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第14练不等式明晰考情1.命题角度：不等式的性质，“二次函数、二次方程、二次不等式”的相互转化，基本不等式及其应用，线性规划.2.题目难度：基本不等式和三个“二次”高考中会综合考查，中高档难度；不等式的性质和线性规划为基础题，中低档难度.考点一不等关系与不等式的性质要点重组不等式的常用性质(1)如果ab0，cd0，那么acbd.(2)如果ab0，那么anbn(nN，n2).(3)如果ab0，那么(nN，n2).1.若m3且n2，则Mm2n26m4n的值与13的大小关系为_.答案M13解析m3且n2，M(m3)2(n2)21313.2.(2018无锡月考)若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系是_.答案P0，所以Pb，则acbc；若ab，则ac2bc2；若ababb2；若ab；若ab.其中真命题的序号为_.答案解析因为未知数c可以是正数、负数或零，所以无法确定ac与bc的大小，所以是假命题；因为c20，所以只有c20时才正确.当c0时，ac2bc2，所以是假命题；由ab，aab；ab，bb2，所以是真命题；由性质定理知，由ab，命题是真命题；由ab，命题是假命题.考点二不等式的解法方法技巧(1)解一元二次不等式的步骤一化(二次项系数化为正)，二判(看判别式)，三解(解对应的一元二次方程)，四写(根据“大于取两边，小于取中间”写出不等式解集).(2)可化为0(或0)型的分式不等式，转化为一元二次不等式求解.(3)指数不等式、对数不等式可利用函数单调性求解.5.函数y的定义域是_.答案3,1解析要使原函数有意义，需且仅需32xx20.解得3x1.故函数的定义域为3,1.6.(2018启东检测)若关于x的不等式2x22ax5a的解集是1，3，则实数a的值是_.答案2解析因为关于x的不等式2x22ax5a的解集是1，3，所以2x22ax5恒成立且x22ax5a的两根为1,3，所以所以a2.7.若关于x的不等式ex(x2axa)ea在a，)上有解，则正数a的取值范围是_.答案解析令f(x)ex(x2axa)，xa，)，不等式ex(x2axa)ea在a，)上有解，即f(x)minea.f(x)exx2(a2)x2aex(x2)(xa)，a0，则f(x)0在a，)上恒成立，则f(x)在a，)上单调递增，所以f(x)minf(a)ea(2a2a)ea，所以2a2a10，解得1a，又a0，则04xa3恒成立的x的取值范围是_.答案(，1)(3，)解析原不等式可化为x2ax4xa30，即a(x1)x24x30，令f(a)a(x1)x24x3，则函数f(a)a(x1)x24x3表示直线，要使f(a)a(x1)x24x30在a0,4上恒成立，则有f(0)0，且f(4)0，即x24x30且x210，解得x3或x0，10，b1，a1，则226(当且仅当a，b4时等号成立)，的最小值为6.10.(2018江苏盐城市阜宁中学调研)已知2且b1，则b4a的最小值为_.答案解析令m，n，则a1，b1，mn2，由b1得，m0，n0，b4a143333，当且仅当m4，n2时等号成立.b4a的最小值为.11.已知a0，b0，若不等式0恒成立，则实数m的最大值为_.答案16解析因为a0，b0，所以由0恒成立，得m(3ab)10恒成立.因为26，当且仅当ab时等号成立，所以1016，所以m16，即实数m的最大值为16.12.(2018盐城月考)若x0，y0，且xy9，则的最大值为_.答案解析由题意并根据基本不等式可知，(xy)149(当且仅当y2x时等号成立)，由xy9，可得(xy)9，故(xy)9，所以299，解得，故的最大值为.考点四简单的线性规划问题方法技巧(1)求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求.(2)常见的目标函数截距型：zaxby；距离型：z(xa)2(yb)2；斜率型：z.13.(2018盐城调研)若变量x，y满足约束条件则z3xy的最大值为_.答案9解析作出可行域(阴影部分包含边界)如图所示：可知当目标函数经过点A(2,3)时取得最大值，故最大值为9.14.设实数x，y满足约束条件则z的最大值是_.答案1解析满足条件的可行域如图阴影部分(包括边界)所示.z表示可行域内的点(x，y)与(0,0)连线的斜率，由图可知，最大值为kOA1.15.已知圆C：(xa)2(yb)21，平面区域：若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2b2的最大值为_.答案37解析如图，由已知得平面区域为MNP内部及边界.圆C与x轴相切，b1.显然当圆心C位于直线y1与xy70的交点(6,1)处时，|a|max6.a2b2的最大值为621237.16.已知实数x，y满足若目标函数z2xy的最大值与最小值的差为2，则实数m的值为_.答案2解析表示的可行域如图中阴影部分(包含边界)所示.将直线l0：2xy0向上平移至过点A，B时，z2xy分别取得最小值与最大值.由得A(m1，m)，由得B(4m，m)，所以zmin2(m1)m3m2，zmax2(4m)m8m，所以zmaxzmin8m(3m2)2，解得m2.1.在区间(1,2)上不等式x2mx40有解，则m的取值范围为_.答案(5，)解析由题意知，m在(1,2)上有解，又函数t，x(1,2)的值域为(5，4)，m5.2.已知a0，b0，则的最小值是_.答案2解析当abab1时，2，当且仅当ab1时等号都成立；当ab2，故的最小值是2.3.当x(0,1)时，不等式m恒成立，则m的最大值为_.答案9解析方法一(函数法)由已知不等式可得m，设f(x)，x(0,1).令t3x1，则x，t(1,4)，则函数f(x)可转化为g(t)，因为t(1,4)，所以4t0的解集是，则关于x的不等式0的解集是_.答案(1,2)解析由题意可得ab0，且a0的解集为(1,2).4.(2018江苏南京金陵中学月考)若实数x，y满足条件则z4x2y的取值范围为_.答案5,13解析x，y满足条件即画出可行域如图阴影部分包含边界.根据可行域可知，目标函数z4x2y在A点处取得最小值，在C点处取得最大值，A，C，所以z4x2y的取值范围为5,13.5.若实数x，y满足xy3x3，则的最小值为_.答案8解析方法一因为实数x，y满足xy3x3，所以y3(y3)，所以y3y36268，当且仅当y3，即y4时取等号，此时x，所以的最小值为8.方法二因为实数x，y满足xy3x3，所以y3(y3)，y360，所以66268，当且仅当6，即x时取等号，此时y4，所以的最小值为8.6.若变量x，y满足条件则(x2)2y2的最小值为_.答案5解析如图所示，作出不等式组所表示的可行域(阴影部分).设z(x2)2y2，则z的几何意义为可行域内的点到定点D(2,0)的距离的平方，由图象可知，C，D两点间的距离最小，此时z最小，由可得即C(0,1).所以zmin(02)212415.7.已知a0，b1，ab2，则的最小值是_.答案解析22，当且仅当，即b12a，又ab2，所以a，b时取等号.8.(2018连云港检测)已知函数f(x)，若ab，且f(a)f(b)，则a2b的最大值为_.答案83log23解析f(x)|2x11|，ab，f(a)f(b)，0a1，由，得12a12b11，2a12b12，2a12，所以233，可得2a2b3，a2b3log253log23，即a2b83log23，当且仅当2a1，ab1时等号成立，即a2b的最大值为83log23.9.(2018江苏溧水七校联考)已知直线axby1(其中a，b为非零实数)与圆x2y24相交于A，B两点，O为坐标原点，且AOB，则的最小值为_.答案8解析直线axby1(其中a，b为非零实数)与圆x2y24相交于A，B两点，且AOB，圆心O(0,0)到直线axby1的距离d1，化为2a2b21.(2a2b2)22428，当且仅当b22a2时取等号.的最小值为 8.10.在平行四边形ABCD中，BAD60，AB1，AD，P为平行四边形内一点，且AP，若(，R)，则的最大值为_.答案解析由题意得(0，0)，|2()22|22|222|22|22|cosBAD.又AP，BAD60，AB1，AD，222.()222222，解得()2，当且仅当且222，即，时等号成立.故的最大值为.11.若不等式(1)na3对任意的正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_.答案解析当n为奇数时，不等式可化为a3，要使得不等式对任意正整数n恒成立，则a3，当n为偶数时，不等式可化为a3，要使得不等式对任意正整数n恒成立，则amin3，综上，3a.即实数a的取值范围是.12.(2018连云港检测)已知实数a，b满足ab1，则的最大值是_.答案4解析将原式展开得到(a31)(b31)a3b3b3a31a3b3a2abb21 a3b323ab1a3b33ab2，实数a，b满足ab1，则ab，当且仅当ab时，取等号，设tab，则yt33t2，t，y3(t21)，函数在上是增函数，在上是减函数，故yt33t2，t在t1处取得最大值4.13.(2018江苏如东高级中学检测)已知a, b均为正数，且aba4b，则b2的最小值为_.答案6解析由a，b均为正数，且aba4b，则1，又由b2b2b22，b2224，当且仅当，即a8，b2时取等号，所以216，当且仅当a8，b2时取等号，所以b28，所以b226.
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