资源描述
第13讲变化率与导数、导数的运算1.变化率与导数(1)平均变化率:概念对于函数y=f(x),f(x2)-f(x1)x2-x1=yx叫作函数y=f(x)从x1到x2的变化率几何意义函数y=f(x)图像上两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)连线的物理意义若函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则yx就是该质点在x1,x2上的速度(2)导数:概念点x0处limx0yx=limx0f(x0+x)-f(x0)x,我们称它为函数y=f(x)在处的导数,记为f(x0)或y|x=x0,即f(x0)=limx0yx=limx0f(x0+x)-f(x0)x区间(a,b)当x(a,b)时,f(x)=limx0yx=limx0叫作函数在区间(a,b)内的导数几何意义函数y=f(x)在点x=x0处的导数f(x0)就是函数图像在该点处切线的.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程是物理意义函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x0处的导数就是质点在x=x0时的速度,在(a,b)内的导数就是质点在(a,b)内的方程2.导数的运算常用导数公式原函数导函数特例或推广常数函数C=0(C为常数)幂函数(xn)=(nZ)1x=-1x2三角函数(sin x)=,(cos x)=偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数指数函数(ax)=(a0,且a1)(ex)=ex对数函数(logax)=(a0,且a1)(ln x)=1x,(ln|x|)=1x四则运算法则加减f(x)g(x)=i=1nfi(x)=i=1nfi(x)乘法f(x)g(x)=Cf(x)=Cf(x)除法f(x)g(x)=(g(x)0)1g(x)=-g(x)g(x)2复合函数求导复合函数y=fg(x)的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系yx=,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”题组一常识题1.教材改编 向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为.2.教材改编 已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为c(x)=5284100-x(80x0),再根据两函数在x=a处的导数相等及切点在两曲线上列方程组,即可解得m的值.(1)B(2)D解析 (1)f(x)=2ex+3ax+b,f(x)=2ex+3a.由题意得f(0)=2+3a=2,解得a=0.点(0,1)在f(x)=2ex+3ax+b的图像上,2+b=1,解得b=-1.a+b=0+(-1)=-1.(2)设两曲线在公共点(a,b)处的切线相同(a0).由题得f(x)=2x,h(x)=6x-4,则b=a2-m,b=6lna-4a,2a=6a-4,解得a=1,b=-4,m=5.变式题C解析 f(x)=cosxx+1-ln(x+1)sin x-a.函数f(x)=ln(x+1)cos x-ax的图像在点(0,f(0)处的切线的倾斜角为45,1-a=1,a=0,故选C.【备选理由】 例1考查导数的运算法则等知识,意在考查学生的基本计算能力;例2在知识点的交汇处命题,分别考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式,利用导数的几何意义求切线方程等知识;例3是一道导数新概念题,需要依据新定义求解,计算量较大,供学有余力的同学学习;例4是导数几何意义的应用与求参数取值范围的综合问题,并涉及数形结合思想,有一定的综合性.例1配合例1使用 设函数f(x)=x(2017+ln x).若f(x0)=2018,则x0=()A.eB.e2C.ln 2D.1解析 D因为f(x)=x(2017+ln x),所以f(x)=2018+ln x,所以f(x0)=2018+ln x0=2018,所以x0=1.例2配合例2使用 2018荆州中学月考 函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x3-2x2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为.答案 7x-y-4=0解析 函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,-x0时,f(x)=x3+2x2.f(1)=1+2=3,f(x)=3x2+4x,f(1)=7,所求切线方程为y-3=7(x-1),即7x-y-4=0.例3配合例4使用 2018石家庄质检 定义:如果函数f(x)在区间a,b上存在x1,x2(ax1x2b)满足f(x1)=f(b)-f(a)b-a,f(x2)=f(b)-f(a)b-a,则称函数f(x)是区间a,b上的一个双中值函数.已知函数f(x)=x3-65x2是区间0,t上的一个双中值函数,则实数t的取值范围是()A.35,65B.25,65C.25,35D.1,65解析 A由题意知,在区间0,t上存在x1,x2(0x1x2t)满足f(x1)=f(x2)=f(t)-f(0)t=t3-65t2t=t2-65t.f(x)=x3-65x2,f(x)=3x2-125x,方程3x2-125x=t2-65t在区间(0,t)上有两个不同的实数解.令g(x)=3x2-125x-t2+65t(0x0,g(0)=65t-t20,g(t)=2t2-65t0,t25,解得35t0),若函数g(x)=f(x)-12x-b有且仅有两个零点,则实数b的取值范围是.答案 0b0)与函数y=12x+b的图像有且仅有两个交点,作出函数f(x)=3-x(x0),x(x0)与函数y=12x+b的图像,如图所示.当b=0时,两函数图像有一个交点,是一个临界值.当直线y=12x+b与f(x)=x(x0)的图像相切时,两函数图像有一个交点,此时b的值是另一个临界值.设切点为(m,m),m0,f(x)=121x(x0),121m=12,解得m=1,故切点为(1,1),故b=1-12=12.结合图像可得,0b12.
展开阅读全文