《不定积分的概念》PPT课件.ppt

1 4 1不定积分的概念与性质 4 2基本积分公式和直接积分法 4 3换元积分法和分部积分法 4 4定积分的概念及其性质 4 5定积分的计算 4 6定积分的应用4 7广义积分 第四章积分及其应用 2 4 1不定积分的概念与性 主要内容 1 不定积分的概念 2 不定积分的性质 3 不定积分的几何意义 3 一 不定积分的概念 1 引例2 原函数概念3 原函数存在定理4 不定积分概念5 不定积分的例子 4 1 引例已知自由落体的运动速度v gt 求自由落体的路程公式 由导数的力学意义可知 速度 联想到 并且常数的导数为0 所以 于是路程为 又当t 0时s 0 0 代入上式得C 0 故所求的路程公式为 解 设自由落体的路程为 5 该物理问题是已知速度求路程 抽象为数学问题 就是已知导数求原来的函数 这是求导数的逆运算 这里需要解决两个问题 一是逆运算是否存在 二是如果逆运算存在的话 结论有几个 现在就来围绕这两个问题解决求导数 或微分 的逆运算问题 就引例引出的思考 6 设函数f x 在区间I上有定义 若存在函数F x 使得对于I上的任一点x 都有 则称函数F x 为f x 在I上的一个原函数 由于常数C的导数是0 因此若一个函数有原函数 那么它就有无穷多个原函数 设F x 是f x 的一个原函数 则F x C C是任意常数 都是f x 的原函数 而且只F x C才是f x 的原函数 2 原函数概念 定义1 7 某区间上的连续函数一定存在原函数 3 原函数存在定理 由于初等函数在其有定义的区间上是连续的 因而初等函数在其有定义的区间上存在原函数 定理1 8 设F x 是f x 的一个原函数 则f x 的全体原函数F x C称为f x 的不定积分 记为 即 4 不定积分概念 定义2 9 因为 所以 5 不定积分的例子 例1 解 10 当x 0时 所以 当x 0时 所以 因此 不论x 0或x 0 都有公式 例2 解 11 二 不定积分的性质 求不定积分与求导数 或微分 互为逆运算 即有 可见 微分号与积分号相遇时可以抵消 但先微分后积分 最后需加任意常数C 12 解 两边同时求导 得f x 2x 从而有 故所求不定积分为 例3 13 三 不定积分的几何意义 函数f x 的原函数F x 的图象称为f x 一条积分 曲线 不定积分 表示全体原函数F x C 所以不定积分 在几何上表示曲线y F x 沿y轴上下平移 C 个单位而得到的一族积分曲线 由性质 1 可知 这一族积分曲线上相对于同一横坐标x0的点的切线斜率相等 即这些切线互相平行 14 x0 几何意义图示 15 求过点 0 0 且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的余弦值 求此曲线 设所求曲线为y f x x y 为曲线上任一点 由此可求得 又曲线过点 0 0 代入上式得C 0 于是所求的曲线为 y sinx 若要求出积分曲线族中的一条特定曲线 就必须另外附加条件 根据这个条件确定积分常数C的值 就可以求出所需曲线 题中的 曲线过点 0 0 就是这个附加条件 例4 注意 由导数的几何意义可知 解 16 1 原函数 在某区间上 若F x f x 则称F x 是f x 的一个原函数 且f x 的原函数有无穷多个 F x C是f x 的全体原函数 2 不定积分 f x 的不定积分即f x 的全体原函数F x C 即 求f x 的不定积分是先求f x 的一个原函数F x 再加任意常数C 求不定积分和求导数是互为逆运算 可以用求导来检验积分结果的正确性 四 小结 17 3 不定积分的几何意义 f x 的原函数F x 的图象称为f x 的一条积分曲线 在几何上称为f x 的积分曲线族 族中的曲线上 相对于同一横坐标的点的切线斜率相等 即切线 不定积分 互相平行 18 作业 习题4 1