资源描述
轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有(1)直接法;(2)定义法;(3)待定系数法(4)参数法(5)交轨法;(6)相关点法注意:求轨迹方程时注意去杂点,找漏点.一、知识复习例1:点P(3,0)是圆x2+y26x55=0内的定点,动圆M与已知圆相切,且过点P,求圆心M的轨迹方程。例2、如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足APB=90,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解:设AB的中点为R,坐标为(x,y),则在RtABP中,|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点,依垂径定理:在RtOAR中,|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y),R(x1,y1),因为R是PQ的中点,所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得:x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.例3、如图, 直线L1和L2相交于点M,L1L2, 点N L1. 以A, B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等. 若DAMN为锐角三角形, |AM|= , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C的方程. 解法一:如图建立坐标系,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点。依题意知:曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中A,B分别为C的端点。设曲线段C的方程为,其中xA,xB分别为A,B的横坐标,P=|MN|。由,两式联立解得。再将其代入式并由p0解得因为AMN是锐角三角形,所以,故舍去p=4,xA=1由点B在曲线段C上,得。综上得曲线段C的方程为解法二:如图建立坐标系,分别以l1、l2为轴,M为坐标原点。作AEl1,ADl2,BFl2垂足分别为E、D、F设A(xA, yA)、B(xB, yB)、N(xN, 0)依题意有例4、已知两点以及一条直线:y=x,设长为的线段AB在直线上移动,求直线PA和QB交点M的轨迹方程解:PA和QB的交点M(x,y)随A、B的移动而变化,故可设,则PA:QB:消去t,得当t=2,或t=1时,PA与QB的交点坐标也满足上式,所以点M的轨迹方程是例5、设点A和B为抛物线 y2=4px(p0)上原点以外的两个动点,已知OAOB,OMAB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线. 解法一:设M(x,y),直线AB的方程为y=kx+b由OMAB,得k=由y2=4px及y=kx+b,消去y,得k2x2+(2kb4p)x+b2=0所以x1x2=, y1y2=,由OAOB,得y1y2=x1x2所以=, b=4kp 故y=kx+b=k(x4p), 得x2+y24px=0(x0)故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0),它表示以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点.|解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意,有得(y1y2)(y1+y2)=4p(x1x2)若x1x2,则有 ,得y12y22=16p2x1x2 代入上式有y1y2=16p2 代入,得 代入,得所以即4pxy12=y(y1+y2)y12y1y2 、代入上式,得x2+y24px=0(x0)当x1=x2时,ABx轴,易得M(4p,0)仍满足方程.故点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)它表示以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点.轨 迹 方 程(练习1)1(08、山东文22)已知曲线:所围成的封闭图形的面积为,曲线的内切圆半径为,记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆(1)求椭圆的标准方程;(2)设是过椭圆中心的任意弦,是线段的垂直平分线,是上异于椭圆中心的点若(为坐标原点),当点在椭圆上运动时,求点的轨迹方程; 若是与椭圆的交点,求的面积的最小值解:(1)由题意得椭圆方程:1(2)若AB所在的斜率存在且不为零,设AB所在直线方程为ykx(k0),A()由设M(x,y),由|MO|OA|(0)|MO|22|OA|2因为L是AB的垂直平分线,所以直线L的方程为yk,代入上式有:,由,当k0或不存时,上式仍然成立.,综上所述,M的轨迹方程为,(0)当k存在且k0时,|OA|2由,当且仅当45k254k2时,即k1时等号成立当;当k不存在时,综上所述,的面积的最小值为2(07、江西理21)设动点到点和的距离分别为和,且存在常数,使得(1)证明:动点的轨迹为双曲线,并求出的方程;(2)过点作直线与双曲线的右支于两点,试确定的范围,使0,其中点为坐标原点解:(1)在中,即,即(常数),点的轨迹是以为焦点,实轴长的双曲线,方程为:(2)设,当垂直于轴时,的方程为,在双曲线上即,因为,所以当不垂直于轴时,设的方程为由得:,由题意知:,由0,且在双曲线右支上,所以由知3(09、海南)已知椭圆的中心为直角坐标系的原点,焦点在轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1(1)求椭圆的方程;(2)若为椭圆上的动点,为过且垂直于轴的直线上的点,(e为椭圆C的离心率),求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线解:()设椭圆长半轴长及分别为a,c由已知得a4,c3椭圆C的方程为(2)设M(x,y),P(,)其中4,4,x有由得:故【下面是寻找关系式f(x,y),g(x,y)的过程】 又 式代入:并整理得:,所以点M的轨迹是两条平行于x轴的线段 轨 迹 方 程(练习2)4(09、重庆理)已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为,离心率,M是椭圆上的动点(1)若C、D的坐标分别是(0,3)、(0,3),求的最大值; 21世纪教育网 (2)如图,点A的坐标为(1,0),点B是圆上的点,点N是点M(椭圆上的点)在轴上的射影,点Q满足条件:,0求线段QB的中点P的轨迹方程解:(1)设椭圆方程为:(ab0)准线方程,椭圆方程为:所以:C、D是椭圆的两个焦点4,当且仅当,即点M的坐标为时上式取等号的最大值为4(2)设,N(),由,由0()()()()0记P点的坐标为(,),因为P是的中点, 动点P的方程为: 5(09、安徽)已知椭圆1(ab0)的离心率为以原点为圆心,以椭圆短半轴长为半径的圆与直线yx2相切(1)求a与b的值; (2)设该椭圆的左,右焦点分别为和,直线过且与x轴垂直,动直线与y轴垂直,交于点p.求线段的垂直平分线与直线的交点M的轨迹方程,并指明曲线类型解:(1)e又圆心(0,0)到直线yx2的距离d半径b,2,3(2)(1,0)、(1,0),由题意可设P(1,t)(t0).那么线段的中点为N(0,)的方程为:yt,设M()是所求轨迹上的任意点. 【下面求直线MN的方程,然后与直线的方程联立,求交点M的轨迹方程】 直线的斜率k,线段的中垂线MN的斜率所以:直线MN的方程为:yx由,消去参数t得:,即:,其轨迹为抛物线(除原点) 又解:由于(x,y),(x,y)0,消参数t得:(x0),其轨迹为抛物线(除原点)6(07湖南理20)已知双曲线的左、右焦点分别为,过点的动直线与双曲线相交于两点【直接法求轨迹】(1)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程;(2)在轴上是否存在定点,使为常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)由条件知,设,设,则,由的中点坐标为当不与轴垂直时,即又因为两点在双曲线上,所以,两式相减得,即将代入上式,化简得当与轴垂直时,求得,也满足上述方程所以点的轨迹方程是(2)假设在轴上存在定点,使为常数当不与轴垂直时,设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根,所以,于是因为是与无关的常数,所以,即,此时1当与轴垂直时,点的坐标可分别设为,此时(1,2)(1,2)1故在轴上存在定点,使为常数
展开阅读全文