尽量窄 以获得较陡的过渡带 这是因为过渡带等于主瓣宽度 b 尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度 这样可使肩峰和波纹减少 把窗函数的顶部缩窄 同时使窗函数的两端平缓的过渡到零 就可以降低旁瓣的高度 但这样做却增加了主瓣 从而加宽了过渡区 三 各种窗函数 2 矩形窗时域表达式 频域表达式 频谱 幅度函数 3 三角形 Bartlett 窗时域表达式 1 01234 频谱 第一对零点为 即 所以主瓣宽度 比矩形宽一倍 4 汉宁窗 升余弦窗 其窗谱可利用如下方法求出 将变形为又由于其中又考虑到 这里 所以有 当时 窗谱分析可知 它等于三部分之和 旁瓣较大程度地互相抵消 但主瓣加宽一倍 即为 汉宁窗是 2时 特例 5 海明窗 又称作改进升余弦窗其窗函数为仿照汉宁窗的分析方法可以得其频响的幅度函数为其主瓣宽度仍为 旁瓣峰值 主瓣峰值 1 有99 963 的能量集中在主瓣内 海明窗是下一类窗的特例 6 布拉克曼窗 又称二阶余弦窗加上余弦的二次谐波分量 可以进一步抑制旁瓣相应的幅度函数为其主瓣宽度为 是矩形窗的三倍 7 五种窗函数的比较 1 时域窗 2 各个窗的幅度函数 图中是dB表示的 3 理想LF加窗后的幅度函数 响应 把窗函数的顶部缩窄 同时使窗函数的两端平缓的过渡到零 就可以降低旁瓣的高度 但这样做却增加了主瓣 从而加宽了过渡区 由于所用的窗函数都是对称的 所以相位是线性的 上图中 很显然矩形窗的主瓣最窄 左图表示增加窗的长度N对低通滤波器设计的影响 可见 N增大 阻带衰减不变 过渡区变小 因此 可以通过选择窗函数的形状和窗函数列长N对设计加以控制 四 窗函数法的设计1 设计步骤 1 给定频响函数 2 求出单位抽样响应 3 根据过渡带宽度和阻带最小衰减 借助窗函数基本参数表确定窗的形式及N的大小 4 最后求及 例 分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的FIR低通滤波器 具体要求 2 设计举例 解 1 由于是一理想LF 所以可以得出 2 确定N由于相位函数 所以呈偶对称 其对称中心为 因此 3 加矩形窗 则有 可以求出h n 的数值 注意偶对称 对称中心 由于h n 为偶对称 N 25为奇数 所以 例如H 0 0 94789 可以计算H 的值 画如下图 4 加汉宁窗由于可以求出序列的各点值 通过可求出加窗后的h n 相应幅度函数可用下式求得 如H 0 0 98460 图如下